2012年各地中考数学压轴题精选

1 乐山 如图 14 在平面直角坐标系中 点 A 的坐标为 m m 点 B 的坐标为 n n 抛物线经过 A O B 三点 连结 OA OB AB 线段 AB 交 y 轴于点 C 已知实数 m n m n 分别是方程的两根 2 230 xx 1 求抛物线的解析式 2 若点 P 为线段 OB 上的一个动点 不与点 O B 重合 直线 PC 与抛物线交于 D E 两点 点 D 在轴右侧 连结 OD BD y 当 OPC 为等腰三角形时 求点P 的坐标 求 BOD 面积的最大值 并写出此时点D 的坐标 解 1 解方程 得 032 2 xx3 1 x1 2 x 1 分 nm 1 m3 n A 1 1 B 3 3 抛物线过原点 设抛物线的解析式为 bxaxy 2 解得 1 393 ab ab 2 1 a 2 1 b 抛物线的解析式为 4 分 xxy 2 1 2 1 2 2 设直线 AB 的解析式为 bkxy 解得 1 33 kb kb 2 1 k 2 3 b 直线 AB 的解析式为 13 22 yx C 点坐标为 0 6 分 2 3 直线 OB 过点 O 0 0 B 3 3 直线 OB 的解析式为 xy OPC 为等腰三角形 OC OP 或 OP PC 或 OC PC 设 xP x i 当 OC OP 时 22 9 4 xx 解得 舍去 P 4 23 1 x 2 3 2 4 x 1 4 23 4 23 ii 当 OP PC 时 点 P 在线段 OC 的中垂线上 2 P 4 3 4 3 图 14 P E D C B A O y x H Q G x y O A B C D E P 图 14 iii 当 OC PC 时 由 4 9 2 3 22 xx 解得 舍去 P 2 3 1 x0 2 x 3 2 3 2 3 P 点坐标为 P 或 或 P 9 分 1 4 23 4 23 2 P 4 3 4 3 3 2 3 2 3 过点 D 作 DG x 轴 垂足为 G 交 OB 于 Q 过 B 作 BH x 轴 垂足为 H 设 Q D xx xxx 2 1 2 1 2 BDQODQBOD SSS 2 1 2 1 2 1 GHOGDQGHDQOGDQ 3 2 1 2 1 2 1 2 xxx 16 27 2 3 4 3 2 x 0 3 x 当时 S 取得最大值为 此时 D 13 分 2 3 x 16 27 2 3 8 3 2 东营 已知抛物线经过 A 2 0 设顶点为点 P 与 x 轴的另一交点为点 B 36 2 3 2 bxxy 1 求 b 的值 求出点 P 点 B 的坐标 2 如图 在直线 y x 上是否存在点 D 使四边形 OPBD 为平行四边形 若存在 求出点 D 的坐标 3 若不存在 请说明理由 3 在 x 轴下方的抛物线上是否存在点 M 使 AMP AMB 如果存在 试举例验证你的猜想 如果 不存在 试说明理由 3 黄石 已知抛物线的函数解析式为 若抛物线经过点 方程 1 C 2 3 0 yaxbxa b 1 C 0 3 的两根为 且 2 30axbxa 1 x 2 x 12 4xx 1 求抛物线的顶点坐标 1 C A P Bx y O 第 24 题图 xy3 2 已知实数 请证明 并说明为何值时才会有 0 x 1 x x 2x 1 2x x 3 若抛物线先向上平移 4 个单位 再向左平移 1 个单位后得到抛物线 设 是 2 C 1 A m y 2 B n y 上的两个不同点 且满足 请你用含有的表达式表示出 的 2 C 0 90AOB 0m 0n mAOB 面积 并求出的最小值及取最小值时一次函数的函数解析式 SSSOA 参考公式 在平面直角坐标系中 若 则 两点间的距离为 11 P x y 22 Q xyPQ 22 2121 xxyy 解 1 抛物线过 点 3a a 分 x2 bx x2 bx 的两根为 x1 x2且 21 x x 且 b 21 2 2121 4 xxxxxx b 分 x2 x x 抛物线 的顶点坐标为 分 2 x 0 1 2 1 x x x x 显然当 x 时 才有 分 2 1 x x 2 1 x x 3 方法一 由平移知识易得 的解析式为 y x2 分 m m B n n AOB 为 Rt OA OB AB m m n n m n m n 化简得 m n 分 AOB OBOA 2 1 4242 2 1 nnmm m n AOB 2 222 1 2 2 1 2 2 1 m mnm 12 2 11 2 1 1 2 1 2 m m m m AOB的最小值为 此时 m 分 直线 OA 的一次函数解析式为 x 分 方法二 由题意可求抛物线的解析式为 1 分 2 C 2 yx 2 A m m 2 B n n 过点 作轴的垂线 垂足分别为 则ABxCD AOCBODACDB SSSS 梯形 2222 111 222 mnmnm mn n 1 2 mn mn 由 得 BOD OAC BDOD OCAC 即 2 2 nn mm 1 分 1mn 1 n m 1 2 Smn mn 11 2 m m 由 2 知 1 2m m 111 21 22 Sm m 当且仅当 取得最小值 11m S 此时的坐标为 2 分 A 一次函数的解析式为 1 分 OAyx 4 张家界 如同 抛物线与轴交于 C A 两点 与 y 轴交于点 