2016年江苏省南通市高考数学模拟试卷(二)含答案

第 1 页，共 11 页 2016 年高考模拟试卷 (2) 南通市数学学科基地命题 第卷（必做题，共 160 分） 一、 填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分 1. 设全集 2 , 1 , 0 , 1 , 2 , 2 , 1 , 2 ，则 . 2 复数 z 满足 1(1 i) ，则 复数 z 的模 z . 3. 在区间 1,3 上随机地取一个数 x ，则 1x 的概率为 . 4. 棱长均为 2的正四棱锥的体积为 . 5. 一组数据 ,1, ,3,2平均 数 是 1，方差为 22 . 6. 运行下面的程序，输出的结果是 . i 1 S 1 i S S i i i+1 S 7. 若 0 1, 0 2 ，且 21 ， 则 3 2 4z y x 的最小值为 . 8. 双曲线 22 1 ( 0 , 0 )xy 的一条渐近线是 3 4 0，则该双曲线的离心率为 . 9. 将函数 1的图像向左平移4个单位，再向上平移 1 个单位，所得图像的函数解析式为 . 10. 三个正数成等比数列，它们的积等于 27，它们的平方和等于 91，则这三个数的和为 . 11. 已知椭圆 22 1 ( 0 )xy 的一个顶点为 (0, )焦点为 F ， 直线 椭圆的另一 交点为 M，且 2M ，则该椭圆的离心率为 . 12已知函数 0 ， 上的单调函数，若对任意的 0x ， ，都有 1 2f f ，则 13. 函数 s i n ( 0 , )y x x 图像上两个点11( , )A x y，2 2 1 2( , )( )B x y x x满足 /AB x 轴，点 C 的坐标为( ,0) ，则四边形 11 . 14. 设集合 , 2 2 2 ,x y a a t 其中 , , ,yt a 均为整数 ，则集合 M . 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分请在 答题卡指定区域 内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤 第 2 页，共 11 页 15 （本小题满分 14 分） 如图，在三角形 ， 1， 1， 的平分线交 . （ 1）求边 及 （ 2）求 C值 . 16 （本小题满分 14 分） 在正三棱柱 B C 中， D、 E、 , A 中点 . （ 1）求证：平面 平面 ； （ 2）求证 : /面 17 （本小题满分 14 分） 上海磁悬浮列车工程西起龙阳路地铁站，东至浦东国际机场，全线长 需 的能源费用（万元）和列车速度（ km/h）的立方成正比，当速度为 100km/源费用 是每小时 余费用（与速度无关）是每小时 已知最大速度不超过 C（ km/h）（ 0 500C ） . （ 1）求列车运行全程所需的总费用 y 与列车速度 v 的函数关系，并求该函数的定义域； （ 2）当列车速度为多少时，运行全程所需的总费用最低？ 18 （本小题 满分 16 分） 已知定点 ( 1,0)A ，圆 C： 22 2 2 3 3 0x y x y ， （ 1）过点 A 向圆 切线长； （ 2）过点 A 作直线1于 , Q求直线1k ； （ 3）定点 ,1， 对于 圆 意一点 M ，试求 , A D C B C B A D C B A F E y Q P O A x 11 3 页，共 11 页 19 （本小题满分 16 分） 设数列 ，公差为 12的等差数列，n 项的和， （ 1）若 ,15, , ,数 ） ，求 ,值； （ 2）是否存在正整数 m ， ( 2)，使11l g ( ) , l g ( ) , l g ( )n n nS m S m S m 成等差数列？若存在，求出 ,能值 ；若不存在，试说明理由 . 20 （本小题满分 16 分） 已知函数 ( ) e , ( ) l n 1 ( 1 )xf x g x x x ， （ 1）求 函数 ( ) ( 1 ) ( ) ( 1 )h x f x g x x 的最小值； （ 2）已知 1 ，求证： e 1 ln ； （ 3）设 2( ) ( 1 ) ( )H x x f x ， 在区间 (1, ) 内 是否存在区间 , ( 1)a b a ，使函数 () , 值域也是 , 请给出结论， 并说明理由 . 