（江苏版）2020年中考数学热点专题冲刺9 函数综合问题

热点专题热点专题 9 9 函数综合问题函数综合问题 有关函数的综合题是每年中考数学的压轴大戏 几乎全国各大城市的压轴题都与函数 有关 所以函数综合问题既是每年的热点 也是重点 更是难点 导致几乎所有学生见到 函数综合题就害怕 函数综合题对学生的知识掌握程度及分析问题的综合能力的要求都非 常高 再加上这种题目多与动点或最值相关 这就使得难度又升级了 所以要想处理好这 种类型的问题 关键是对几种函数的性质和图象要熟悉 基础知识要牢固 另外平时多做 练习 多总结处理这种问题的一些常见策略和方法 熟能生巧 熟练掌握一次函数 二次函数 反比例函数的性质 学会用运动的观点分析和解决有关函数问题 中考 要求 会利用数形结合的思想解决有关的数学问题 考向考向 1 函数图象共存问题函数图象共存问题 1 2019 山东省德州市 若函数与的图象如图所示 则函数 k y x 2 yaxbxc 的大致图象为 ykxb a b c d 答案 c 解析 根据反比例函数的图象位于二 四象限知 k 0 根据二次函数的图象确知 a 0 b 0 函数 y kx b 的大致图象经过二 三 四象限 故选 c 2 2019 山东省青岛市 已知反比例函数y 的图象如图所示 则二次函数 y ax2 2x和一次函数y bx a在同一平面直角坐标系中的图象可能是 a b c d 答案 c 解析 当x 0 时 y ax2 2x 0 即抛物线y ax2 2x经过原点 故a错误 反比例函数y 的图象在第一 三象限 ab 0 即a b同号 当a 0 时 抛物线y ax2 2x的对称轴x 0 对称轴在y轴左边 故d错误 当a 0 时 b 0 直线y bx a经过第一 二 三象限 故b错误 c正确 故选 c 考向考向 2 函数与不等式问题函数与不等式问题 1 2019 山东省德州市 在下列函数图象上任取不同两点 一定 11 p x 1 y 22 p x 2 y 能使成立的是 21 21 0 yy xx a b 31 0 yxx 2 21 0 yxxx c d 3 0 yx x 2 41 0 yxxx 答案 d 解析 a k 3 0 y 随 x 的增大而增大 即当 x1 x2时 必有 y1 y2 当 x 0 时 0 故 a 选项不符合 b 对称轴为直线 x 1 当 0 x 1 时 y 随 x 的增大而增大 当 x 1 时 y 随 x 的增大而减小 当 0 x 1 时 当 x1 x2时 必有 y1 y2 此时 0 故 b 选项不符合 c 当 x 0 时 y 随 x 的增大而增大 即当 x1 x2时 必有 y1 y2 此时 0 故 c 选项不符合 d 对称轴为直线 x 2 当 x 0 时 y 随 x 的增大而减小 即当 x1 x2时 必有 y1 y2 此时 0 故 d 选项符合 故选 d 2 2019 山东省潍坊市 抛物线y x2 bx 3 的对称轴为直线x 1 若关于x的一元二次 方程x2 bx 3 t 0 t为实数 在 1 x 4 的范围内有实数根 则t的取值范围是 a 2 t 11b t 2c 6 t 11d 2 t 6 答案 d 解析 y x2 bx 3 的对称轴为直线x 1 b 2 y x2 2x 3 一元二次方程x2 bx 3 t 0 的实数根可以看做y x2 2x 3 与函数y t的有交点 方程在 1 x 4 的范围内有实数根 当x 1 时 y 6 当x 4 时 y 11 函数y x2 2x 3 在x 1 时有最小值 2 2 t 6 故选 d 3 2019 山东省济宁市 如图 抛物线y ax2 c与直线y mx n交于a 1 p b 3 q 两点 则不等式ax2 mx c n的解集是 答案 x 3 或x 1 解析 抛物线y ax2 c与直线y mx n交于a 1 p b 3 q 两点 m n p 3m n q 抛物线y ax2 c与直线y mx n交于p 1 p q 3 q 两点 观察函数图象可知 当x 3 或x 1 时 直线y mx n在抛物线y ax2 bx c的下方 不等式ax2 mx c n的解集为x 3 或x 1 故答案为 x 3 或x 1 考向考向 3 函数与方程问题函数与方程问题 1 2019 山东省泰安市 若二次函数y x2 bx 5 的对称轴为直线x 2 则关于x的方程 x2 bx 5 2x 13 的解为 答案 x1 2 x2 4 解析 二次函数y x2 bx 5 