B OB 4 点 O 关23 3 2 2 xxyx 于直线 AB 的对称点为 D E 为线段 AB 的中点 1 分别求出点 A 点 B 的坐标 2 求直线 AB 的解析式 3 若反比例函数的图像过点 D 求值 x k y k 4 两动点 P Q 同时从点 A 出发 分别沿 AB AO 方向向 B O 移动 点 P 每秒移动 1 个单位 点 Q 每秒移动个单位 设 POQ 的面积为 S 移动时间 2 1 为 t 问 S 是否存在最大值 若存在 求出这个最大值 并求出此时的 t 值 若不存在 请说明理由 5 泉州 如图 点 O 为坐标原点 直线l绕着点 A 0 2 旋转 与经过点 C 0 1 的二次函数 hxy 2 4 1 交于不同的两点 P Q 1 求 h 的值 2 通过操作 观察算出 POQ 面积的最小值 3 过点 P C 作直线 与x轴交于点 B 试问 在直线l的旋转过程中四边形 AOBQ 是否为梯形 若是 请 说明理由 若不是 请指明其形状 B n n2 A m m2 OCD y x y x B D P AQOC 2 y P Al Q 图 C P O x 解 1 0 1 带入二次函数hxy 2 4 1 中 得1 h A 2 操作 观察可知当直线l x轴时 其面积最小 CQ 将 y 2 带入二次函数1 4 1 2 xy中 得2 x S最小 2 4 2 4 B 3 由特殊到一般 一 如图 所示 当直线l x轴时 四边形 AOBQ 为正方形 O 可知 BO AQ 2 AOB 90 故四边形 AOBQ 为正方形 二 如图二 当直线l不平行与x轴时 四边形 AOBQ 为梯形 连接 BQ 设 P 1 4 1 2 aa Q 1 4 1 2 bb ba 0 直线 BC 1 1 xky过低点 P 即11 4 1 1 2 aka 得ak 4 1 1 1 4 1 ay 点 B 为 0 4 a 同理直线l 2 2 xky 21 4 1 2 2 aka 21 4 1 2 2 bkb 得 b a 4 所以点 Q P 同横坐标 即为 AC BQ 且 AQ 不与 OB 平行 故四边形 AOBQ 为梯形 6 荆门 如图甲 四边形 OABC 的边 OA OC 分别在 x 轴 y 轴的正半轴上 顶点在 B 点的抛物线交 x 轴 于点 A D 交 y 轴于点 E 连结 AB AE BE 已知 tan CBE A 3 0 D 1 0 E 0 3 1 3 1 求抛物线的解析式及顶点 B 的坐标 2 求证 CB 是 ABE 外接圆的切线 3 试探究坐标轴上是否存在一点 P 使以 D E P 为顶点的三角形与 ABE 相似 若存在 直接写出点 P 的坐标 若不存在 请说明理由 4 设 AOE 沿 x 轴正方向平移 t 个单位长度 0 t 3 时 AOE 与 ABE 重叠部分的面积为 s 求 s 与 t 之间的函数关系式 并指出 t 的取值范围 图甲 A E D C B y xO 图乙 备用图 A E D C B y xO 1 解 由题意 设抛物线解析式为 y a x 3 x 1 将 E 0 3 代入上式 解得 a 1 y x2 2x 3 则点 B 1 4 2 分 2 如图 6 证明 过点 B 作 BM y 于点 M 则 M 0 4 在 Rt AOE 中 OA OE 3 1 2 45 AE 3 22 OAOE 2 在 Rt EMB 中 EM OM OE 1 BM MEB MBE 45 BE 22 EMBM 2 BEA 180 1 MEB 90 AB 是 ABE 外接圆的直径 3 分 在 Rt ABE 中 tan BAE tan CBE BE AE 1 3 BAE CBE 在 Rt ABE 中 BAE 3 90 CBE 3 90 CBA 90 即 CB AB CB 是 ABE 外接圆的切线 5 分 3 P1 0 0 P2 9 0 P3 0 8 分 1 3 4 解 设直线 AB 的解析式为 y kx b 将 A 3 0 B 1 4 代入 得解得 30 4 kb kb 2 6 k b y 2x 6 过点 E 作射线 EF x 轴交 AB 于点 F 当 y 3 时 得 x F 3 9 分 3 2 3 2 情况一 如图 7 当 0 t 时 设 AOE 平移到 DNM 的位置 MD 交 AB 于点 H MN 交 AE 于点 G 3 2 则 ON AD t 过点 H 作 LK x 轴于点 K 交 EF 于点 L 由 AHD FHM 得 即 解得 HK 2t ADHK FMHL 33 2 tHK HK t S阴 S MND S GNA S HAD 3 3 3 t 2 t 2t t2 3t 11 分 1 2 1 2 1 2 3 2 图 7 A E D C B y xO FML HG KND 图 8 A E D C B y xO F P Q V I R 情况二 如图 8 当 t 3 时 设 AOE 平移到 PQR 的位置 PQ 交 AB 于点 I 交 AE 于点 V 由 3 2 IQA IPF 得 即 解得 IQ 2 3 t AQIQ FPIP 3 33 2 IQ t IQ t S阴 S IQA S VQA 3 t 2 3 t 3 t 2 3 t 2 t2 3t 1 2 1 2 1 2 1 2 9 2 图 6 A E D C B y x O P3 1 2 3 P2 M 综上所述 s 12 