2016年江苏省南通市高考数学模拟试卷(九)含答案

第 1 页， 共 11 页 2016 年高考模拟试卷 (9) 南通市数学学科基地命题 第卷（必做题，共 160 分） 一、 填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分 1函数 y x x 的最小正周期是 2设复数 z 满足 i( 4) 3 2 （ i 是虚数单位），则 z 的虚部为 3某用人单位从甲、乙、丙、丁 4 名应聘者中招聘 2 人，若每名应聘者被录用的机会均等，则甲、乙 2 人中至少有 1 人被录用的概率为 4根据如图所示的伪代码，可知输出的结果 S 为 5已知圆锥的轴截面是边长为 2的正三角形，则该圆锥的体积为 6 将函数 的图象上的所有点的横坐标 变 为 原来的 3 倍（纵 坐标不变），再向左平移4个单位， 得到函数 ()y f x 的图象，则 () 7若实数 , 02030 ，则 24取值范围是 8已知 中，角 的对边分别为 ，且2 2 265 t a n a c b ，则 值是 9已知椭圆 2239的左焦点为1F，点 P 是椭圆上异于顶点的任意一点， O 为坐标原点，若点 D 是线段11周长为 10已知函数 ()满足 ( ) ( )f x f x ，且当 0x 时， 2( ) 1f x x a x ；若 ()有 4 个零点，则实数 a 的取值范围是 11设 a b R、 ，已知关于 x 的方程 22( 1 ) ( 1 ) 0x a x x b x 的四个实数根构成以 q 为公比的等比数列，若1 , 23q ，则实数 取值范围是 12在平面直角坐标系 ，设直线 2 与圆 2 2 2x y r ( 0)r 交于 两点， O 为坐标原点，若圆上一点 C 满足 5344O C O A O B r 13若 均为正实数，且 2 2 2 1x y z ，则 2( 1)2最小值为 14 各项 均 为实数的等差数列的公差为 2，其首项的平方与其余各项之和不超过 33，则这样的数列至多有 项 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分请在 答题卡指定区域 内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤 S 1 I 1 I 8 S S 3 I I 2 S （第 4 题） 第 2 页， 共 11 页 15 （本题满分 14 分 ） 平面直角坐标系 ，已知向量 (6,1)AB ( , )BC x y ( 2 , 3) 且 （ 1） 求 x 与 y 之间的关系式 ； （ 2）若 D求 四边形 面积 16 （本题满分 14 分） 如图，四棱锥 P ，底面 矩形， 平面 (1)求证：平面 平面 (2)在棱 是否存在一点 E，使得 平面 果存在，请找出点 E 并加以证明；如果不存在，请说明理由 17（本题满分 15 分） 如图，我市市区有过市中心 O 南北走向的解放路，为 了解决南徐新城的交通问题，市政府决定修建两条公路：延伸从市中心 O 出发北偏西 60o 方向的健康路至 B 点；在市中心正南方向解放路上选取 A 点，在 , （ 1）如果在 A 点处看市中心 O 和 B 点视角的正弦值为 35，求在 B 点处看市中心 O 和 A 点视角的余弦值； （ 2）如果 域作为保护区，已知保护区的面积为 1534A 点距市中心的距离为 3南徐新路的长度； （ 3）如果 设计要求市中心 O 到南徐新路 的距离为 4且南 徐新路 短，请你确定 , P A B C D B A O 北 东 西 解放路 解放路 南徐新路 健康路 南 正东路 南徐新城 第 3 页， 共 11 页 18（本题满分 15 分） 已知圆 C 方程为 22 8 ( 6 2 ) 6 1 0 ( , 0 )x y m x m y m m R m ，椭圆中心在原点，焦点在 x 轴上 （ 1）证明圆 C 恒过一定点 M ，并求此定点 M 的坐标； （ 2）判断直线 4 3 3 0 与圆 C 的位置关系，并证明你的结论； （ 3）当 2m 时，圆 C 与椭圆的左准线相切，且椭圆过（ 1）中的点 M ， 求此时椭圆方程 ； 在 x 轴上是否存在两定点 ,得对椭圆上任意一点 Q （异于长轴端点），直线 ,斜率之积为定值？