安徽省合肥一中2020届高三数学9月阶段性检测考试试题 理（含解析）

1 安徽省合肥一中安徽省合肥一中 20202020 届高三数学届高三数学 9 9 月阶段性检测考试试题月阶段性检测考试试题 理 含解理 含解 析 析 一 选择题一 选择题 1 函数的定义域为的定义域为 则 2 1 4 f x x ln 1m g xx nmn a b c d 21xx 12xx 2x x 2x x 答案 a 解析 分析 分别求出函数和的定义域 得到集合和集合 然后根据集合的交集运算 f x g x mn 得到答案 详解 因为函数 所以 解得 故的定义域 2 1 4 f x x 2 40 x 22x f x 集合 所以 解得 故的定义域 2 2m ln 1g xx 10 x 1x g x 所以 故选 a 项 1n 2 1mn 点睛 本题考查求具体函数的定义域 集合的交集运算 属于简单题 2 复数满足 其中 为虚数单位 则的实部与虚部之和为 z 1 i zi iz a 1b 0c d 1 2 i 1 2 i 答案 b 解析 分析 对进行化简计算 得到复数 然后计算出其实部与虚部之和 得到答案 1 i zi z 2 详解 因为 1 i zi 所以 111 122 zi i 所以的实部与虚部之和为 故选 b 项 z 11 0 22 点睛 本题考查复数的运算 实部与虚部的概念 属于简单题 3 若 则 0 2 0 2 1 cos 43 3 cos 423 等于 cos 2 a b c d 3 3 3 3 5 3 9 6 9 答案 c 解析 分析 利用同角三角函数的基本关系求出与 然后利用两角差的余弦公 sin 4 sin 42 式求出值 coscos 2442 详解 则 0 2 q 3 444 2 2 2 sin1 cos 443 则 所以 0 2 q 4422 2 6 sin1 cos 42423 因此 coscos 2442 132 265 3 coscossinsin 44244233339 3 故选 c 点睛 本题考查利用两角和的余弦公式求值 解决这类求值问题需要注意以下两点 利用同角三角平方关系求值时 要求对象角的范围 确定所求值的正负 利用已知角来配凑未知角 然后利用合适的公式求解 4 函数的大致图象是 lnf xxx a b c d 答案 c 解析 分析 根据特殊位置的所对应的的值 排除错误选项 得到答案 x f x 详解 因为 lnf xxx 所以当时 故排除 a d 选项 01x 0f x 而 lnlnfxxxxx 所以 f xfx 即是奇函数 其图象关于原点对称 故排除 b 项 f x 故选 c 项 点睛 本题考查根据函数的解析式判断函数图象 属于简单题 4 5 已知函数 将函数向右平移个单位后得到一个 sin23cos2f xxx f x 0 奇函数的图象 则的最小值为 a b c d 12 6 3 2 3 答案 b 解析 分析 对进行化简 然后根据平移规则得到平移后的解析式 再根据奇函数的特点 求出 f x 的值 详解 由 sin23cos22sin 2 3 f xxxx 向右平移个单位后得到 2sin 22 3 g xx 因为为奇函数 所以 g x 00g 所以 得 2sin20 3 2 3 k kz 即 1 26 kkz 因为 所以的最小值为 0 6 故选 b 项 点睛 本题考查三角函数辅助角公式 函数的平移 奇函数和正弦型函数的性质 属于简 单题 6 0 22 sin xxdx a b c d 2 3 4 3 2 4 3 2 4 答案 c 5 解析 分析 根据定积分的计算公式进行计算 得到答案 详解 000 2222 sinsinxxdxxdxx dx 0 sin xdx 0 cos 2x 是半径为的圆的面积的四分之一 为 0 22 x dx 3 4 所以 故选 c 项 0 22 sin xxdx 3 2 4 点睛 本题考查定积分的计算 属于简单题 7 中 内角所对的边分别为 则 abc a b c cos cosa b c ma bnba 是 为等腰三角形 的 mn abc a 充分不必要条件b 必要不充分条件 c 充要条件d 既不充分也不必要条件 答案 d 解析 分析 由进行推导 无法推出为等腰三角形 说明不充分 取三角形满足 mn abc 说明不必要 得到答案 2 1abc 详解 因为 所以 则 mn coscosaabb sincossincosaabb 所以 sin2sin2ab 所以或 即 或 22ab 22ab ab 2 ab 故无法由推出为等腰三角形 即为不充分条件 mn abc 取等腰三边为时 此时 abc 2 1abc 2 2 1 0 2 mn 6 无法推出 即为不必要条件 mn 所以 是 为等腰三角形 的既不充分也不必要条件 故选 d 项 mn abc 点睛 本题考查向量平行的坐标表示 充分条件和必要条件 属于简单题 8 已知 则 2 1 ln2cos2 14 x f xxx x 的值为 2 coscos 33 ff a b c d 4 4 2 2 答案 b 解析 分析 先对进行整理 然后证明其关于对称 由 f x 0 1 2 cos cos0 33 可得所求的 得到答案 2 coscos 33 ff 2 详解 因为 2 1 