分 2 2 33 3 0 22 193 3 3 222 ttt ttt 7 武汉 如图 1 点 A 为抛物线 C1 y x2 2 的顶点 点 B 的坐标为 1 0 直线 AB 交抛物线 C1于另一 1 2 点 C 1 求点 C 的坐标 2 如图 1 平行于 y 轴的直线 x 3 交直线 AB 于点 D 交抛物线 C1于点 E 平行于 y 轴的直线 x a 交 直线 AB 于 F 交抛物线 C1于 G 若 FGE 4 3 求 a 的值 3 如图 2 将抛物线 C1向下平移 m m 0 个单位得到抛物线 C2 且抛物线 C2的顶点为点 P 交 x 轴于 点 M 交射线 BC 于点 N NQ x 轴于点 Q 当 NP 平分 MNQ 时 求 m 的值 8 如图 已知抛物线的方程C1 y x 2 x m m 0 与x 轴相交于点B C 与y 轴相交于点E 且点B 在点 C 的左侧 1 若抛物线C1过点M 2 2 求实数m 的值 2 在 1 的条件下 求 BCE 的面积 3 在 1 的条件下 在抛物线的对称轴上找一点H 使BH EH 最小 并求出点H 的坐标 4 在第四象限内 抛物线C1上是否存在点F 使得以点B C F 为 顶点的三角形与 BCE 相似 若存在 求m 的值 若不存在 请说 明理由 9 苏州 如图 已知抛物线与 x 轴的正半轴分别交于点 A B 点 1 4 2 1 4 1 4 是实数且 2 A 位于点 B 的左侧 与 y 轴的正半轴交于点 C 点 B 的坐标为 点 C 的坐标为 用含 b 的代数式表示 请你探索在第一象限内是否存在点 P 使得四边形 PCOB 的面积等于 2b 且 PBC 是以点 P 为直角顶 点的等腰直角三角形 如果存在 求出点 P 的坐标 如果不存在 请说明理由 请你进一步探索在第一象限内是否存在点 Q 使得 QCO QOA 和 QAB 中的任意两个三角形均 相似 全等可看作相似的特殊情况 如果存在 求出点 Q 的坐标 如果不存在 请说明理由 x y P O C BA 解 B b 0 C 0 4 假设存在这样的点 P 使得四边形 PCOB 的面积等于 2b 且 PBC 是以点 P 为直角顶点的 等腰直角三角形 设点 P 坐标 x y 连接 OP 则 四边形 1 2 4 1 2 2 4 16 过 P 作 PD x 轴 PE y 轴 垂足分别为 D E PEO EOD ODP 90 四边形 PEOD 是矩形 EPD 90 PBC 是等腰直角三角形 PC PB BPC 90 EPC BPD PEC PDB PE PD 即 x y 由 解得 x y 4 16 16 5 16 5 由 PEC PDB 得 EC DB 即 解得符合题意 16 5 4 16 5 128 25 2 点 P 坐标为 16 5 16 5 假设存在这样的点 Q 使得 QCO QOA 和 QAB 中的任意两个三角形均相似 QAB AOQ AQO QAB AOQ QAB AQO 要使得 QOA 和 QAB 相似 只能 OAQ QAB 90 即 QA x 轴 b 2 AB OA QOA QBA QOA AQB 此时 OQB 90 由 QA x 轴知 QA y 轴 COQ OQA 要使得 QOA 和 OQC 相似 只能 OCQ 90 或 OQC 90 当 OCQ 90 时 QOA OQC AQ CO 4 由得 2 4 2 1 解得 8 4 3 2 8 4 3 4 2 3 点 Q 坐标为 1 2 3 当 OQC 90 时 QOA OCQ 即 2 又 即 2 4 1 解得 AQ 4 此时 b 17 2 符合题意 点 Q 坐标为 1 4 综上可知 存在点 Q 1 或 1 4 使得 QCO QOA 和 QAB 中的任意两 2 3 个三角形均相似 10 临忻 如图 点 A 在 x 轴上 OA 4 将线段 OA 绕点 O 顺时针旋转 120 至 OB 的位置 1 求点 B 的坐标 2 求经过点 A O B 的抛物线的解析式 3 在此抛物线的对称轴上 是否存在点 P 使得以点 P O B 为顶点的三角形是等腰三角形 若存在 求点 P 的坐标 若不存在 说明理由 解 1 如图 过 B 点作 BC x 轴 垂足为 C 则 BCO 90 AOB 120 BOC 60 又 OA OB 4 OC OB 4 2 BC OB sin60 4 2 1 2 1 2 3 2 3 点 B 的坐标为 2 2 3 2 抛物线过原点 O 和点 A B 可设抛物线解析式为 y ax2 bx 将 A 4 0 B 2 2 代入 得解得3 1640 422 3 ab ab 3 6 2 3 3 a b 此抛物线的解析式为 y x2 x 3 6 2 3 3 3 存在 如图 抛物线的对称轴是 x 2 直线 x 2 与 x 轴的交点为 D 设点 P 的坐标为 2 y 若 OB OP 则 22 y 2 42 解得 y 2 3 当 y 2时 在 Rt POD 中 PDO 90 sin POD POD 60 3 PD OP 3 2 POB POD AOB 60 120 180 即 P O B 三点在同一直线上 y 2不符合题意 舍去 3 点 P 的坐标为 2 2 3 若 OB PB 则 42 y 2 2 42 解得 y 2 故点 P 的坐标为 2 2 333 若 OP BP 则 22 y 2 42 y 2 2 解得 