（全国版）2020年中考数学热点专题冲刺6 方案设计问题

热点专题热点专题 7 7 方案设计问题方案设计问题 全日制义务教育数学课程标准 实验稿 中明确提出要培养学生 用数学的眼光去认识自己所生活的环 境与社会 学会 数学地思考 即运用数学的知识 方法去分析事物 思考问题 2019 年中考试卷中有 一类方案设计题 特点是题中给出几种方案让考生通过计算选取最佳方案 或给出设计要求 让考生自己 设计方案 这种方案有时不止一种 因而又具有开放型题的特点 此种题型考查考生的数学应用意识 命 题的背景广泛 考生自由施展才华的空间大 因此倍受命题者的青睐 它要求学生根据題意设计符合条件 的方案 或对己知方案进行评判 涉及的知识点主要有函数思想 分类讨论的思想 统计与概率 锐角三 角函数方程或不等式 组 的应用以及图形变换等 对学生的能力要求较高 符合新课标的理念 考向考向 1 1 设计测量安装方案问题设计测量安装方案问题 1 1 2019 2019 山西 山西 某 综合与实践 小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动 他们制定了测量方案 并利 用课余时间完成了实地测量 他们在该旗杆底部所在的平地上 选取两个不同测点 分别测量了该旗杆顶 端的仰角以及这两个测点之间的距离 为了减小测量误差 小组在测量仰角的度数以及两个测点之间的距 离时 都分别测量了两次并取他们的平均值作为测量结果 测量数据如下表 不完整 课题测量旗杆的高度 成员组长 组员 测量工具测量角度的仪器 皮尺等 测量 示意图 说明 线段 gh 表示旗杆 测量角度的仪器的高度 ac bd 1 5m 测点 a b 与 h 在同一条水平直线上 a b 之间的距离可以直接测得 且点 g h a b c d 都在同一竖直平面内 点 c d e 在同一直线上 点 e 在 gh 上 测量项目第一次第二次平均值 gce 的度数 25 6 25 8 25 7 gde 的度数 31 2 30 8 31 测量数据 a b 之间的距离 5 4m5 6m 任务一 两次测量 a b 之间的距离的平均值是 m 任务二 根据以上测量结果 请你帮助该 综合与实践 小组求出学校旗杆 gh 的高度 参考数据 sin25 7 0 43 cos25 7 0 90 tan25 7 0 48 sin31 0 52 cos31 0 86 tan31 0 60 任务三 该 综合与实践 小组在制定方案时 讨论过 利用物体在阳光下的影子测量旗杆的高度 的方案 但未被采纳 你认为其原因可能是什么 写出一条即可 解 解 任务一 平均值 5 4 5 6 2 5 5m 任务二 由题意可得 四边形 acdb aceh 都是矩形 eh ac 1 5 cd ab 5 5 设 eg xm 在 rt deg 中 deg 90 gde 31 tan31 de eg detan31 x 在 rt ceg 中 ceg 90 gce 25 7 tan25 7 ce eg cetan25 7 x cd ce de 5 5 x 13 2 tan25 7 x tan31 x gh ge eh 13 2 1 5 14 7 答 旗杆 gh 的高度为 14 7m 任务三 答案不唯一 没有太阳光 旗杆底部不可到达 测量旗杆影子的长度遇到困难等 2 2 2019 2019 常德 常德 如图是一种淋浴喷头 右图是的示意图 若用支架把喷头固定在 a 点处 手柄长 ab 25cm ab 与墙壁 d的夹角 ab 37 喷出的水流 bc 与 ab 行程的夹角 abc 72 现在住户要 d d 求 当人站在 e 处淋浴时 水流正好喷洒在人体的 c 处 且使 de 50cm ce 130cm 问 安装师傅应将支 架固定在离地面多高的位置 参考数据 sin37 0 60 cos37 0 80 tan37 0 75 sin72 0 95 cos72 0 31 tan72 3 08 sin35 0 57 cos35 0 82 tan35 0 70 解 解 过 b 点作 mn de 分别交直线 ad 和直线 ec 于点 m n 由题意可知 ad ce ade 90 四边形 dmne 为矩形 