ln2cos2 14 x f xxx x 1 lncos21 12 x xx x 1 lnsin21 1 x xx x 所以 11 lnsin21 lnsin212 11 xx f xfxxxxx xx 所以关于成中心对称 f x 0 1 而 2 cos cos0 33 故 2 coscos 33 ff 2 7 所以选 b 项 点睛 本题考查利用三角函数公式进行化简 函数中心对称的证明和性质 属于中档题 9 中 所对的边分别为 若 abc a b c sinsinsina b c ababcbc 则的取值范围是 4bc a a b c d 2 4 2 4 0 2 0 4 答案 b 解析 分析 由三角形三边关系 得到 由 可得 4abc sinsinsinababcbc 再由余弦定理得到的范围 从而得到答案 3 a 2 a 详解 由三角形三边关系 得到 4abc 因为 sinsinsinababcbc 由正弦定理得 sinsinsin abc abc ababcb c 即 222 bcabc 由余弦定理得 222 1 cos 22 bca a bc 因为 所以 0 a 3 a 且 2 4 2 bc bcbc 所以 22222 2cosabcbcabcbc 221 34 4 bcbcbc 所以 当且仅当时 等号成立 2a 2bc 8 故2 4a 所以选 b 项 点睛 本题考查正 余弦定理解三角形 基本不等式 属于中档题 10 古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时 提出了分线段的 中末比 问题 将 一线段分为两线段 使得其中较长的一段是全长与另一段的比例中项 ab ac cbaccb 即满足 后人把这个数称为黄金分割数 把点c称为线段的黄金分 51 2 acbc abac ab 割点 在中 若点为线段的两个黄金分割点 设 abc p q bc 则 11 apx aby ac 22 aqx aby ac 11 22 xy xy a b 2c d 51 2 551 答案 c 解析 分析 根据题意得到 51 2 bpcq pcqb 从而得到 即得到相应的 5135 22 apabac 3551 22 aqabac 再代入到计算得到结果 1122 x y xy 11 22 xy xy 9 详解 因为点为线段的两个黄金分割点 p q bc 所以 51 2 bpcq pcqb 所以 2515135 225151 apabacabac 5123551 225151 aqabacabac 所以 11 5135 22 xy 22 3551 22 xy 所以 11 22 5135 5 3551 xy xy 故选 c 项 点睛 本题考查平面向量定理的应用 属于中档题 11 关于数列 给出下列命题 数列满足 则数列 n a n a 1 22 nn aannn 为公比为 2 的等比数列 的等比中项为 是 的充分不必要条件 n a a b g 2 gab 数列是公比为的等比数列 则其前项和 等比数列的前 n a q n 1 1 1 n n q sa q n a 项和为 则成等比数列 其中 真命题的序号是 nn s 484128 sssss a b c d 答案 c 解析 分析 分别对四个命题进行判断 从而得到其是否为真命题 得到答案 详解 命题 当时 满足 但数列不是等比数列 0 n a 1 22 nn aannn n a 故 错误 命题 由 的等比中项为 可得 当时 不 a b g 2 gab 0 0gab 能得到的等比中项为 故 正确 命题 当等比数列的公比为 1 时 其前项的 a b g n a n 10 和为 故 错误 命题 当时 不满足 1n sna 1 n n a 4 0s 成等比数列 故 错误 484128 sssss 故选 c 项 点睛 本题考查等比数列的求和和性质 判断命题的正确 属于简单题 12 已知函数 曲线上总存在两点 1 ln 0 k e f xxx k kx yf x 使曲线在两点处的切线互相平行 则的取值范 1122 m x yn xy yf x m n 12 xx 围是 a b c d 2 e 2 4 e 2 e 2 4 e 答案 d 解析 分析 根据在两点处的切线互相平行 得到 从而得到 yf x m n 12 fxfx 再设 利用导数求出其最大值 从而得到答案 12 2 k k x x e 2 k k g x e 详解 函数 1 ln 0 k e f xxx k kx 可得 2 11 1 k e fx kxx 曲线在两点处的切线互相平行 yf x 1122 m x yn xy 所以 12 fxfx 即 22 1122 1111 11 kk ee kxxkxx 11 22 1212 1111 k e kxxxx 故等号取不到 12 1212 12 112 k xxe kxxx xx x 12 xx 即恒成立 12 2 k k x x e 设 2 k k g k e 22 k k gk e 当时 单调递增 当时 单调递减 1k 0gk g k 1k 0gk g k 所以时 取最大值 为 1k g k 2 1g e 所以 即 故选 d 项 12 2 x x e 12 2 4 x