y 2 故点 P 的坐标为 2 2 333 综上所述 符合条件的点 P 只有一个 其坐标为 2 2 3 11 梅州 如图 矩形 OABC 中 A 6 0 C 0 2 D 0 3 射线 l 过点 D 且与 x 轴平行 点 P Q 分别 33 是 l 和 x 轴正半轴上动点 满足 PQO 60 1 点 B 的坐标是 CAO 度 当点 Q 与点 A 重合时 点 P 的坐标为 直接写 出答案 2 设 OA 的中心为 N PQ 与线段 AC 相交于点 M 是否存在点 P 使 AMN 为等腰三角形 若存在 请 直接写出点 P 的横坐标为 m 若不存在 请说明理由 3 设点 P 的横坐标为 x OPQ 与矩形 OABC 的重叠部分的面积为 S 试求 S 与 x 的函数关系式和相应的 自变量 x 的取值范围 备用图 1 6 2 30 3 3 33 2 情况 MN AN 此时 m 0 情况 如图 AM AN 作 MJ x 轴 PI x 轴 MJ MQ sin60 AQ sin60 OA IQ OI sin60 3 m AM AN 可得 3 m 得 m 3 3 2 1 2 1 2 3 2 3 2 3 2 3 情况 AM NM 此时 M 的横坐标是 4 5 m 2 3 当 0 x 3 时 如图 OI x IQ PI tan60 3 OQ OI IQ 3 x 由题意可知直线 l BC OA 可得 EF 此时重叠部分是梯形 其面积为 EF OQ PE PO DC DO 3 3 3 1 3 1 3 3 x S梯形 EF OQ OC 1 2 4 3 3 3 x 当 3 x 5 时 S S梯形 S HAQ S梯形 AH AQ 1 2 4 3 3 3 x 3 2 x 3 2 当 5 x 9 时 S BE OA OC 1 23 12 F 2 3 x 当 9 x 时 S OA AH 1 2 54 3 x 12 2012 菏泽 如图 在平面直角坐标系中放置一直角三角板 其顶点为 A 0 1 B 2 0 O 0 0 将此三角板绕原点 O 逆时针旋转 90 得到 A B O 1 一抛物线经过点 A B B 求该抛物线的解析式 2 设点 P 是在第一象限内抛物线上的一动点 是否存在点 P 使四边形 PB A B 的面积是 A B O 面积 4 倍 若存在 请求出 P 的坐标 若不存在 请说明理由 3 在 2 的条件下 试指出四边形 PB A B 是哪种形状的四边形 并写出四边形 PB A B 的两条性质 考点 二次函数综合题 解答 解 1 A B O 是由 ABO 绕原点 O 逆时针旋转 90 得到的 又 A 0 1 B 2 0 O 0 0 A 1 0 B 0 2 设抛物线的解析式为 2 0 yaxbxc a 抛物线经过点 A B B 0 2 042 abc c abc 解之得 1 1 2 a b c 满足条件的抛物线的解析式为 2 2yxx 2 P 为第一象限内抛物线上的一动点 设 P x y 则 x 0 y 0 P 点坐标满足 2 2yxx 连接 PB PO PB B OA B O OB PB A B SSSS PP四边形 111 1 2 2 2 222 xy 22 2 123xxxxx 假设四边形PB A B 的面积是A B O 面积的4倍 则 2 234xx 即 2 210 xx 解之得1x 此时 2 1122y 即 1 2 P 存在点 P 1 2 使四边形 PB A B 的面积是 A B O 面积的 4 倍 3 四边形 PB A B 为等腰梯形 答案不唯一 下面性质中的任意 2 个均可 等腰梯形同一底上的两个内角相等 等腰梯形对角线相等 等腰梯形上底与下底平行 等腰梯形两腰相等 或用符号表示 B A B PBA 或 A B P BPB PA B B B P A B B A PB 13 2012 烟台 如图 在平面直角坐标系中 已知矩形 ABCD 的三个顶点 B 1 0 C 3 0 D 3 4 以 A 为顶点的抛物线 y ax2 bx c 过点 C 动点 P 从点 A 出发 沿线段 AB 向点 B 运动 同时动 点 Q 从点 C 出发 沿线段 CD 向点 D 运动 点 P Q 的运动速度均为每秒 1 个单位 运动时间为 t 秒 过点 P 作 PE AB 交 AC 于点 E 1 直接写出点 A 的坐标 并求出抛物线的解析式 2 过点 E 作 EF AD 于 F 交抛物线于点 G 当 t 为何值时 ACG 的面积最大 最大值为多少 3 在动点 P Q 运动的过程中 当 t 为何值时 在矩形 ABCD 内 包括边界 存在点 H 使以 C Q E H 为顶点的四边形为菱形 请直接写出 t 的值 解 1 A 1 4 1 分 由题意知 可设抛物线解析式为 y a x 1 2 4 抛物线过点 C 3 0 0 a 3 1 2 4 解得 a 1 抛物线的解析式为 y x 1 2 4 即 y x2 2x 3 2 分 2 A 1 4 C 3 0 可求直线 AC 的解析式为 y 2x 6 点 P 1 4 t 3 分 将 y 4 t 代入 y 2x 6 中 解得点 E 的横坐标为 x 1 4 分 点 G 的横坐标为 1 代入抛物线的解析式中 可求点 G 的纵坐标为 4 GE 4 4 t t 5 分 又点 A 到 GE 的距离为 C 到 GE 的距离为 2 即 S ACG S AEG S