第卷（附加题，共 40 分） 21 【选做题】本题包括 A、 B、 C、 D 共 4 小题， 请选定其中两小题 ， 并在相应的答题区域内作答 若多做，则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 A（选修：几何证明选讲） 如图， 半圆的直径， C 是 长线上一点， 半圆于点 D ，2 , ,C D D E A B垂足为 E ，且 : 4 : 1,A E E B 求 长 （选修：矩阵与变换） 已知矩阵 1 0 1 1,0 2 0 1 .（ 1）求矩阵 （ 2）求矩阵 第 4 页，共 11 页 C （选修：坐标系与参数方程） 在平面直角坐标系中 ,以坐标原点 O 为极点 ,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 l 上两点 ,3( 2 , 0 ), ( , )32,圆 C 的参数方程 2 2 c o s ( 为参数 ). (1)设 P 为线段 求直线 角坐标方程； (2)判断直线 l 与圆 C 的位置关系 . D （选修：不等式选讲） 设 均为正 实数，且312 12 1 求 最小值 . 【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分请在 答题卡指定区域内作答 ，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 22 (本小题满分 10 分 ) 如图，在 四棱锥 P 中，底面 直角梯形， 面 点 Q 在棱 ，且 44Q， 2， 1， 2 ，2C D A B A D ， 分别是 B、的中点 （ 1）求证： / （ 2）求截面 底面 成的锐二面角的大小 . 23（ 本小题满分 10 分 ） 在数列0 1 2 na a a ， ， ， ，中，已知0 1 2 1 2 31 , 3 , 3 2 ( 3 )n n n na a a a a a a n . （ 1）求34；（ 2）证 明： 12 ( 2). Q A N M D C B P x y z 第 5 页，共 11 页 2016 年高考模拟试卷 (2) 参考答案 南通市数学学科基地命题 第卷（必做题，共 160 分） 一、填空题 1. 1,0 . 423 5. 10 6. 24 7. 5 8. 54 9. 10. 13 2. 13. 1 1.【 解析 】 因为在 (0, )内单调 ，所以由 1( ( ) ) 2f f 可知，0 0 0 0 001 1 1( ) ( 0 ) , ( ) , ( ) 2 ,f x x x f x x f x xx x x 解得0 11 , ( ) 1 .x f x x 从 而14. 0,1,3,4 .【 解析 】 由 2 2 2x y t得 1 2 2 1y x t x ，则 ，且指数均为整数，因此右边一定为偶数，则左边 21 即 ，且 12 2 2 即 1. 22211x y xa t x x 为整数，则 1x 为 2 的约数，则 3, 2, 0,1x ， 3,4,1,0a =0， 1， 3， 4. 二、解答题 15 （ 1）2 2 2 4 1 12 c o s 5 33B C A B A C A B A C A 3 333 . ,s i n s i n s i n s i n ( )B D A B D C A C Q， 2,B D A A C . （直接用角 平分线性质得到结果不扣分） （ 2） B A B C A B C B 2()12 2 C B A B A B A A B A C . 16.（ 1）因为三角形 正三角形， D 是边 中点，所以 C . 因为 以 平面 平面 所以 B B ， . 又 B B ， 平面 ， 平面 平面 平面 . （ 2）连结 , A C A B ， O，连 因为 ,A A 中点，所以 / / C . B C B A D C A O F E 第 6 页，共 11 页 由于 O， D 分别为 ,中点 ， 所以 / / C ，从而 /D 又 平面 , 平面 , 平面 . 17. （ 1）设列车每小时使用的能源费用为 m ，由题意得 3m （ k 为常数） 又 100v 时， ，代入解得 84 10k 823 5 5 . 1 2( 5 . 1 2 ) 3 5 ( 4 1 0 )y m 列车运行全程所需的总费用 y 与列车速度 v 的函数关系为 82 5 . 