海南省海口市第一中学2020届高三数学上学期10月月考试题（含解析）

1 海南省海口市第一中学海南省海口市第一中学 20202020 届高三数学上学期届高三数学上学期 1010 月月考试题 含解月月考试题 含解 析 析 第第 卷卷 选择题选择题 一 选择题 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 一 选择题 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 1 已知全集 集合 那么等于 u r 0ax x 2 1 0 1 2b ua b a b 0 1 2 1 2 c d 2 1 2 1 0 答案 a 解析 分析 先求出 再求交集得解 ua 详解 由题得 所以 0 ua ua b 0 1 2 故选 a 点睛 本题主要考查补集和交集的运算 意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析 推理能力 2 关于命题 当时 方程没有实数解 下列说法正确的是 1 2m 2 20 xxm a 是全称量词命题 假命题b 是全称量词命题 真命题 c 是存在量词命题 假命题d 是存在量词命题 真命题 答案 a 解析 分析 对的理解是取遍区间的所有实数 当时方程有解 从而判断原命题为 1 2m m 1 2 1m 假命题 详解 原命题的含义是 对于任意 方程都没有实数解 但当 1 2m 2 x2xm0 2 时 方程有实数解 故命题是含有全称量词的假命题 所以正确选项为 a 1m 1x 点睛 判断命题是特称命题还是全称命题 要注意补上省略词 同时注意判断命题为假命 题时 只要能举出反例即可 3 设为非零向量 则 是 方向相同 的 a b ab a b a 充分而不必要条件b 必要而不充分条件 c 充分必要条件d 既不充分也不必要条件 答案 b 解析 分析 根据向量的共线的充要条件 即可作出判定 得到答案 详解 因为为非零向量 所以时 方向相同或相反 a b ab a b 因此 是 方向相同 的必要而不充分条件 ab a b 故选 b 点睛 本题主要考查了充要条件和必要条件的判断 以及向量共线的充要条件 属基础题 其中解答中熟记利用向量共线的充要条件是解答的关键 着重考查了推理与判断能力 4 为了得到函数的图象 只需将的图象上的所有点 3sin21yx 3sinyx a 横坐标伸长 2 倍 再向上平移 1 个单位长度 b 横坐标缩短倍 再向上平移 1 个单位长度 1 2 c 横坐标伸长 2 倍 再向下平移 1 个单位长度 d 横坐标缩短倍 再向下平移 1 个单位长度 1 2 答案 b 解析 分析 由题意利用函数y asin x 的图象变换规律 得出结论 3 详解 将的图象上的所有点的横坐标缩短 倍 纵坐标不变 可得 3sinyx 1 2 y 3sin2x 的图象 再向上平行移动 个单位长度 可得函数的图象 1 3sin21yx 故选 b 点睛 本题主要考查函数y asin x 的图象变换规律 熟记变换规律是关键 属 于基础题 5 已知 若 则 2 3 a 1 bm m 3 cm ab b c a 5b 5c 1d 1 答案 a 解析 分析 通过平行可得 m 得值 再通过数量积运算可得结果 详解 由于 故 解得 于是 ab 21 3mm 2m 2 3 b 2 3 c r 所以 故选 a 495b c r r 点睛 本题主要考查共线与数量积的坐标运算 考查计算能力 6 已知角的顶点与原点重合 始边与轴非负半轴重合 终边过点 则 x 2 1 cos2 a b c d 4 5 3 5 3 5 4 5 答案 c 解析 分析 利用三角函数定义即可求得 再利用余弦的二倍角公式得解 2 cos 5 1 sin 5 4 详解 因为角的终边过点 所以 2 1 1 tan 2 y x 点到原点的距离 2 1 22 215r 所以 2 cos 5 x r 1 sin 5 y r 所以 22 413 cos2cossin 555 故选 c 点睛 本题主要考查了三角函数定义及余弦的二倍角公式 考查计算能力 属于较易题 7 已知 则 3 1 3 a 1 3 3b 1 3 log 3c a b abc cba c d cab bca 答案 c 解析 分析 分析每个数的正负以及与中间值 的大小关系 1 详解 因为 30 11 1 33 a 1 0 3 331 11 