amb bnc 9 0 mn de md ne 在 rt abm 中 ab 37 d sin mab mb ab sin37 25 0 6 15 cos mab am ab cos37 mb ab am ab 25 0 8 20 mn de 50 nb 50 15 35 abm 90 37 53 abc 72 nbc 180 53 72 55 bcn 90 55 35 在 rt bnc 中 tan bcn cn 50 en cn ce 50 130 180 md ad md am 180 20 160 cm bn cn 35 0 75 答 安装师傅应将支架固定在离地面 160cm 高的位置 考向考向 2 2 设计方案搭配问题设计方案搭配问题 1 2019 遵义 某校计划组织 240 名师生到红色教育基地开展革命传统教育活动 旅游公司有 a b 两 种客车可供租用 a 型客车每辆载客量 45 人 b 型客车每辆载客量 30 人 若租用 4 辆 a 型客车和 3 辆 b 型客车共需费用 10700 元 若租用 3 辆 a 型客车和 4 辆 b 型客车共需费用 10300 元 1 求租用 a b 两型客车 每辆费用分别是多少元 2 为使 240 名师生有车坐 且租车总费用不超过 1 万元 你有几种租车方案 哪种方案最省钱 解解 1 设租用 a 型客车的费用是 x 元 b 型客车的费用是 y 元 根据题意得 4x 3y 10700 3x 4y 10300 解得 x 1700 y 1300 答 租用 a 型客车的费用 1700 元 b 型客车的费用是 1300 元 2 设租用 a 型客车 a 辆 b 型客车 b 辆 根据题意得 45a 30b 240 1700a 1300b 10000 a b 均为正整数 a 2 b 5 a 4 b 2 两种方案 17 b13 100 3 b2 16 a 当 a 2 b 5 时 费用为 元 99005130021700 当 a 4 b 2 时 费用为 元 94002130041700 答 租用 a 型客车 4 辆 b 型客车 2 辆时费用最低 最低费用为 9400 元 2 2 20192019 山东滨州 山东滨州 2222 1212 分 分 有甲 乙两种客车 2 辆甲种客车与 3 辆乙种客车的总载客量为 180 人 1 辆甲种客车与 2 辆乙种客车的总载客量为 105 人 1 请问 1 辆甲种客车与 1 辆乙种客车的载客量分别为多少人 2 某学校组织 240 名师生集体外出活动 拟租用甲 乙两种客车共 6 辆 一次将全部师生送到指定地 点 若每辆甲种客车的租金为 400 元 每辆乙种客车的租金为 280 元 请给出最节省费用的租车方案 并 求出最低费用 解 1 设辆甲种客车与 1 辆乙种客车的载客量分别为 a 人 b 人 解得答 1 辆甲种客车与 1 辆乙种客车的载客量分别为 45 人和 30 人 23 180 2 105 ab ab 45 30 a b 2 设租用甲种客车 x 辆 租车费用为 y 元 根据题意 得 y 400 x 280 6 x 120 x 1680 由 45x 30 6 x 240 得 x 4 120 0 y 随 x 的增大而增大 当 x 为最小值 4 时 y 值最 小 即租用甲种客车 4 辆 乙种客车 2 辆 费用最低 此时 最低费用 y 120 4 1680 2160 元 3 20192019 浙江省温州市 浙江省温州市 某旅行团 32 人在景区 a 游玩 他们由成人 少年和儿童组成 已知儿童 10 人 成人比少年多 12 人 1 求该旅行团中成人与少年分别是多少人 2 因时间充裕 该团准备让成人和少年 至少各 1 名 带领 10 名儿童去另一景区 b 游玩 景区 b 的门 票价格为 100 元 张 成人全票 少年 8 折 儿童 6 折 一名成人可以免费携带一名儿童 若由成人 8 人和少年 5 人带队 则所需门票的总费用是多少元 若剩余经费只有 1200 元可用于购票 在不超额的前 提下 最多可以安排成人和少年共多少人带队 求所有满足条件的方案 并指出哪种方案购票费用最少 解题过程解题过程 1 该旅行团中成人有 x 人 少年有 y 人 根据题意 