求线段最小值

求两线段长度值和最小 问题全解析 山东沂源县徐家庄中心学校 左进祥 在近几年的中考中 经常遇到求 PA PB 最小型问题 为了让同学们对这类问题有一个 比较全面的认识和了解 我们特此编写了 求两线段长度值和最小 问题全解析 希望对 同学们有所帮助 一 在三角形背景下探求线段和的最小值一 在三角形背景下探求线段和的最小值 1 11 1 在锐角三角形中探求线段和的最小值在锐角三角形中探求线段和的最小值 例例 1 1 如图 1 在锐角三角形 ABC 中 AB 4 BAC 45 BAC 的平分线交 BC 于 点 D M N 分别是 AD 和 AB 上的动点 则 BM MN 的最小值为 分析分析 在这里 有两个动点 所以在解答时 就不能用我们常用对称点法 我们要选 用三角形两边之和大于第三边的原理加以解决 解解 如图 1 在 AC 上截取 AE AN 连接 BE 因为 BAC 的平分线交 BC 于点 D 所以 EAM NAM 又因为 AM AM 所以 AME AMN 所以 ME MN 所以 BM MN BM ME BE 因为 BM MN 有最小值 当 BE 是点 B 到直线 AC 的距离时 BE 取最小值 为 4 以 BM MN 的最小值是 4 故填 4 1 21 2 在等边三角形中探求线段和的最小值在等边三角形中探求线段和的最小值 例例 2 2 2010 山东滨州 如图 4 所示 等边 ABC 的边长为 6 AD 是 BC 边上的中线 M 是 AD 上的动点 E 是 AC 边上一点 若 AE 2 EM CM 的最小值为 分析分析 要求线段和最小值 关键是利用轴对称思想 找出这条最短的线段 后应用所 学的知识求出这条线段的长度即可 解解 因为等边 ABC 的边长为 6 AD 是 BC 边上的中线 所以点 C 与点 B 关于 AD 对称 连接 BE 交 AD 于点 M 这就是 EM CM 最小时的位置 如图 5 所示 因为 CM BM 所以 EM CM BE 过点 E 作 EF BC 垂足为 F 因为 AE 2 AC 6 所以 EC 4 在直角三角形 EFC 中 因为 EC 4 ECF 60 FEC 30 所以 FC 2 EF 2 因为 BC 6 FC 2 所以 BF 4 在直角三角形 BEF 中 BE 二 在四边形背景下探求线段和的最小值二 在四边形背景下探求线段和的最小值 2 12 1 在直角梯形中探求线段和的最小值在直角梯形中探求线段和的最小值 例例 3 3 2010 江苏扬州 如图 3 在直角梯形 ABCD 中 ABC 90 AD BC AD 4 AB 5 BC 6 点 P 是 AB 上一个动点 当 PC PD 的和最小时 PB 的长 为 分析分析 在这里有一个动点 两个定点符合对称点法求线段和最小的思路 所以解答时 可以用对称法 解解 如图 3 所示 作点 D 关于直线 AB 的对称点 E 连接 CE 交 AB 于点 P 此时 PC PD 和最小 为线段 CE 因为 AD 4 所以 AE 4 因为 ABC 90 AD BC 所以 EAP 90 因为 APE BPC 所以 APE BPC 所以 因为 AE 4 BC 6 所以 所以 所以 因为 AB 5 所以 PB 3 2 22 2 在等腰梯形中探求线段和的最小值在等腰梯形中探求线段和的最小值 例例 4 4 如图 4 等腰梯形 ABCD 中 AB AD CD 1 ABC 60 P 是上底 下底中点 EF 直线上的一点 则 PA PB 的最小值为 分析分析 根据等腰梯形的性质知道 点 A 的对称点是点 D 这是解题的一个关键点 其 次运用好直角三角形的性质是解题的又一个关键 解解 如图 4 所示 因为点 D 关于直线 EF 的对称点为 A 连接 BD 交 EF 于点 P 此时 PA PB 和最小 为线段 BD 过点 D 作 DG BC 垂足为 G 因为四边形 ABCD 是等腰梯形 且 AB AD CD 1 ABC 60 所以 C 60 GDC 30 所以 GC DG 因为 ABC 