33 log 3log 10 所以 01 1 0abc cab 故选 c 点睛 指数 对数 幂的式子的大小比较 首先确定数的正负 其次确定数的大小 很多 情况下都会和 作比较 在比较的过程中注意各函数单调性的使用 1 8 复数满足 则复数的实部与虚部之和为 z 1 1 zii z a b c d 22 10 答案 d 5 解析 由得 所以 故选 d 11zii 122 1 112 i zi ii 22 22 zi 9 已知函数 则 的大致图象是 2 1 44 f x xx f x a b c d 答案 b 解析 分析 利用特殊值 排除错误选项 1 2 x 1 4 x 1x 详解 当时 排除 a 1 2 x 2 11 1 11 2 4 4 22 f 当时 排除 d 1 4 x 2 1141 11 432 4 4 44 ff 当时 排除 c 1x 11 1 0 448 f 故选 b 6 点睛 从函数解析式结合选项 发现零点 单调性 奇偶性 过特殊点等性质 是求解函 数图象问题的常见方法 10 在中 分别是角的对边 若 且 则 abc a b c a b csin3 cos0baab 2 bac 的值为 ac b a 2b c d 4 2 2 2 答案 a 解析 分析 由正弦定理 化简求得 解得 再由余弦定理 求得 sin3cos0bb 3 b 即可求解 得到答案 2 2 4bac 详解 在中 因为 且 abc sin3 cos0baab 2 bac 由正弦定理得 sinsin3sincos0baab 因为 则 0 a sin0a 所以 即 解得 sin3cos0bb tan3b 3 b 由余弦定理得 22222222 2cos 3 3bacacbacacacacacb 即 解得 故选 a 2 2 4bac 2 ac b 点睛 本题主要考查了正弦定理 余弦定理的应用 其中利用正弦 余弦定理可以很好地 解决三角形的边角关系 熟练掌握定理 合理运用是解本题的关键 通常当涉及两边及其中 一边的对角或两角及其中一角对边时 运用正弦定理求解 当涉及三边或两边及其夹角时 运用余弦定理求解 7 11 设是函数的导函数 若 且 fx f x 0fx 1212 x xr xx 则下列选项中不一定正确的一项是 12 12 2 2 xx f xf xf a b 2 ff ef 2 ffef c d 2 2 3 3 ffff 3 3 2 2 ffff 答案 c 解析 分析 原式等价于 可画出大致图像 得到 a 正确 由图像的变化趋 12 12 22 f xf xxx f 势以及导函数的几何意义得到 b 正确 由割线的斜率的定义得到 d 正确 进而得到答案 详解 因为 所以在上单调递增 恒有 0fx f x r 1212 x xr xx 即 12 12 2 2 xx f xf xf 12 12 22 f xf xxx f 所以的图象是向上凸起的 如图所示 yf x 所以 故 a 项正确 2ff ef 因为反映了函数图象上各点处的切线的斜率 fx f x 由图象可知 随着的增大 的图象越来越平缓 即切线的斜率越来越小 x f x 所以 故 b 项正确 2ffef 因为 32 32 32 ff ff 8 表示点与连线的斜率 2 2af 3 3bf 由图可知 故 d 正确 c 项无法推出 3 2 ab fkf 故答案为 c 点睛 这个题目考查了函数的凹凸性 以及导函数的几何意义 导函数的单调性能体现原 函数的变化快慢 以及图像的凹凸性 12 已知函数 若方程有 4 个不同的实数 3 x x x eax e f xag x xe f xg x 解 则实数的取值范围是 a a b c d e 33 e 0 e e 答案 b 解析 分析 由得到 令可得 整理得 f xg x 3 1 x x eax a xe x e t x 3 1 a ta t 然后根据导数可得或 故所求问题转化为方程 30tta 0 x e t x x e te x 有两个大于 的不等实根 画出函数的图象后可得结果 30tta e ex y x 详解 由得到 f xg x 3 1 x x eax a xe 令 则得 整理得 x e t x 3 1 a ta t 30tta 由得 当时 x e t x x 0 x 0t x 当时 在上单调递减 在上单调递增 0 x 2 1 x ex t x x t x 0 1 1 所以当时 0 x 1 t xte 9 所以函数的值域为 t