x e 点睛 本题考查导数的几何意义 利用导数研究函数的最值 解决恒成立问题 属于难题 二 填空题二 填空题 13 设等差数列的前项和为 若 则 n a nn s 384 18aaa 9 s 答案 54 解析 分析 根据等差数列中下标公式的性质 得到的值 再根据求和公式 求出 5 a 9 s 详解 等差数列中 n a 384 18aaa 所以 即 3485 318aaaa 5 6a 所以 9195 9 954 2 saaa 点睛 本题考查等差数列的下标公式和等差数列的求和 属于简单题 12 14 已知的夹角为 2 4 aba b 0 602ab 答案 2 21 解析 分析 对平方 然后代入已知条件 得到答案 2ab 详解 2 2 2 244abaa bb 44 2 4 cos606484 所以 22 21ab 点睛 本题考查求向量的模长 属于简单题 15 已知函数的定义域为r 且满足 当时 f x 1 2f x f x 0 1x 则 2 x f x 96 2 logf 答案 2 3 解析 分析 根据 得到周期为 4 再 1 2f x f x f x 96 22 2 1 loglog 6 3 log 2 ff f 由当时 得到答案 0 1x 2 x f x 详解 因为函数满足 所以的周期为 f x 1 2f x f x f x 4 所以 96 22 2 2 11 loglog 6 3log 62 log 2 ff f f 而 所以 2 3 log0 1 2 2 3 log 2 2 33 log2 22 f 13 所以 96 2 2 log 3 f 点睛 本题考查数列周期的性质 求函数的值 属于中档题 16 中 内角所对的边分别为 若是与的等比中项 且是 abc a b c a b c bacsin a 与的等差中项 则 sin ba sincc cosb 答案 1 2 2 51 2 解析 分析 根据是与的等比中项 得到 即 根据是 bac 2 bac 2 sinsinsinbac sin a 与的等差中项 得到 即 sin ba sinc 2sinsinsinababa 代入到中进行化简 再利用 得到 sinsincosaba 2 sinsinsinbac bac 从而得到的值 再利用之前的两个式子 将用代换 得到关于的 cos0c ca bcosb 方程 解出 cosb 详解 因为是与的等比中项 bac 所以 即 2 bac 2 sinsinsinbac 因为是与的等差中项 sin a sin ba sinc 所以 2sinsinsinababa 即 sinsincosaba sin sin cos a b a 所以 即 sin sinsinsin cos a bac a sincossinsincabac 所以 cossin0ca 所以 sin0a cos0c 14 所以 0 c 2 c 所以得 2 sinsinsinbac 2 sinsinsincos 2 babb 即 解得 2 1 coscosbb 51 cos 2 b 点睛 本题考查正弦定理解三角形 三角函数公式的运用 属于中档题 三 解答题三 解答题 17 已知函数部分图象如图所示 函数 sin0 0 0f xaxa cos2g xf xx 1 求函数的表达式 g x 2 求函数的单调增区间和对称中心 g x 答案 1 2 3 4 32 g xsinx 5 242242 kk kz 3 1242 k kz 解析 分析 1 根据函数图象可得和周期 由周期求出 再由 得到 再得到 att 2 12 15 的解析式 2 根据的解析式 利用正弦函数的单调性与对称性求出其单调增 g x g x 区间和对称中心 详解 1 根据图像可知 2a 353 46124 t 所以周期 即 得 t 2 2 代入得 得 2 12 22sin 2 12 2 3 k 因为 所以 0 3 所以 2sin 2 3 f xx cos2g xf xx 2sin 2cos2 3 xx 2 sin2 cos23cos 2xxx 133 sin4cos4 222 xx 3 sin 4 32 x 2 令 422 232 xkk 解得 5 242242 x kk kz 所以单调增区间是 5 242242 kk kz 令 可得 4 3 xk 124 k x 所以对称中心为 3 1242 k kz 点睛 本题考查正弦型函数图像的性质 辅助角公式 求三角函数的单调区间和对称中心 16 属于简单题 18 已知数列的前项和为 且 n a nn s 2 34 n snn 1 求数列的通项公式 n a 2 令 求数列的前项和为 3n nn ba n b n n t 答案 1 2 61 n an 1 31 33 n n tn 解析 分析 1 利用 验证时 得到的通项 2 得到的通项 然 2n 1nnn ass 1n n a n b 后利用错位相减法 得到其前项的和 n n t 详解 1 当时 2n 2 34 n snn 1nnn ass 2 2 343141nnnn 61n 当时 符合上式 1n 11 7as 所以 61 n annn 2 61 33n n nn ban 所以 1231 7 313 319 365361 3 nn n tnn 2341 