若存在，求出 , 若不存在，请说明理由 19（本题满分 16 分） 已知定 义 在实数集上的函数 ( ) ,x x n N，其导函数记为 ()，且满足2 2 2 12 1 2 1 1 221( ) ( ) ( ) , , ,f x f xf x a x x a x 为常数，12 （ 1） 试求实数 a 的 值 ； （ 2） 记函数13( ) ( ) l n ( ) F x b f x f x， 0,，若 ()，求实数 b 的值； （ 3） 对于（ 2）中的 b ，设函数 b( ) ( )3 ，11( , )A x y，22( , )B x y，12函数 ()象上两点，若 210 21() ，试判断0 1 2,x x 加以证明 20（本题满分 16 分） 给定数列 12, , , na a 对 1, 2 , , 1L ，该数列前 i 项的最大值记为 的最小值记为iB，i i B （ 1） 设11 23 ，求5d； （ 2） 设 12, , , na a 4)n 是公比大于 1 的等比数列，且 1 0a 时， 证明： 1 2 1, , , nd d d L 成等比数列 ； （ 3） 设 1 2 1, , , nd d d L 是公差大于 0 的等差数列，且 1 0d ，证明： 1 2 1, , , na a a L 成等差数列 第卷（附加题，共 40 分） 21 【选做题】本题包括 A、 B、 C、 D 共 4 小题， 请选定其中两小题 ， 并在相应的答题区域内作答 若多做，则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 A （选修：几何证明选讲） 如图 , 直角 ,圆 O 与射线 切于点 T ,与射线 交于两点 求证 ： 分 第 4 页， 共 11 页 B （选修：矩阵与变换） 设 M 1 00 2 ， N12 00 1， 试求曲线 y 矩阵 换下的曲线方程 C （选修：坐标系与参数方程） 在极坐标系中，圆 C 的极坐标方程为 2 4)，以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线 l 的参数方程为 x 1 45t，y 1 35t（ t 为参数），求直线 l 被圆 C 所截得的弦长 D （选修：不等式选讲） 设 x， y 均为正数，且 x y，求证：2212 2 32x y y 【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分请在 答题卡指定区域内作答 ，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 22 (本小题满分 10 分 )如图，直三棱柱 ，底面是等腰直角三角形， 2， 3，D 为 中点， F 在线段 （ 1） 何值时， 平面 （ 2）设 1，求平面 平面 成的锐二面角的余弦值 23 （ 本小题满分 10 分 ） 一个袋中装有黑球，白球和红球共 n(n N*)个，这些球除颜色外完全相同已知从袋中任意摸出 1 个球，得到黑球的概率是 25现从袋中任意摸出 2 个球 （ 1）若 n 15，且摸出的 2 个球中至少有 1 个白球的概率是 47，设 表示摸出的 2 个球中红球的个数 ，求随机变量 的概率分布及数学期望 （ 2）当 n 取何值时，摸出的 2 个球中至少有 1 个 黑球的概率最大，最大概率为多少 ？ A B C 1 D （第 22 题图） 第 5 页， 共 11 页 2016 年高考模拟试卷 (9) 参考答案 南通市数学学科基地命题 第卷（必做题，共 160 分） 一、填空题 12 2 3 3. 56. 4 13. 5. 33. 6. )3 12. 7. 1 , 116. 8. 35. 9. 36 . 10 (2, ) . 【解析】 偶函数， 4个零点，则当 0x 时，必有 2个；由二次函数的性质 可知：对称轴在 y 轴右侧且顶点在 x 轴下方； 02a且 ( ) 02，即 0a 且 2 4a ，故 2a 11. 1124, 9. 12. 10 .【解析】 A B C、 、 均在圆上，平方得 2 2 22 5 9 3 0 c o 1 6 1 6O C O A O B O A O B A O B u u ur u u ur u u ur u u ur u u 2 2 2 22 5 9 3 0 c o 1 6 1 6r r r r A O B ，化简得 3 B ；设圆心到直线的距离为 d ；则 2 22d ；于是有，223 1 2c o s 2 c o s ( ) 1 2 ( ) 152A O B A O B r ； （画图便知） 解得 2 10r 即 10r 13 3 2 2 .【解析】 注意到： 222x y ，考虑保留 z ，构造关于 z 的一元二次不等式；设 2( 1)2z ，则 2( 1) 2z ，且 0t ；结合题设，有 22 ( 1)1 zz ，即 2(1 ) (1 ) ( 1 )t z z z z ；再由题设知： 01z；有 10z ， 10z , (1 ) 1tz z z 即221 1 1 12(1 ) ( 1 ) 3 ( 1 ) 2 3 ( 1 ) 1z z z z z z ； 考察上式右端分母的最小值为 3 2 2 ，从而右端的最大值为 3 2 2 ；故所求式子的最小值为 3 2 2 14. 