x 0 e 画出函数的图象如下图所示 x e t x x 由题意可得 方程有 4 个不同的实数解 等价于 方程有两 f xg x 30tta 个大于 的不等实根 e 由于有两个不等实根 3 x e t x 所以只需方程有两个不同于上述方程的实根 x e ta x 结合图象可得且 ae 3a 所以实数的取值范围是 a 33 e 故选 b 点睛 已知函数有零点 方程有根 求参数值 取值范围 常用的方法 1 直接法 直接求解方程得到方程的根 再通过解不等式确定参数范围 2 分离参数法 先将参数分离 转化成求函数的值域问题加以解决 3 数形结合法 先对解析式变形 在同一平面直角坐标系中 画出函数的图象 然后数形 结合求解 第第 卷卷 非选择题非选择题 二 填空题 二 填空题 13 已知 是虚数单位 复数 则在复平面上复数对应的点坐标 i 2 1 i z i z 10 答案 1 1 解析 分析 先化复数代数形式 再根据共轭复数定义以及复数几何意义求结果 详解 因为 对应点坐标为 22 1 11 12 iii zizi i 1 1 点睛 本题考查复数除法运算 共轭复数定义以及复数几何意义 考查基本分析求解能力 属基础题 14 如图 九章算术 中记载了一个 折竹抵地 问题 今有竹高一丈 末折抵地 去本三尺 问折者高几何 意思是 有一根竹子原高一丈 丈尺 现被风折断 尖端落在地上 竹 110 尖与竹根的距离三尺 问折断处离地面的高为 尺 答案 4 55 解析 分析 根据题意画出图形 列出等式关系 联立即可求解 详解 如图 已知 尺 尺 100abac 3bc 222 9abacbc 解得 9abacabac 0 9abac 因此 解得 10 0 9 abac abac 5 45 455 ab ac 故折断后的竹干高为尺 故答案为 4 554 55 11 点睛 本题属于解三角形中的简单题型 主要考察解三角形的实际应用问题 关键在 于读懂题意 根据题设做出图形 15 曲线y e 5x 2 在点 0 3 处的切线方程为 答案 530 xy 解析 分析 先利用导数求切线的斜率 再写出切线方程 详解 因为y 5e 5x 所以切线的斜率k 5e0 5 所以切线方程是 y 3 5 x 0 即y 5x 3 故答案为 y 5x 3 点睛 1 本题主要考查导数的几何意义和函数的求导 意在考查学生对这些知识的掌握 水平和分析推理能力 2 函数在点处的导数是曲线在 yf x 0 x 0 fx yf x 处的切线的斜率 相应的切线方程是 00 p xf x 000 yyfxxx 16 己知函数 有以下结论 sincosf xxx 3 22 x 的图象关于直线 轴对称 在区间上单调递减 f xy f x 35 44 的一个对称中心是 的最大值为 f x 0 2 f x 1 2 则上述说法正确的序号为 请填上所有正确序号 答案 12 解析 分析 根据三角函数性质 逐一判断选项得到答案 详解 3 22 x 1 sin2 22 2 sincos 13 sin2 222 x x f xxx x x 根据图像知 的图象关于直线轴对称 错误 f xy 在区间上单调递减 正确 f x 35 44 的一个对称中心是 错误 f x 0 2 的最大值为 正确 f x 1 2 故答案为 点睛 本题考查了三角函数的化简 三角函数的图像 三角函数性质 意在考查学生对于 三角函数的综合理解和应用 三 解答题 解答应写出必要的文字说明 证明过程或演算步骤 三 解答题 解答应写出必要的文字说明 证明过程或演算步骤 17 在中 角 所对的边分别为 且 abc a bcabc coscos2 cos0accabb 求角的大小 b 13 若的面积为 其外接圆的半径为 求的周长 abc 3 3 4 5 3 3abc 答案 2 3 b 2 75 解析 分析 由由正弦定理得 进而得到 sin2sincos0acbb sin2sincos0bbb 求得 即可求解 1 cos 2 b 由 和正弦定理 求得 再由余弦定理得 利用三角形的 5b 22 25acac 面积公式 求得 进而求得的值 得出三角形的周长 3ac ac 详解 由题意 因为 coscos2 cos0accabb 由正弦定理 得 sincossincos2sincos0accabb 即 sin2sincos0acbb 由 得 acb sin2sincos0bbb 又由 则 0 b sin0b 所以 解得 12cos0b 1 