CEG EG EG 2 2 t t 2 2 1 7 分 当 t 2 时 S ACG的最大值为 1 8 分 3 t 或 t 20 8 12 分 说明 每值各占 2 分 多出的值未舍去 每个扣 1 分 14 凉州 如图 在平面直角坐标系中 直线与轴 轴分别交于 两点 抛物线4yx xyAB 经过 两点 并与轴交于另一点 点点的右侧 点是抛物线上一动点 2 yxbxc ABxCCAP 1 求抛物线的解析式及点的坐标 C 2 若点 P 在第二象限内 过点 P 作轴于 交于点 当点运动到什么位置时 线段PD DABEP 最长 此时等于多少 PEPE 3 如果平行于轴的动直线 与抛物线交于点 与直线交于点 点为的中点 那么是否xlQABNMOA 存在这样的直线 使得是等腰三角形 若存在 请求出点的坐标 若不存在 请说明理由 lMON Q 15 南充 如图 C 的内接 AOB 中 AB AO 4 tan AOB 抛物线经过点 A 4 0 与点 2 6 3 4 2 yaxbx 1 求抛物线的函数解析式 2 直线 m 与 C 相切于点 A 交 y 轴于点 D 动点 P 在线段 OB 上 从点 O 出发向点 B 运动 同时 动点 Q 在线段 DA 上 从点 D 出发向点 A 运动 点 P 的速度为每秒 l 个单位长 点 Q 的速度为每秒 2 个单 位长 当 PQ AD 时 求运动时间 t 的值 3 点 R 在抛物线位于 x 轴下方部分的图象上 当 ROB 面积最大时 求点 R 的坐标 16 资阳 抛物线 2 1 4 yxxm 的顶点在直线3yx 上 过点 F 2 2 的直线交该抛物线于点 M N 两点 点 M 在点 N 的左边 MA x轴于点 A NB x轴于点 B 来源 2 若点 D 的坐标为 1 0 在直线3 xy上有一点 P 使 ABO 与 ADP 相似 求出点 P 的 坐标 3 在 2 的条件下 在 x 轴下方的抛物线上 是否存在点 E 使 ADE 的面积等于四边形 APCE 的 面积 如果存在 请求出点 E 的坐标 如果不存在 请说明理由 18 2012 金华市 如图 1 已知直线 y kx 与抛物线 y 交于点 A 3 6 1 求直线 y kx 的解析式和线段 OA 的长度 2 点 P 为抛物线第一象限内的动点 过点 P 作直线 PM 交 x 轴于点 M 点 M O 不重合 交直线 OA 于点 Q 再过点 Q 作直线 PM 的垂线 交 y 轴于点 N 试探究 线段 QM 与线段 QN 的长度之比是否为定值 如果是 求出这个定值 如果不是 说明理由 3 如图 2 若点 B 为抛物线上对称轴右侧的点 点 E 在线段 OA 上 与点 O A 不重合 点 D m 0 是 x 轴正半轴上的动点 且满足 BAE BED AOD 继续探究 m 在什么范围时 符合条件的 E 点的个数 分别是 1 个 2 个 解 1 把点 A 3 6 代入 y kx 得 6 3k k 2 y 2x 2012 金华市 OA 3 分 2 是一个定值 理由如下 25 题图 如答图 1 过点 Q 作 QG y 轴于点 G QH x 轴于点 H 当 QH 与 QM 重合时 显然 QG 与 QN 重合 此时 当 QH 与 QM 不重合时 QN QM QG QH 不妨设点 H G 分别在 x y 轴的正半轴上 MQH GQN 又 QHM QGN 90 QHM QGN 5 分 当点 P Q 在抛物线和直线上不同位置时 同理可得 7 分 3 如答图 2 延长 AB 交 x 轴于点 F 过点 F 作 FC OA 于点 C 过点 A 作 AR x 轴于点 R AOD BAE AF OF OC AC OA ARO FCO 90 AOR FOC AOR FOC OF 点 F 0 设点 B x 过点 B 作 BK AR 于点 K 则 AKB ARF 即 解得 x1 6 x2 3 舍去 点 B 6 2 BK 6 3 3 AK 6 2 4 AB 5 8 分 求 AB 也可采用下面的方法 设直线 AF 为 y kx b k 0 把点 A 3 6 点 F 0 代入得 k b 10 舍去 B 6 2 AB 5 8 分 其它方法求出 AB 的长酌情给分 在 ABE 与 OED 中 BAE BED ABE AEB DEO AEB ABE DEO BAE EOD ABE OED 9 分 设 OE x 则 AE x 由 ABE OED 得 10 分 顶点为 如答图 3 当时 OE x 此时 E 点有 1 个 当时 任取一个 m 的值都对应着两个 x 值 此时 E 点有 2 个 当时 E 点只有 1 个 11 分 当时 E 点有 2 个 12 分 19 日照 如图 二次函数 y x2 bx c 的图象与 x 轴交于 A B 两点 且 A 点坐标为 3 0 经过 B 点的直线交抛物线于点 D 2 3 1 求抛物线的解析式和直线 BD 解析式 2 过 x 轴上点 E a 0 E 点在 B 点的右侧 作直线 EF BD 交抛物 线于点 F 是否存在实数 a 使四边形 BDFE 是平行四边形 如果存在 求出满足条件的 a 如果不存在 请说 明理由 20 衡阳 在平面直角坐标中 如图 正方形 OABC 的边长为 4 边 OA 在轴的正半轴上 xoyx 边 OC 在轴的正半轴上 点 D 是 OC 的中点 BE DB 交轴于点 E