60 AD BC 所以 BAD 120 因为 AB AD 所以 ABD ADB 30 所以 ADBC 30 所以 BD 2DG 2 所以 PA PB 的最小值为 2 32 3 在菱形中探求线段和的最小值在菱形中探求线段和的最小值 例例 5 5 如图 5 菱形 ABCD 中 AB 2 BAD 60 E 是 AB 的中点 P 是对角线 AC 上的 一个动点 则 PE PB 的最小值为 分析分析 根据菱形的性质知道 点 B 的对称点是点 D 这是解题的一个关键点 解解 如图 5 所示 因为点 B 关于直线 AC 的对称点为 D 连接 DE 交 AC 于点 P 此时 PE PB 和最小 为线段 ED 因为四边形 ABCD 是菱形 且 BAD 60 所以三角形 ABD 是 等边三角形 因为 E 是 AB 的中点 AB 2 所以 AE 1 DE AB 所以 ED 所以 PE PB 的最小值为 2 42 4 在正方形中探求线段和的最小值在正方形中探求线段和的最小值 例例 6 6 如图 6 所示 已知正方形 ABCD 的边长为 8 点 M 在 DC 上 且 DM 2 N 是 AC 上 的一个动点 则 DN MN 的最小值为 分析分析 根据正方形的性质知道 点 B 的对称点是点 D 这是解题的一个关键点 解解 如图 6 所示 因为点 D 关于直线 AC 的对称点为 B 连接 BM 交 AC 于点 N 此时 DN MN 和最小 为线段 BM 因为四边形 ABCD 是正方形 所以 BC CD 8 因为 DM 2 所以 MC 6 所以 BM 10 所以 DN MN 的最小值为 10 例例 7 7 2009 达州 如图 7 在边长为 2cm 的正方形 ABCD 中 点 Q 为 BC 边的中点 点 P 为对角线 AC 上一动点 连接 PB PQ 则 PBQ 周长的最小值为 cm 结果不取近似值 分析分析 在这里 PBQ 周长等于 PB PQ BQ 而 BQ 是正方形边长的一半 是一个定值 1 所以要想使得三角形的周长最小 问题就转化成使得 PB PQ 的和最小问题 因为题目中有 一个动点 P 两个定点 B Q 符合对称点法求线段和最小的思路 所以解答时可以用对称 法 解解 如图 7 所示 根据正方形的性质知道点 B 与点 D 关于 AC 对称 连接 DQ 交 AC 于 点 P 连接 PB 所以 BP DP 所以 BP PQ DP PQ DQ 在 Rt CDQ 中 DQ 所以 PBQ 的周长的最小值为 BP PQ BQ DQ BQ 1 故答案为 1 三 在圆背景下探求线段和的最小值三 在圆背景下探求线段和的最小值 例例 8 8 2010 年荆门 如图 8 MN 是半径为 1 的 O 的直径 点 A 在 O 上 AMN 30 B 为 AN 弧的中点 P 是直径 MN 上一动点 则 PA PB 的最小值为 A 2 B C 1 D 2 分析分析 根据圆的对称性 作出点 A 的对称点 D 连接 DB 则线段和的最小值就是线段 DB 的长度 解解 如图 8 作出点 A 的对称点 D 连接 DB OB OD 因为 AMN 30 B 为 AN 弧的 中点 所以弧 AB 的度数为 30 弧 AB 的度数为 30 弧 AN 的度数为 60 根据圆心角与 圆周角的关系定理得到 BON 30 由垂径定理得 弧 DN 的度数为 60 所以 BOD BON DON 30 60 90 所以 DB 所以选 择 B 四 在反比例函数图象背景下探求线段和的最小值四 在反比例函数图象背景下探求线段和的最小值 例例 9 9 2010 山东济宁 如图 9 正比例函数 y x 的图象与反比例函数 y k 0 在第一象限的图象交于 A 点 过 A 点作 x 轴的垂线 垂足为 M 已知三角形 OAM 的面积为 1 1 求反比例函数的解析式 2 如果 B 为反比例函数在第一象限图象上的点 点 B 与点 A 不重合 且 B 点的横 坐标为 1 在 x 轴上求一点 P 使 PA PB 最小 分析分析 