cos 2 b 又因为 所以 0 b 2 3 b 由 知 且外接圆的半径为 2 3 b 5 3 3 由正弦定理可得 解得 5 3 2 33 2 b 5b 由余弦定理得 可得 222 2cosbacacb 22 25acac 14 因为的面积为 解得 abc 3 313 sin 424 acbac 3ac 所以 解得 22 22 253acacacacac 2 7ac 所以的周长 abc 2 75lacb 点睛 本题主要考查了三角恒等变换的应用 以及正弦定理 余弦定理和三角形的面积公 式的应用 其中在解有关三角形的题目时 要抓住题设条件和利用某个定理的信息 合理应 用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键 着重考查了运算与求解能力 属于基础题 18 在正项等比数列中 且 成等差数列 n a 1 1a 3 2a 5 a 4 3a 1 求数列的通项公式 2 若数列满足 求数列的前 项和 n b n n n b a n b nn s 答案 1 2 1 2n n a 1 2 4 2 n n n s 解析 分析 1 根据 成等差数列建立方程式求解公比 得出通项公式 3 2a 5 a 4 3a 2 根据错位相减求解数列的前 项和 n b nn s 详解 1 534 1 223 1 aaa a 423 111 1 223 1 a qa qa q a 2q 1 2 q 0 n a 2q 11 1 2 nn n aa q 2 1 2 n n n nn b a 0121 123 2222 n n n s 15 121 1121 22222 n nn nn s 得 21 1111 1 22222 n nn n s 12 2 12 222 nnn nn 1 2 4 2 n n n s 点睛 本题属于基础题 利用方程求解数列的基本量 进而得出通项公式 等比数列乘等 差数列型利用错位相减法求解 19 函数 其中 的部分图象如图所示 把函数 sin f xax 0 0 2 a 的图像向右平移个单位长度 再向下平移 1 个单位 得到函数的图像 f x 4 g x 1 当时 求的值域 17 424 x g x 2 令 若对任意都有恒成立 求 3f xf x x 2 2 20fxm f xm 的最大值m 答案 1 2 2 1 0 2 26 5 解析 分析 1 根据图象的最低点求得的值 根据四分之一周期求得的值 根据点求得 a 7 1 12 16 的值 由此求得函数的解析式 进而根据图象平移变换求得的解析式 并由此 f x g x 求得时的值域 2 先求得的值域 由此求得的值域 令 17 424 x g x f x f x 对题目所给不等式换元 根据二次函数的性质列不等式组 解不等式组 4 2 tf x 求得的取值范围 由此求得的最大值 mm 详解 1 根据图象可知 17 1 4123 at 2 2 sin 2 tf xx t 代入得 7 1 12 7 sin1 2 63 kkz 0 23 k sin 2 3 f xx 把函数的图像向右平移个单位长度 再向下平移 1 个单位 得到函数 f x 4 g x sin 21sin 21 436 g xxx 设 则 2 6 tx 5 34 t 此时 sint 2 1 2 所以值域为 2 1 0 2 2 由 1 可知 sin 2 1 1 3 f xx 3 4 2 f xf x 对任意都有恒成立 x 2 2 20fxm f xm 17 令 4 2 tf x 是关于 的二次函数 开口向上 2 2 2h ttm tm t 则恒成立 max 0h t 而的最大值 在或时取到最大值 h t 4t 2t 则 2 0 4 0 h h 4 2 2 20 16 2 4 20 mm mm 解得 10 3 26 5 m m 所以 则的最大值为 26 5 m m 26 5 点睛 本小题主要考查由三角函数图像求三角函数的解析式 考查三角函数图像变换 考 查不等式恒成立问题 考查化归与转化的数学思想方法 属于中档题 20 如图所示 在四棱锥中 底面是菱形 与交 eabcd abcd60adc acbd 于点 底面 为的中点 oec abcdf beabce 1 求证 平面 deacf 2 求异面直线与所成角的余弦值 eoaf 3 求与平面所成角的正弦值 afebd 18 答案 1 证明见详解 2 3 5 20 5 5 解析 分析 1 连接 of 可得 