的对称轴为直线x 2 得b 4 则x2 bx 5 2x 13 可化为 x2 4x 5 2x 13 解得 x1 2 x2 4 故意答案为 x1 2 x2 4 考向考向 4 二次函数与动点最值问题二次函数与动点最值问题 1 2019 山东省滨州市 如图 抛物线y x2 x 4 与y轴交于点a 与x轴交 于点b c 将直线ab绕点a逆时针旋转 90 所得直线与x轴交于点 d 1 求直线ad的函数解析式 2 如图 若点p是直线ad上方抛物线上的一个动点 当点p到直线ad的距离最大时 求点p的坐标和最大距离 当点p到直线ad的距离为时 求 sin pad的值 解析 1 当x 0 时 y 4 则点a的坐标为 0 4 当y 0 时 0 x2 x 4 解得 x1 4 x2 8 则点b的坐标为 4 0 点 c的坐标为 8 0 oa ob 4 oba oab 45 将直线ab绕点a逆时针旋转 90 得到直线ad bad 90 oad 45 oda 45 oa od 点d的坐标为 4 0 设直线ad的函数解析式为y kx b 得 即直线ad的函数解析式为y x 4 2 作pn x轴交直线ad于点n 如右图 所示 设点p的坐标为 t t2 t 4 则点n的坐标为 t t 4 pn t2 t 4 t 4 t2 t pn x轴 pn y轴 oad pnh 45 作ph ad于点h 则 phn 90 ph t2 t t t 6 2 当t 6 时 ph取得最大值 此时点p的坐标为 6 即当点p到直线ad的距离最大时 点p的坐标是 6 最大距离是 当点p到直线ad的距离为时 如右图 所示 则t 解得 t1 2 t2 10 则p1的坐标为 2 p2的坐标为 10 当p1的坐标为 2 则p1a sin p1ad 当p2的坐标为 10 则p2a sin p2ad 由上可得 sin pad的值是或 2 2019 山东省东营市 已知抛物线y ax2 bx 4 经过点a 2 0 b 4 0 与y 轴交于点c 1 求这条抛物线的解析式 2 如图 1 点p是第三象限内抛物线上的一个动点 当四边形abpc的面积最大时 求 点p的坐标 3 如图 2 线段ac的垂直平分线交x轴于点e 垂足为d m为抛物线的顶点 在直线 de上是否存在一点g 使 cmg的周长最小 若存在 求出点g的坐标 若不存在 请说 明理由 解析 1 抛物线y ax bx 4 经过点a 2 0 b 4 0 解得 抛物线解析式为y x2 x 4 2 如图 1 连接op 设点p x 其中 4 x 0 四边形abpc的面积为 s 由题意得c 0 4 s s aoc s ocp s obp 4 2x x2 2x 8 x2 4x 12 x 2 2 16 1 0 开口向下 s有最大值 当x 2 时 四边形abpc的面积最大 此时 y 4 即p 2 4 因此当四边形abpc的面积最大时 点p的坐标为 2 4 3 顶点m 1 如图 2 连接am交直线de于点g 此时 cmg的周长最小 设直线am的解析式为y kx b 且过点a 2 0 m 1 直线am的解析式为y 3 在 rt aoc中 2 d为ac的中点 ade aoc ae 5 oe ae ao 5 2 3 e 3 0 由图可知d 1 2 设直线de的函数解析式为y mx n 解得 直线de的解析式为y 解得 g 3 2019 山东省聊城市 如图 在平面直角坐标系中 抛物线y ax2 bx c与x轴交于点 a 2 0 点b 4 0 与y轴交于点c 0 8 连接bc 又已知位于y轴右侧且垂 直于x轴的动直线l 沿x轴正方向从o运动到b 不含o点和b点 且分别交抛物线 线段bc以及x轴于点p d e 1 求抛物线的表达式 2 连接ac ap 当直线l运动时 求使得 pea和 aoc相似的点p的坐标 3 作pf bc 垂足为f 当直线l运动时 求 rt pfd面积的最大值 解析 1 将点a b c的坐标代入二次函数表达式得 解得 故抛物线的表达式为 y x2 2x 8 2 点a 2 0 c 0 8 oa 2 oc 8 l x轴 pea aoc 90 pae cao 只有当 pea aoc时 pea aoc 此时 即 ae 4pe 设点p的纵坐标为k 则pe k ae 4k oe 4k 2 将点p坐标 4k 2 k 代入二次函数表达式并解得 k 0 或 舍去 0 则点p 3 在 rt pfd中 pfd cob 90 l y轴 pdf cob rt pfd