利用三角形的面积和交点坐标的意义 确定出点 A 的坐标是解题的第一个关 键 要想确定出 PA PB 的最小值 关键是明白怎样才能保证 PA PB 的和最小 同学们可以 联想我们以前学过的对称作图问题 明白了最小的内涵 解题的过程就迎刃而解了 解 解 1 设点 A 的坐标为 x y 且点 A 在第一象限 所以 OM x AM y 因为三角形 OAM 的面积为 1 所以所以 xy 2 所以反比例函数的 解析式为 y 2 因为 y x 与 y 相交于点 A 所以 x 解得 x 2 或 x 2 因为 x 0 所以 x 2 所以 y 1 即点 A 的坐标为 2 1 因为点 B 的横坐标为 1 且点 B 在反比例 函数的图像上 所以点 B 的纵坐标为 2 所点 B 的坐标为 1 2 所以点 B 关于 x 轴的 对称点 D 的坐标为 1 2 设直线 AD 的解析式为 y kx b 所以 解得 k 3 b 5 所以函数的解析式为 y 3x 5 当 y 0 时 x 所以当点 P 在 0 时 PA PB 的值最小 五 在二次函数背景下探求线段和的最小值五 在二次函数背景下探求线段和的最小值 例例 1010 2010 年玉溪改编 如图 10 在平面直角坐标系中 点 A 的坐标为 1 1 AOB 的面积是 1 求点 B 的坐标 2 求过点 A O B 的抛物线的解析式 3 在 2 中抛物线的对称轴上是否存在点 C 使 AOC 的周长最小 若存在 求出 点 C 的 坐标 若不存在 请说明理由 分析分析 在这里 AOC 周长等于 AC CO AO 而 A O 是定点 所以 AO 是一个定长 所以要 想使得三角形的周长最小 问题就转化成使得 AC CO 的和最小问题 因为题目中有一个动 点 C 两个定点 A O 符合对称点法求线段和最小的思路 所以解答时可以用对称法 解解 1 由题意得 所以 OB 2 因为点 B 在 x 轴的负半轴上 所以 点 B 的坐标为 2 2 因为 B 2 0 O 0 0 所以设抛物线的解析式为 y ax x 2 将点 A 的坐标 为 1 代入解析式得 3a 所以 a 所以函数的解析式为 y x 3 存在点 C 如图 10 根据抛物线的性质知道点 B 与点 O 是对称点 所以连接 AB 与抛物线的对称轴 x 1 交 AC 于点 C 此时 AOC 的周长最小 设对称轴与 x 轴的交点为 E 过点 A 作 AF 垂直于 x 轴于点 F 则 BE EO EF 1 因为 BCE BAF 所以 所以 所以 CE 因为点 C 在第二象限 所以点 C 的坐标为 1 六 在平面直角坐标系背景下探求线段和的最小值六 在平面直角坐标系背景下探求线段和的最小值 例例 1111 2010 年天津 如图 11 在平面直角坐标系中 矩形的顶点 O 在坐标原 点 顶点 A B 分别在 x 轴 y 轴的正半轴上 OA 3 OB 4 D 为边 OB 的中点 1 若 E 为边 OA 上的一个动点 当 CDE 的周长最小时 求点 E 的坐标 2 若 E F 为边 OA 上的两个动点 且 EF 2 当四边形 CDEF 的周长最小时 求点 E F 的坐标 分析分析 本题的最大亮点是将一个动点求最小值和两个动点求最小值问题糅合在一起 并很好的运用到平面直角坐标系中 解 解 1 如图 12 作点 D 关于 x 轴的对称点 连接 C与 x 轴交于点 E 连接 DE 若在边 OA 上任取点 与点 E 不重合 连接 C D 由 D C C C D CE DE CE 所以 的周长最小 因为 在矩形 OACB 中 OA 3 OB 4 D 为 OB 的中点 所以 BC 3 DO O 2 所以点 C 的坐标为 3 4 点的坐标为 0 2 设直线 C的解析式为 y kx b 则 解得 k 2 b 2 所以函数的解析式为 y 2x 2 令 y 0 则 x 1 所以点 E 的坐标为 1 0 2 如图 13 作点 D 关于 x 轴的对称点 在 CB 边上截取 CG 2 连接G 与 x 轴 交于点 E 在 EA 上截 EF 2