高中数学 第三章《数系的扩充与复数的引入》素材2 苏教版选修1-2

1 复数的应用例析复数的应用例析 我们知道 复数虽然具有相对独立性 但复数的代数形式 几何意义却构建了代数与几 何之间的 局域网 它为我们提供了新的解题途径 本文举例说明 供同学们参考 利用复数求函数值域 例 1 求函数 22 11 f xxxxxx R的值域 解 22 1313 2424 f xxxx R 令 1 13 22 zxi 2 13 22 zxi 则 12 f xzz 因 1212 1zzzz 又复数 12 zz 在复平面上对应的点 12 ZZ 在平行于实轴的直线 3 2 y 上 从而 12 ZZ 和原点O不可能共线 即 式不能取等号 则 12 1zz 即所求函数的值域为 11 点评 复数模的不等式 121212 zzzzzz 为我们解有关实数问题提供了模 型 特别是解有关不等式极值问题较为方便 其中应注意取等号的条件 当且仅当 12 0 zkz k 时 1212 zzzz 1212 zzzz 当且仅当 12 0 zkz k 时 1212 zzzz 1212 zzzz 2 利用复数证明不等式 例 2 设a b x y都是实数 求证 2222222222 2xaybxayxybxyab 证明 设 1 zxayb i 则 22 1 zxayb 2 zxayi 则 22 2 zxay z 3 zxyb i 则 22 3 zxyb 4 zxyi 则 22 4 zxy 又 1234 2 zzzzabi 2 22 1234 2zzzzab 由模的性质可知 12341234 zzzzzzzz 2222222222 2xaybxayxybxyab 点评 按常规无理不等式证明 此题是很难解决的 考虑式中五个根式都是复数的模 则利用模的性质来证明 问题就简单多了 3 利用复数求函数的最值 例 3 求函数 22 82522yxxxx 的最小值 解 原函数可化为 2222 4 3 1 1yxx 构造复数 1 4 3zxi 2 1 zxi 则 1212 345zzzzi 当且仅当 31 41xx 即 7 4 x 时 等号成立 故当 7 4 x 时 min 5y 4 利用复数解解析几何题 例 4 如下图 椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 和直线 1 0 AxByAB 交于P Q两点 求直线OP和OQ相互垂直的条 件 解 设P Q两点在x轴上的坐标分别为 因P Q在直线1AxBy 上 利用复数表 示有 1A OPi B 1A OQi B 若要OPOQ 必须 OP OQ 为纯虚数 1 1 A i OP B A OQ i B 2 2 2 1 1 1 1 1 AAAA BB A B 由其实部为零 有 2 1 1 0 AA B 3 即 22 10ABA 再由 22 22 1 1 AxBy xy ab 得 222222222 2 1 0A aB bxAa xab B 2 2222 2Aa A aB b 222 2222 1 ab B A aB b 代入 得 222222 0aba bAB 因 要有两个不同的实根 须判别式0 即 2222 10a Ab B 以上条件 即