yx 求经过点 D B E 的抛物线的解析式 将 DBE 绕点 B 旋转一定的角度后 边 BE 交线段 OA 于点 F 边 BD 交轴于点 G 交 中的抛物线于y M 不与点 B 重合 如果点 M 的横坐标为 那么结论 OF DG 能成立吗 请说明理由 5 12 2 1 过 中的点 F 的直线交射线 CB 于点 P 交 中的抛物线在第一象限的部分于点 Q 且 使 PFE 为等腰三角形 求 Q 点的坐标 21 达州 如图 1 在直角坐标系中 已知点 A 0 2 点 B 2 0 过点 B 和线段 OA 的中点 C 作直 线 BC 以线段 BC 为边向上作正方形 BCDE 1 填空 点 D 的坐标为 点 E 的坐标为 2 若抛物线经过 A D E 三点 求该抛物线的解析式 0 2 acbxaxy 3 若正方形和抛物线均以每秒个单位长度的速度沿射线 BC 同时向上平移 直至正方形的顶点 E 落5 在轴上时 正方形和抛物线均停止运动 y 在运动过程中 设正方形落在 y 轴右侧部分的面积为 求关于平移时间 秒 的函数关系式 sst 并写出相应自变量 的取值范围 t 运动停止时 求抛物线的顶点坐标 x y G M FE D C B Ao 1 D 1 3 E 3 2 2 分 2 抛物线经过 0 2 1 3 3 2 则 3 分 239 3 2 cba cba c 解得 2 3 1 2 1 c b a 4 分 2 2 3 2 1 2 xxy 3 当点 D 运动到 y 轴上时 t 12 当 0 t 时 如右图 2 1 设 D C 交 y 轴于点 F tan BCO 2 又 BCO FCC OC OB tan FCC 2 即 2 CO CF CC 5t FC 25t S CC F CC FC t t 5 t2 5 分 2 1 5 2 1 52 当点 B 运动到点 C 时 t 1 当 t 1 时 如右图 2 1 设 D E 交 y 轴于点 G 过 G 作 GH B C 于 H 在 Rt BOC 中 BC 512 22 GH CH GH 5 2 1 2 5 CC t HC t GD t 55 2 5 5 2 5 S梯形 CC D G t t 5t 7 分 2 1 5 2 5 55 4 5 当点 E 运动到 y 轴上时 t 2 3 当 1 t 时 如右图所示 2 3 设 D E E B 分别交 y 轴于点 M N CC t B C 55 CB t B N 2CB t 555252 B E E N B E B N t55352 E M E N t 2 1 2 1 5352 S MNE t t 5t2 15t 2 1 5352 2 1 5352 4 45 S五边形 B C D MN S正方形 B C D E S MNE 5t2 15t 5t2 15t 2 5 4 45 4 25 综上所述 S 与 x 的函数关系式为 当 0 t 时 S 5 2 1 2 t 当 t 1 时 S 5t 2 1 4 5 当 1 t 时 S 5t2 15t 9 分 2 3 4 25 当点 E 运动到点 E 时 运动停止 如下图所示 CB E BOC 90 BCO B CE BOC E B C CE BC EB OB OB 2 B E BC 5 C E 5 5 2 CE 2 5 OE OC CE 1 2 5 2 7 E 0 10 分 2 7 由点 E 3 2 运动到点 E 0 可知整条抛物线向右平移了 3 个单位 向上平移了个单位 2 7 2 3 2 2 3 2 1 2 xxy 8 25 2 3 2 1 2 xy 原抛物线顶点坐标为 11 分 2 3 8 25 运动停止时 抛物线的顶点坐标为 12 分 2 3 8 37 22 宁波 如图 二次函数 y ax2 bx c 的图象交 x 轴于 A 1 0 B 2 0 交 y 轴于 C 0 2 过 A C 画直线 1 求二次函数的解析式 2 点 P 在 x 轴正半轴上 且 PA PC 求 OP 的长 3 点 M 在二次函数图象上 以 M 为圆心的圆与直线 AC 相切 切点为 H 若 M 在 y 轴右侧 且 CHM AOC 点 C 与点 A 对应 求点 M 的坐标 若 M 的半径为 求点 M 的坐标 5 5 4 23 烟台 如图 在平面直角坐标系中 已知矩形 ABCD 的三个顶点 B 1 0 C 3 0 D 3 4 以 A 为顶点的抛物线 y ax2 bx c 过点 C 动点 P 从点 A 出发 沿线段 AB 向点 B 运动 同时动点 Q 从点 C 出发 沿线段 CD 向点 D 运动 点 P Q 的运动速度均为每秒 1 个单位 运动时间为 t 秒 过点 P 作 PE AB 交 AC 于点 E 1 直接写出点 A 的坐标 并求出抛物线的解析式 2 过点 E 作 EF AD 于 F 交抛物线于点 G 当 t 为何值时 ACG 的面积最大 最大值为多少 3 在动点 P Q 运动的过程中 当 t 为何值时 在矩形 ABCD 内 包括边界 存在点 H 使以 C Q E H 为顶点的四边形为菱形 请直接写出 t 的值 第 26 题图 解 1 A 1 4 1 分 由题意知 可设抛物线解析式为 y a x 1 2 4 因抛物线过点 C 3 0 0 a 3 1 2 4 a 1 所以抛物线的解析式为 y x 1 2 4 即 y x2 2x 3 2 分 2 A 1 4 