得 解得 答 该旅行团中成人有 17 人 少年有 5 人 1032 12 xy xy 17 5 x y 2 成人 8 人可免费带 8 名儿童 所需门票的总费用为 100 8 100 0 8 5 100 0 6 10 8 1320 元 设可以安排成人 a 人 少年 b 人带队 则 1 a 17 1 b 5 设 10 a 17 时 i 当 a 10 时 100 10 80b 1200 b 5 2 b最大值 2 此时 a b 12 费用为 1160 元 ii 当 a 11 时 100 11 80b 1200 b b最大值 1 此时 a b 12 费用为 1180 元 5 4 iii 当 a 12 时 100a 1200 即成人门票至少需要 1200 元 不符合题意 舍去 设 1 a 10 时 i 当 a 9 时 100 9 80b 60 1200 b 3 b最大值 3 此时 a b 12 费用为 1200 元 ii 当 a 8 时 100 8 80b 60 2 1200 b 7 2 b最大值 3 此时 a b 11 12 不符合题意 舍去 iii 同理 当 a 8 时 a b 12 不符合题意 舍去 综上所述 最多可以安排成人和少年共 12 人带队 有三个方案 成人 10 人 少年 2 人 成人 11 人 少年 1 人 成人 9 人 少年 3 人 其中当成人 10 人 少年 2 人时购票费用最少 考向考向 3 3 设计产品销售方案问题设计产品销售方案问题 1 1 2019 赤峰 某校开展校园艺术节系列活动 派小明到文体超市购买若干个文具袋作为奖品 这种 文具袋标价每个 10 元 请认真阅读结账时老板与小明的对话 1 结合两人的对话内容 求小明原计划购买文具袋多少个 2 学校决定 再次购买钢笔和签字笔共 50 支作为补充奖品 两次购买奖品总支出不超过 400 元 其中 钢笔标价每支 8 元 签字笔标价每支 6 元 经过沟通 这次老板给予 8 折优惠 那么小明最多可购买钢笔 多少支 解 1 设小明原计划购买文具袋 x 个 则实际购买了 x 1 个 依题意得 10 x 1 0 85 10 x 17 解得 x 17 答 小明原计划购买文具袋 17 个 2 设小明可购买钢笔 y 支 则购买签字笔 50 x 支 依题意得 8y 6 50 y 80 400 17 10 17 解得 y 4 375 即 y最大值 4 答 明最多可购买钢笔 4 支 2 2019 孝感 为了加快 智慧校园 建设 某市准备为试点学校采购一批 a b 两种型号的一体机 经过市场调查发现 今年每套 b 型一体机的价格比每套 a 型一体机的价格多 0 6 万元 且用 960 万元恰好 能购买 500 套 a 型一体机和 200 套 b 型一体机 1 求今年每套 a 型 b 型一体机的价格各是多少万元 2 该市明年计划采购 a 型 b 型一体机 1100 套 考虑物价因素 预计明年每套 a 型一体机的价格比今年 上涨 25 每套 b 型一体机的价格不变 若购买 b 型一体机的总费用不低于购买 a 型一体机的总费用 那 么该市明年至少需要投入多少万元才能完成采购计划 解 1 设今年每套 a 型一体机的价格为 x 万元 每套 b 型一体机的价格为 y 万元 由题意得 解得 y x 0 6 500 x 200y 960 x 1 2 y 1 8 故今年每套 a 型一体机的价格为 1 2 万元 每套 b 型一体机的价格为 1 8 万元 2 设该市明年购买 a 型一体机 m 套 则购买 b 型一体机 1100 m 套 由题意得 1 8 1100 m 1 2 1 25 m 解得 m 600 设明年需投入 w 万元 w 1 2 1 25 m 1 8 1100 m 0 3m 1980 0 3 0 w 随 m 的增大而减小 m 600 当 m 600 时 w 有最小值为 0 3 600 1980 1800 故该市明年至少需投入 1800 万元才能完成采购计划 考向考向 4 4 设计图案问题设计图案问题 1 2019 2019 河北 河北 如图 3 在小正三角形组成的网格中 已有 6 个小正三角形涂黑 还需涂照 n 个小正三 角形 使它们与原来涂黑的小正三角形