37 313 319 365361 3 nn n tnn 所以 1231 27 36 36 36 361 3 nn n tn 1 1 9 1 3 21 661 3 1 3 n n n 所以 1 31 33 n n tn 点睛 本题考查通过求通项 错位相减法求数列的和 属于中档题 n s 17 19 已知函数 3 31f xxaxar 1 当时 求函数的极值 1a f x 2 求函数在上的最小值 f x 0 1 答案 1 的极大值为的极小值为 2 f x 11 ff x 13f min 1 0 3 1 21 01 a f xa a a aa 解析 分析 1 对求导 判断的正负 得到的单调性 然后得到的极值 f x fx f x f x 2 对进行分类 研究其导函数的正负 从而得到的单调性 求出其最值 a f x 详解 1 所以 1a 3 31f xxx 令 得 2 33fxx 0fx 1x 所以在和上 单调递增 x 1 1 0fx f x 在 上 单调递减 x 1 1 0fx f x 所以的极大值为 极小值为 f x 11f 13f 2 2 33fxxa 0 1x 当时 所以 在 上单调递增 所以 0a 0fx f x 0 1 min 01f xf 当时 令 得 0a 0fx xa 所以在上单调递减 在上单调递增 f x 0 a a i 当时 在上单调递减 所以 1a f x 0 1 min 13f xfa ii 当时 在上单调递减 在上单调递增 所以 01a f x 0 a 1a min 21f xfaa a 18 综上所述 min 1 0 3 1 01 21 a f xaa a a a 点睛 本题考查利用导数求函数的极值和最值 分类讨论研究函数的单调性和最值 属于 中档题 20 如图所示 合肥一中积极开展美丽校园建设 现拟在边长为 0 6 千米的正方形地块 上划出一片三角形地块建设小型生态园 点分别在边上 abcdcmn m n ab ad 1 当点分别时边中点和靠近的三等分点时 求的余弦值 m n abaddmcn 2 实地勘察后发现 由于地形等原因 的周长必须为 1 2 千米 请研究 amn 是否为定值 若是 求此定值 若不是 请说明理由 mcn 答案 1 2 2 24 解析 分析 1 分别表示出和 根据公式得到的值 tandcn tanmcb tandcnmcb 然后得到的值 从而得到的值 2 设 表示出 mcn cosmcn amx any 表示出 再利用公式表示出 整理化 mn tan tandcnmcb tandcnmcb 简后得到定值 所以为定值 所以得到为定值 dcnmcb mcn 详解 1 由题意可知 11 tan tan 32 dcnmcb 19 所以 11 tantan 32 tan1 11 1tantan 1 32 dcnmcb dcnmcb dcnmcb 由题意可知 所以 0 2 dcnmcb 4 dcnmcb 所以 4 mcn 2 设 所以 amx any 1 2mnxy 在直角三角形中 amn 222 mnxy 所以 2 22 1 2xyxy 整理得 1 20 72xyxy 0 6 tan 0 6 dny dcn cn 0 6 tan 0 6 mbx mcb bc 所以 tantan tan 1tantan dcnmcb dcnmcb dcnmcb 1 2 0 720 6 0 6 0 60 60 6 1 0 36 xy xy yxxyxy 将代入上式可得 1 20 72xyxy tan1dcnmcb 所以 4 dcnmcb 所以为定值 4 mcn 点睛 本题考查几何图形里正切的表示 两角和的正切公式 属于中档题 21 已知函数 ln1f xx 1 设是函数在处的切线 证明 yg x f x 0 0 f xg x 20 2 证明 2 2222 1111 1111 123 enn n 答案 1 证明见解析 2 证明见解析 解析 分析 1 根据题意利用导数的几何意义 求出 再构造函数 再 g xx ln 1h xxx 利用导数求出其最大值 得到 从而证明出 2 由 1 可知 0h x f xg x 取 将所得到的不等式相加 再进行放缩 得到其值小于 ln1xx 22 11 1 23 x 2 从而得以证明 详解 1 由 ln1f xx 可得 1 1 fx x 代入切点横坐标 得切线斜率 0 x 1k 所以切线 g xx 设 ln1h xf xg xxx 则 1 1 11 x h x xx 所以时 单调递增 时 单调 0 x 0h x h x 0 x 0h x h x 递减 所以 max 00h xh 故 max0hh xx 即 f xg x 2 由 1 可知对任意的恒成立 ln1xx 1x 取 有 2 1 1 x 2 1 ln 11 1 21 取 有 2 1 2 x 22 11 ln 1 22 取 有 2 1 x n 22 11 ln 1 nn 则 22222 11111 ln 1ln 1ln 11 122nn 而 22 11111 11 21 22 31nnn 11111 1 1 2231nn 1 22 n 所以 222 111 ln 1ln 1ln 12 12n 即 证毕 2 22 11 1 111 2 e n 点睛 本题考