初中数学 数学名师 亨利嘉当

1 亨利亨利 嘉当嘉当 嘉当 h cartan henri 1904 年 7 月 8 日生于法国南锡 数学 嘉当的父亲 e 嘉当是 20 世纪上半叶最伟大的数学家之一 1909 年 嘉当随父亲到巴 黎 1923 年中学毕业后考入高等师范学校 1926 年毕业 并获得教师资格 1928 年获得 博士学位 论文题目是 有孔线性簇上的全纯函数系 sur les systems de fonc tions holomorphes vari t s lin aires lacunaires 其后在凯恩 caen 的马尔埃贝 malherbe 中 学教了一年书 1929 年到 1931 年在里尔大学理学院任授课教师 在这期间 他主要研究 单复变函数论 在同德国数学家的接触中 逐渐转向多复变函数论 1931 年 他被聘为斯特拉斯堡大学授课教师 不久任讲师 1936 年升为教授 其间 a 韦伊 weil 也于 1933 年到校任教 两人结下深厚友谊 同时 j 德尔萨特 delsarte 及 j 丢东涅 diendonn 在南锡 他们形成了年轻的东部集团 出于共同的理想 1935 年 他们结成布尔巴基学派 并于 1935 1938 年每年夏天召开大会 讨论 数学原理 elementede math matique 的写作 由于共同的兴趣 他们对一般拓扑学有了重要发展 特别是嘉当引进滤系及超滤系的概念 1940 年 5 月 德国大举入侵法国 6 月 14 日巴黎陷落 斯特拉斯堡再次被德国吞 并 嘉当等人集中于法国中部的克勒蒙费朗 clermont ferrand 此处属维希政权管 辖 这段时期 嘉当是巴黎大学理学院讲师 同时负责高等师范学校的数学教育 在此期 间 他和其他布尔巴基学派成员仍然作了许多工作 他本人则在位势理论上有所突破 第二次世界大战结束之后 1945 年夏 他被派到斯特拉斯堡大学理学院负责接收整顿 工作 1947 年中返回巴黎 在巴黎大学及高等师范学校任教 在战后百废待兴的困难环境 中 毅然挑起科研及教学两副重担 1947 年起开办嘉当讨论班 历经 16 年 到 1964 年结 束 对法国数学乃至世界数学产生重大影响 其间 他培养了著名数学家 j p 塞尔 serre r 托姆 thom a 波莱尔 borel 及吴文俊等人 同时他组织布尔巴基讨论班 显示了巨大组织才能 这期间 他在代数拓扑学及多复变函数论方面开创一个新时代 1949 年起他任巴黎大学理学院教授 1969 年改为奥塞理学院教授 后来任巴黎南大学 教授 1975 年退休 他在高等师范学校的兼职到 1965 年结束 由于他的成就 他获得多项荣誉 特别是 1965 年被选为法国科学院通讯院士 1974 年为正式院士 1972 年 他被选为美国国家科学院国外院士 他于 1967 1970 年任国际 数学联盟主席 1971 年被选为英国皇家学会名誉会员 1980 年荣获沃尔夫 wolf 数学 奖 嘉当写了 100 多篇论文和 5 本书 嘉当讨论班报告及布尔巴基讨论班报告的影响极 大 1 多复变函数论 嘉当是 50 年代实现多复变函数论由古典时期向现代时期转折的主要数学家 他组织的 三次讨论班 1951 1952 年 1953 1954 年 1960 1961 年 在这次转折中起着关键作 用 1 解析映射及解析自同构 1906 年前 多复变函数论只是单复变的平行推广 1906 年 f 哈托格斯 hartogs 及 h 庞加莱 poincar 发现了多复变 主要是双复变 与单复变之 间的本质不同 到 20 年代 对于全纯域及其间的映射进行了更深入的研究 1930 年 嘉 当引进圆域 domaines cercle s 在比为 1 的位似变换下稳定并含有原点的域 这是莱因哈特 reinhardt 域的推广 1930 年他证明解析映射的唯一性定理 设 d d 为圆域 其中至少一个为有界域 f d d 为把原点映到原点的全纯同构映射 则 f 是线 性映射 2 对于 2 维有界圆域 他推广 p 图仑 thullen 分类莱因哈特域的工作 得出有界圆域 到自身的一一解析变换均为保原点变换 除非它是莱因哈特域或域 a 其中 a a 0 1 由三个不等式 x 1 析对应 而且所有 a 均为全纯域 对于两变元有界圆域 他还完 全定出其自同构群 另外他还引进半圆域及反圆域 并证明相应的部分结果 1932 年 他 证明另一个一般定理 cn 中有界域的全纯自同构群是 实参数 李群 同时证明紧复解析簇 的自同构群也是李群 2 全纯碱 cn 中的全纯域是 20 世纪上半叶多复变函数论最基本的研究对象 所谓全纯 域 g 是指其上存在解析函数 f 使 f 可以解析开拓到其上的最大的域 也称正则域 对全 纯域加以刻画并进行分类是最基本问题之一 第一个刻画是所谓列维问题 1911 年 e e 列维 levi 用多重亚调和性定义域 g cn 的伪凸性 设 dg e 为域中点 e 到边界距离 如 u log dg 在 g 内为多重次调和函数 则称 g 是伪凸的 全纯域是伪凸域 反过来 伪 凸域是否全纯域是极难的列维问题 1953 1954 年才由日本数学家岡潔等完全肯定地解 决 嘉当只是得出特殊情形的结果 