7. 【解析】 (n 1)( (n 1)(n) (n 1)n(n 1)a1n 122 n(n 1) (n 1)24 a1n 122 (n 1)(3n 1)4 33,为了使得 n 尽量大，故 n 122 0， (n 1)(3n 1)4 33, (n 1)(3n 1) 132，当 n 6 时， 5 19 132；当 n 7 时， 6 22 132，故 7 二、解答题 15（ 1）由题意得 ( 4 , 2 )A D A B B C C D x y u u ur u u ur u u ur u u ( , )BC x y 2 分 因为 所以 ( 4 ) ( 2 ) 0x y y x ， 即 20. 6 分 （ 2）由题意 ( 6 , 1 )A C A B B C x y u u ur u u ur u u ( 2 , 3 )B D B C C D x y u u ur u u ur u u 因为 D所以 ( 6 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 3 ) 0x x y y ， 即 22 4 2 1 5 0x y x y . 10 分 第 6 页， 共 11 页 由（ 1）（ 2）得 , 21或 63， 当 21时， (8, 0)AC (0, 4) 1 | | | | 1 62A B C C B D四 边 形， 12 分 当 63时， (0, 4)AC (0)BD 1 | | | | 1 62A B C C B D四 边 形 所以 四边形 面积为 16. 14 分 16 (1)因为 面 面 所以 2 分 因为四边形 矩形 ， 所以 4 分 因为 A， 面 所以 面 6 分 因为 面 所以平面平面 面 7 分 (2)当点 E 为棱 点时 ， 面 9 分 取棱 点 E， 连接 交于点 O， 连结 因为四边形 矩形 ， 所以 O 为 点 因为 E 为棱 点 ， 所以 12 分 因为 平面 面 所以直线 面 14 分 17（ 1）由题可得 23， 1 分 为锐角 , 34s i n c o O B A O ， 2 分 1 4 3 3 4 3 3c o s c o s ( )3 2 5 2 5 1 0O B A B A O 5 分 (每个等号 1 分 ) (2) 3, 1 1 2 1 5s i n 3 s i n 32 2 3 4S O B O A A O B O B 6 分 解得 5 7 分 由余弦定理可得 2 2 2 22 c o s 9 2 5 1 5 4 93A B O A O B O A O B ， 9 分 所以 7( 10 分 （ 3）因为 114 s i O A O B A O B ，所以 833O A O B A 11 分 2 2 2 2 222 c o O A O B O A O B O A O B O A O B 12 分 2 O A O B O A O B 13 分 8333 3O A O B A B 所以 2 83B ，所以 83（等号成立 B =8） 14 分 第 7 页， 共 11 页 答：当 短时， ,8A B 市 中 心 为 公 里 . 15 分 18 （ 1） 圆 C 的方程可化为： 22( 2 1 ) ( 8 6 6 ) 0x y y m x y ， 2 分 由 22 2 1 0 ,8 6 6 0 ,x y 4 分 解得 0,1,所以圆 C 过定点 (0,1)M 5 分 (2) 圆 C 的方程可化为： 222( 4 ) ( 3 1 ) 2 5x m y m m , 6 分 圆心到直线 l 的距离为224 4 3 ( 3 1 ) 343 8 分 25 55m 9 分 所以直线与圆 C 相切 . 10 分 （ 3） m = 2 ， 圆 方 程 为22( 8 ) ( 7 ) 1 0 0 ， 圆 心 为 （ 8 , 7 ） ， 半 径 为 1 0 , 线 =(8, 即 = 切 所以椭圆的左准线为 2x ， 11 分 又椭圆过点 (0 ,1),M 则 b=1 ， 所以 2 2,1,2,1, 所以椭圆方程为 2 2 12x y. 12 分 在椭圆上任取一点 ( , )( 0)Q x y y ， 设定点 ( , 0), ( , 0)A s B t ， 则21 2( ) ( )Q A Q k kx s x t x s x t 2 , 2x 对 恒 成 立， 13 分 所以 221 1 ( )2 x k x k s t x k s t 2 , 2x 对 恒 成 立所以111,222( ) 0 , 2 , 2 ,1, 