C 3 0 可求直线 AC 的解析式为 y 2x 6 点 P 1 4 t 3 分 将 y 4 t 代入 y 2x 6 中 解得点 E 的横坐标为 x 1 4 分 2 t 点 G 的横坐标为 1 t 2 代入抛物线的解析式中 可求点 G 的纵坐标为 4 t2 4 GE 4 4 t t 5 分 4 2 t 4 2 t 又点 A 到 GE 的距离为 t 2 C 到 GE 的距离为 2 t 2 即 S ACG S AEG S CEG 1 2 EG t 2 1 2 EG 2 t 2 2 t t 2 2 1 7 分 2 1 4 2 t 4 1 当 t 2 时 S ACG的最大值为 1 8 分 3 t 或 t 20 8 12 分 13 20 5 说明 每值各占 2 分 多出的值未舍去 每个扣 1 分 24 济南市中心 如图 已知抛物线过点 A 0 6 B 2 0 C 7 5 2 若 D 是抛物线的顶点 E 是抛物线的对称轴与直线 AC 的交点 F 与 E 关于 D 对称 1 求抛物线的解析式 2 求证 CFE AFE 3 在 y 轴上是否存在这样的点 P 使 AFP 与 FDC 相似 若有 请求出所有合条件的点 P 的坐标 若没 有 请说明理由 28 解 1 抛物线经过点 A 0 6 B 2 0 C 7 5 2 的 抛物线的解析式为 y ax2 bx c 则 6 420 5 497 2 c abc abc 1 分 解得 1 4 6 2 abc 2 分 此抛物线的解析式为 2 1 46 2 yxx 3 分 2 过点 A 作 AM x 轴 交 FC 于点 M 交对称轴于点 N 抛物线的解析式 2 1 46 2 yxx 可变形为 21 42 2 yx 抛物线对称轴是直线x 4 顶点 D 的坐标为 4 2 则 AN 4 设直线 AC 的解析式为 11 yk xb O A B E D F C y x N M 则有 1 11 6 5 7 2 b kb 解得 11 1 6 2 kb 直线 AC 的解析式为 1 6 2 yx 4 分 当 x 4 时 1 464 2 y 点 E 的坐标为 4 4 点 F 与 E 关于点 D 对称 则点 F 的坐标为 4 8 设直线 FC 的解析式为 22 yk xb 则有 22 22 48 5 7 2 kb kb 解得 22 7 22 2 kb 直线 AC 的解析式为 7 22 2 yx 5 分 AM 与 x 轴平行 则点 M 的纵坐标为 6 当 y 6 时 则有 7 226 2 x 解得 x 8 AM 8 MN AM MN 4 AN MN FN AM ANF MNF 又 NF NF ANF MNF CFE AFE 6 分 3 C 的坐标为 7 5 2 F 坐标为 4 8 2 253 53 874 22 CF 又 A 的坐标为 0 6 则 2 2 6842 53FA 7 分 又DF 6 若 AFP DEF EF AO 则有 PAF AFE 又由 2 可知 DFC AFE PAF DFC 若 AFP1 FCD 则 1 PAAF DFCF 即 1 2 53 63 53 2 PA 解得 P1A 8 O P1 8 6 2 P1 的坐标为 0 2 8 分 若 AFP2 FDC 则 2 P AAF CFDF 即 2 2 53 63 53 2 P A 解得 P2A 53 2 O P2 53 2 6 41 2 P2 的坐标为 0 41 2 9 分 所以符合条件的点 P 的坐标不两个 分别是 P1 0 2 P2 0 41 2 25 温州 如图 经过原点的抛物线与轴的另一个交点为 A 过点作直线 2 2 0 yxmx m x 1 Pm 轴于点 M 交抛物线于点 B 记点 B 关于抛物线对称轴的对称点为 C B C 不重合 连结PMx CB CP 1 当时 求点 A 的坐标及 BC 的长 3m 2 当时 连结 CA 问为何值时 1m mCACP 3 过点 P 作且 问是否存在 使得点 E 落在坐标轴上 若存在 求出所有满足要PEPC PEPC m 求的的值 并定出相对应的点 E 坐标 若不存在 请说明理由 m 26 枣阳 如图 8 在直角坐标系中 M 与 y 轴相切于点 C 与 x 轴交于 A x1 0 B x2 0 两点 其 中 x1 x2是方程 x2 10 x 16 0 的两个根 且 x1 x2 连接 MC 过 A B C 三点的抛物线的顶点为 N 1 求过 A B C 三点的抛物线的解析式 2 判断直线 NA 与 M 的位置关系 并说明理由 3 一动点 P 从点 C 出发 以每秒 t 个单位长的速度沿 CM 向点 M 运动 同时 一动点 Q 从点 B 出发 沿射线 BA 以每秒 4t 个单位长度的速度运动 当 P 运动到 M 点时 两动点同时停止运动 当 t 为何值时 以 Q O C 为顶点的三角形与 PCO 相似 27 云南 如图13 在平面直角坐标系中 抛物线过 A 1 0 B 3 0 C 0 1 三点 1 求该抛物线的表达式 2 若该抛物线的顶点为 D 求直线 AD 的解析式 3 点 Q 在 y 轴上 点 P 在抛物线上 要使 Q P A B 为顶点的四边 形是平行四边形 求所有满足条 件的点 P 的坐标 28 天津西青已知关于x的一元二次方程0142 2 kxx有实数根 k为正整数 求k的值 当此方程有两个非零的整数根时 将关于x的二次函数142 