而在列维问题解决之前 嘉当在 1931 年最先得出全纯 域的另一个刻画 他首先定义域的全纯凸性 g cn 称为全纯凸 如对所有紧集 k g k 的 全纯包 是 g 的紧集 1932 年他和图仑证明著名的嘉当 图仑定理 cn 中城 g 是全纯域当且仅 当它是全纯凸的 由此可推出全纯域是伪凸域 3 库辛问题库辛问题是给定极点及零点造出相应亚纯函数的问题 库辛第一问题是米 塔格 莱夫勒 mittag leffler 问题的推广 p 库 1935 年证明对所有全纯域可解 1938 年嘉当举出第一个非全纯域而库辛第一问题有解的例子 他用的是罗朗 laurent 级数 这 个方法后来被他的学生多次用于解更一般情形 库辛第二问题是 k 魏尔斯特拉斯 weierstrass 定理的推广 到 1953 年才由岡潔给 出可解条件 不过他的方法及表述只有经嘉当及塞尔才直接迈入现代多复变时期 4 用绯索建立现代多复变函数论 1945 年 嘉当由 j 勒瑞 leray 处听到绯索的概 念 但是当时没有实际应用 嘉当在 1950 年首先把绯索的概念引进多复变 在 1951 1952 年的讨论班上又引进凝聚绯索的概念 1952 年他同塞尔的讨论 引出来著名的定理 a 和 b 于 1953 年正式发表 它们成为以后多复变发展的出发点 首先 他定义施坦因 stein 流形 它是全纯域的推广 然后他证明关于施坦因流形的定理 a 和 b 定理 a 如果 x 是施坦因流形 f 为 x 上凝聚解析绯索 则对于所有 x x h0 x f 在 fx 中的象生成 qx 模 fx 定理 b 如果 x 是施坦因流形 f 为 x 上凝聚解析绯索 则对所有正整数 q 上同调群 hq x f 均为 0 由此可以推出 对施坦因流形 x 库辛第一问题总有解 同年 他与塞尔证明另一基本定理 如 x 是紧复解析流形 f 是凝聚解析绯索 则 hq x f 是有限维复向量空间 同样结果还可推广到紧解析空间 它是 h 格劳尔特 grauert 著名的直接象定理 在全纯真映射下凝聚解析绯索的直接象也是凝聚绯索 的出发 点 另外他证明了施坦因流形上主纤维空间的基本定理 5 解析空间理论通常的复流形概念不能概括有奇点的簇 因此有必要加以推广 在 1951 1952 年讨论班上 嘉当首先尝试定义解析空间 在 1953 1954 年讨论班上 他正 式引入 环式空间 espace annel 从而定义正规解析空间 1958 年 他证明正规解 析空间可以嵌入在 cn 之中 对于一般的解析空间 1960 年嘉当给出它模一个不连续群所 得的商簇仍为解析空间的条件 3 2 单复空函数论 嘉当的早期工作是关于 r 奈望林纳 nevanlinna 理论的 主要是在博士论文中证明 布洛赫 bloch 猜想的不等式 嘉当在位势理论上有重大贡献 其中包括牛顿位势及其各种推广 他系统应用 能量 的概念 证明有限能量的正分布空间 在赋予由能量诱导出的范数后是完备的 这导致 j 德尼 deny 后来把广义函数论引入位势理论 嘉当还引入精细拓扑的概念 为公理位势论奠定基础 嘉当首次证明超调和函数降序列的极限 如不等于 除了在零外容度的集合之外为 一个超调和函数 他还首次在齐性空间上引入位势理论 3 代数拓扑学 嘉当对代数拓扑学研究是与嘉当讨论班相始终的 1947 年他开始进入这一领域标志着 法国学派的兴起 1 上同调运算 1947 年 n e 斯廷洛德 steenrod 及 c 庞特里亚金 为了解决同伦分类问题而独立引进上同调运算 sq 及 吴文俊 曾向嘉当提出一个公式 其中 u 为上积 嘉当在 1950 年首先给出一个证明 现称为嘉当公式 它 独立得到这 些关系 后称阿德姆关系 他们的证明方法也不同 2 同伦群的计算自从 1935 年同伦论建立以来 求同伦类 特别是同伦群的计算始终 是一大难题 嘉当与塞尔合作 构造一个系统地 消灭 一个空间 x 同伦群的方法 即造 空间 y 及映射 f y x 使 i y 当 i n 时为 0 且 i y i x 当 i n 时是同构 常 可选 f 为纤维映射 造道路空间 然后用谱序列方法 从 y x 及纤维空间群计算 x 的同伦 群来 实际上这已经通往波斯特尼可夫 系统 但没有明显迈出这一 步 3 决定爱仑堡 麦克莱恩代数 hx n 的结构嘉当的 1954 1955 年度讨论班完全是 研究 hx n 的 爱仑堡 麦克莱恩空间 k n 是指除了 n 维同伦群为 之外 其他 同伦群均为 0 的空间 问题是定出 k n 的同调群 h n 他证明 h n 是分次 代数 并定出其结构 这概念在拓扑学及其他领域也很有用 4 李群及齐性空间上的同调 1950 年左右 嘉当同他的学生定出李群及齐性空间的上 同调环 他定出齐性空间 g g 的实系数上同调 其中 g 是紧连通李群 g 是 g 的连通闭子 群 所用的方法是李代数的韦伊代数 这只需计算 g 的李代数的 超渡 transgression 及同态 i g i g 其中 i g 表示在伴随群下不变的李代数上的多项式代数 4 同调代数 1956 年 嘉当及 s 艾伦伯格 eilenberg 合著的 同调代数学 homological algebra 一书出版 标志着这门学科的诞