2 , 2 s t s sk s t 或 14 分 所以 ( 2 , 0 ) , ( 2 , 0 ) ( 2 , 0 ) , ( 2 , 0 )A B A B或 者. 15 分 第 8 页， 共 11 页 19（ 1） 22 ()f x x ， 2 ( ) 2f x x ， 1 分 依题意， 22211 2 1 212 ( ) a x x g ，得 12a 4 分 （ 2） ( ) 3 x b x x ，所以 3()F x ， 0,， 5 分 当 3， 3( ) 0F x 恒成立，所以 () 0,e 上单调递减， ()e)F ，由 (e) 6F 得 9（舍去） 7 分 当 3， 3( ) ( )bF x ，令 ( ) 0 ，得 3 3(0, )， ( ) 0 ，所以 ()(0, ) 当 3( ,e)， ( ) 0 ，所以 ()( ,e) 9 分 所以 ()小值为 3() 3( ) 6得 3， 所以 3. 10 分 （ 3） ( ) ，结合图象猜测1 0 2x x x， 11 分 只需证明 012e e ， 因为 210 2102 1 2 1) e x x x ， 只需证明 211221， 即证 1 1 221e e ( ) e 0x x ，且 2 2 121e ( ) e 0x x ， 12 分 设 22( ) e e ( ) e x x x ，则2( ) e ( )xh x x x ， 当2， ( ) 0 ， 所以 (), x上单调递增，因为12所以12( ) ( )h x h x， 而2( ) 0即 1 1 221e e ( ) e 0x x 13 分 同理，设 11( ) e e ( ) e x x ，则1( ) e ( )xx x x ， 当1， ( ) 0x ， 所以 (), )x 上单调递减，因为12所以12( ) ( )， 而1( ) 0x ，即 2 2 121e e ( ) e 0x x 第 9 页， 共 11 页 综上所述，1 0 2x x x 16 分 20（ 1） 设11 23 ，因为5 5 5d A B， 又45 1 1 6233A ，55 1 3 2233B ， 所以5 5 5 163d A B 3 分 （ 2）因为 1 0a ，公比 1q ，所以 12, , , na a 递增数 列， 因此对 1, 2 , , 1L ， 111 ( 1 ) ii i i i B a a a q q 5 分 因此 01 ( 1 , 2 , , 2 )q i L，即 1 2 1, , , nd d d L 成等比数列 ； 8 分 （ 3） 设 d 为 1 2 1, , , nd d d L 的公差，对 12 ，因为1， 0d ， 所以1 1 1i i i i i i i d B d d B d A ， 10 分 又因为11m a x , i i a，所以11i i i A a 从而 1 2 1, , , na a a L 是递增数列，因此 ( 1 , 2 , , 2 ) i n L 12 分 又因为1 1 1 1 1 1B A d a d a ，所以1 1 2 1nB a a a L，因此1 所以 1 2 1 B a L ，所以 i i i i n B d a d 因此对 1, 2, , 2L ，都有 11i i i ia a d d d ， 即 1 2 1, , , na a a L 成等差数列 16 分 第卷（附加题，共 40分） 21A 连结 因为 切线 ， 所以 2 分 又因为 直角 ， 即 所以 所以 5 分 又 B， 所以 8 分 所以 即 分 10 分 B 1110 0022020 1 0 2 ， 4 分 设 ,曲线 xy 上的任意一点，在矩阵 换下对应的点为 , 则 1 0202 ，所以 1 ,22,即 2,1 ,2 8 分 第 10 页， 共 11 页 A B C 1 D x y z 代入 xy 得 1 2 ，即 2 即曲线 xy 在矩阵 换下的曲线方程为 10 分 C曲线 C 的极坐标方程 2 c o s ( ) , c o s s i 可 化 为， 化为直角坐标方程为 22 0,x y x y 即 221 1 1( ) ( )2 2 2 3 分 直线 :31,5 （ 为参数）可化为 3 4 1 0 ， 6 分 圆心到直线的距离113 4 11225 1 0d ， 8 分 弦长 22 725L R d 10 分 D 因为 x 0， y 0， x y 0，2 2 2112 2 2 ( )2 ( )x y x yx x y y x y =21( ) ( ) ()x y x y 23213 ( ) 3()xy ， 所以2212 2 32x y y 10 分 22（ 1）因为直三棱柱 ，以 B 点为原点， x、 y、 z 轴