of 为的中位线 of de 可得证明 bde a 2 连接 c 点与 ad 中点为 x 轴 cb 为 y 轴 ce 为 z 轴建立空间直角坐标系 可得 eo 的值 可得异面直线与所成角的余弦值 af eoaf 3 可得平面 ebd 的一个法向量为 可得与平面所成角的正弦值 n afebd 详解 解 1 如图 连接 of 因为底面是菱形 与交于点 abcdacbdo 可得 o 点为 bd 的中点 又为的中点 所以 of 为的中位线 fbe bde a 可得 of de 又 de 不在平面 acf 内 ofacf 可得 平面 deacf 2 如图连接 c 点与 ad 中点位 x 轴 cb 为 y 轴 ce 为 z 轴建立空间直角坐标系 设菱形的边长为 2 可得 ce 2 abcd 可得 e 0 0 2 o 0 a 1 0 f 0 1 1 3 2 1 2 3 可得 设异面直线与所成角为 3 1 2 22 eo 3 0 1 af eoaf 可得 222222 311 3 0 2 1 5 222 cos 202 5 31 2 3 0 1 22 eo af eo af 3 可得 d 1 0 b 0 2 0 e 0 0 2 3 19 可得 设平面 ebd 的一个法向量为 n0 3 3 0 db 0 2 2 be n 可得 可得的值可为 由 n0db n0be n 3 1 1 3 0 1 af 可得与平面所成角的正弦值为 afebd n n af af 222222 3 3 1 0 1 1 25 55 4 3 1 1 3 0 1 点睛 本题主要考查直线与平面平行 及向量法求异面直线所成的角及向量法求直线与平 面所成的角 综合性大 难度较大 21 为更好地落实农民工工资保证金制度 南方某市劳动保障部门调查了年下半年该市 2018 名农民工 其中技术工 非技术工各名 的月工资 得到这名农民工月工资的中 10050100 位数为百元 假设这名农民工的月工资均在 百元 内 且月工资收入在 39100 25 55 百元 内的人数为 并根据调查结果画出如图所示的频率分布直方图 45 50 15 求 的值 mn 已知这名农民工中月工资高于平均数的技术工有名 非技术工有名 则能否 1003119 在犯错误的概率不超过的前提下认为是不是技术工与月工资是否高于平均数有关系 0 001 参考公式及数据 其中 2 2 n adbc k abcdacbd nabcd 2 0 p kk 0 050 010 0050 001 0 k3 8416 6357 87910 828 20 答案 不能在犯错误的概率不超过的前提下 0 02m 0 025n 0 001 认为是不是技术工与月工资是否高于平均数有关 解析 分析 根据频数计算出月工资收入在 百元 内的频率 利用频率总和为 和频率分 45 50 1 布直方图估计中位数的方法可构造出关于的方程组 解方程组求得结果 根据题 m n 意得到列联表 从而计算出 从而得到结论 2 5 7610 828k 详解 月工资收入在 百元 内的人数为 45 50 15 月工资收入在 百元 内的频率为 45 50 15 0 15 100 由频率分布直方图得 0 02240 0150 151mn 化简得 20 07mn 由中位数可得 0 02 525239350 5mn 化简得 540 2mn 由 解得 0 02m 0 025n 根据题意得到列联表 技术工非技术工总计 月工资不高于平均数193150 月工资高于平均数311950 总计5050100 2 2 10019 1931 31 5 7610 828 50 50 50 50 k 不能在犯错误的概率不超过的前提下 认为是不是技术工与月工资是否高于平均数 0 001 21 有关 点睛 本题考查频率分布直方图中的频率和中位数的计算 独立性检验解决实际问题 考 查基础运算能力 属于常规题型 22 已知函数 2 1 lnf xxaxax i 若讨论的单调性 2a f x 若 且对于函数的图象上两点 存 0a f x 11122212 p xf xpx f xxx 在 使得函数的图象在处的切线 求证 012 xx x f x 0 xx 12 lpp 12 0 2 xx x 答案 1 见解析 2 见证明 解析 分析 1 对函数求导 分别讨论 以及 即可得出结果 f x 0a 20a 2a 2 根据题意 由导数几何意义得到 将证明转化为证 1 1 2 21 1 012 2122