2 kxxy的图象向下平移 8 个单位长 度 求平移后的图象的解析式 在 的条件下 将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折 图象的其余部分保持 不变 得到一个新的图象 请你结合这个新的图象回答 当直线 bxy 2 1 b k 与此图象有两个公共点时 b的取值范围 解 由题意得 16 8 k 1 24 8k 0 k 3 1 分 又 k为正整数 k 1 2 3 2 分 当k 1 时 方程0142 2 kxx有一个根为零 3 分 当k 2 时 方程0142 2 kxx无整数根 4 分 图 8 y xO D C BA 图 13 当k 3 时 方程0142 2 kxx有两个非零的整数根 5 分 综上所述 k 1 和k 2 不合题意 舍去 k 3 符合题意 当k 3 时 二次函数为242 2 xxy 把二次函数242 2 xxy的图象向下平移 8 个单位长度得到的 图象解析式为642 2 xxy 6 分 设二次函数642 2 xxy的图象与x轴交于A B两点 则A 3 0 B 1 0 由题意翻折后的图象如图 当直线bxy 2 1 经过点A 3 0 时 b 2 3 7 分 当直线bxy 2 1 经过点B 1 0 时 b 2 1 8 分 由图象可知 符合题意的b b 3 的取值范围为 2 1 b 2 3 10 分 29 襄阳襄城 如图 16 已知抛物线 0 2 acbxaxy的顶点坐 标为 Q 1 2 且与y轴交于点 C 3 0 与x轴交于 A B 两 点 点 A 在点 B 的右侧 点 P 是该抛物线上一动点 从点 C 沿抛物线向点 A 运动 点 P 与 A 不重合 过点 P 作 PD y轴 交 AC 于点 D 1 求该抛物线的函数关系式 2 当 ADP 是直角三角形时 求点 P 的坐标 3 在问题 2 的结论下 若点 E 在x轴上 点 F 在抛物线上 问是否存在以 A P E F 为顶点的平行四边形 若存在 求点 F 的坐标 若不存在 请说明理由 1 证明 C 是 AD的中点 ACCD CAD ABC AB 是 O 的直径 ACB 90 CAD AQC 90 又 CE AB ABC PCQ 90 AQC PCQ 在 PCQ 中 PC PQ CE 直径 AB ACAE AECD CAD ACE 在 APC 中 有 PA PC PA PC PQ P 是 ACQ 的外心 2 解 CE 直径 AB 于 F 在 Rt BCF 中 由 tan ABC 3 4 CF BF CF 8 图 16 得 432 33 BFCF 由勾股定理 得 22 40 3 BCCFBF AB 是 O 的直径 在 Rt ACB 中 由 tan ABC 3 4 AC BC 40 3 BC 得 3 10 4 ACBC 易知 Rt ACB Rt QCA 2 ACCQ BC 2 15 2 AC CQ BC 3 证明 AB 是 O 的直径 ACB 90 DAB ABD 90 又 CF AB ABG G 90 DAB G Rt AFP Rt GFB AFFP FGBF 即AF BFFP FG 易知 Rt ACF Rt CBF 2 FGAF BF 2 FCPF FG 由 1 知 PC PQ FP PQ FP PC FC 2 FPPQFP FG 27 12 分 解 1 3 分 抛物线的顶点为 Q 2 1 设 12 2 xay 将 C 0 3 代入上式 得 1203 2 a 1 a 12 2 xy 即34 2 xxy 2 分两种情况 2 分 当点 P1为直角顶点时 点 P1与点 B 重合 如图 令y 0 得034 2 xx 解之得1 1 x 3 2 x 点 A 在点 B 的右边 B 1 0 A 3 0 P1 1 0 4 分 解 当点 A 为 APD2的直角顶点是 如图 OA OC AOC 90 OAD2 45 当 D2AP2 90时 OAP2 45 AO 平分 D2AP2 又 P2D2 y轴 P2D2 AO P2 D2关于x轴对称 设直线 AC 的函数关系式为bkxy 将 A 3 0 C 0 3 代入上式得 b bk 3 30 3 1 b k 3 xy D2在3 xy上 P2在34 2 xxy上 设 D2 x 3 x P2 x 34 2 xx 3 x 34 2 xx 0 065 2 xx 2 1 x 3 2 x 舍 当x 2 时 34 2 xxy 32422 1 P2的坐标为 P2 2 1 即为抛物线顶点 P 点坐标为 P1 1 0 P2 2 1 3 3 分 解 由题 2 知 当点 P 的坐标为 P1 1 0 时 不能构成平行四边形 当点 P 的坐标为 P2 2 1 即顶点 Q 时 平移直线 AP 如图 交x轴于点 E 交抛物线于点 F 当 AP FE 时 四边形 PAFE 是平行四边形 P 2 1 可令 F x 1 134 2 xx 解之得 22 1 x 22 2 x F 点有两点 即 F1 22 1 F2 22 1 30 如图 已知抛物线与 y 轴相交于点 C 与 x 轴相交于 A B 两点 点 A 的坐标为 2 0 cbxxy 2 2 1 点 C 的坐标为 0 1 1 求抛物线的函数关系式 2 点 E 是线段 AC 上一动点 与点 A C 不重合 过点 E 作 DE x 轴于点 D 连结 DC 当 DCE 的