1 23 5 ( 4 1 0 )yv v ，定义域为 (0, C ，其中 0 500C . . （ 2）8 2 6 25 . 1 2 1 2 83 5 ( 4 1 0 ) 1 . 4 ( 1 0 )y v ，令62 128( ) 1 0 ( 0 )f x x ， 则 6 3 6 2 26 2 2 21 2 8 2 1 0 1 2 8 2 1 0 ( 4 0 0 ) ( 4 0 0 4 0 0 )( ) 2 1 0 0x x x xf x x x x x ，解得 400x . 当 0 400x 时， ( ) 0 ；当 400x 时， ( ) 0 ； 所以，当 400C ， () (0, C 上单调递减 ，所以列车速度为 C （ km/h）时，运行全程所需的总费用最低； 当 400 500C ，列车速度为 400（ km/h）时，运行全程所需的总费用最低 . . 18. （ 1）设切线长为 d ，由题意， 7，圆 C 的标准方程为 22( 1 ) ( 3 ) 1 ，半径 1r ， 所以 22 6d A C r ，过点 A 向圆 C 所引的切线长为 6 . . （ 2）设11( , )P x y，由 Q点 P 是 中点，所以点 Q 的坐标为11(2 1, 2 ) 由于两点 P,Q 均在圆 C 上，故 221 1 1 12 2 3 3 0x y x y ， 221 1 1 1( 2 1 ) ( 2 ) 2 ( 2 1 ) 2 3 ( 2 ) 3 0x y x y 又 ，即 221 1 1 1302x y y ， 得1152 3 02 ， 由 得115342代入 整理得 2112 8 3 6 3 3 3 0 ， 所以1 32y 或 11314， 再由 得 111232 或 1111411 314 ，33k或 11315. . 第 7 页，共 11 页 （ 2）设 (1, ), (1, b ),M a , )R x y，则 2211( 1 ) ( 3 ) 1 又2 2 2 2 2 21 1 1 113 ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( ) 3R M R N x y a x y b ， 即 2 2 21 1 12 ( 1 ) ( ) 3 ( )x y b y a ， 由 、 得 2 2 21 1 12 1 ( 3 ) ( ) 3 ( )y y b y a ， 化简得 221( 6 2 4 3 ) ( 3 4 ) 0a b y b a ， 由于关于1 有无数组解，所以226 2 4 3 03 4 0 ， 解得 43323或 2330. 所以满足条件的定点有两组 43(1 , ) , (1 , 2 3 )33(1, ), (1, 0 )3 . 19. （ 1） 111 ( 1 ) ( 1 )22na n n ， 2( 1 ) 1 11 ( 3 ) 4n n n n .据条件 30，且 lg ， 3081 ， 所以 , 3 0 8 1 0 的两根，解得 327 或 273 . . 据 得21 35293 274 ； 据 得 223 3 3 1 2 04nn ， 3 5 72 ，故方程组 无解 . 3 , 2 7 , 6 , 9 m n . （ 2）假设存在 m 及正整数 n ，使112 l g ( ) l g ( ) l g ( )n n nS m S m S m ， 2 11( ) ( ) ( )n n nS m S m S m ， 2 2 2 21 1 1 ( 3 ) ( 1 ) 3 ( 1 ) ( 1 ) 3 ( 1 ) 4 4 4n n m n n m n n m ， 2 2 2 2( 3 4 ) ( 4 2 ) ( 5 4 4 )n n m n n m n n m ， 第 8 页，共 11 页 即 2 2 2 2 2 2 2 21 6 8 ( 3 ) ( n 3 ) 1 6 8 ( n 3 1 ) ( 2 ) ( 5 4 )m m n n n m m n n n n n 进一步化简得 2 3 4 4n n m . . 当 4 3 ( 2 , 3 , 4 , )n k k 时，上述方程有解为 24 3 1m k k ； 当 4 2 ( 1 , 2 , 3 , )n k k 时，上述方程变形为 22 8 2 1m k k ，方程无解； 当 4 1 ( 1 , 2 , 3 , , )n k k 时，上述方程变形为 22 8 2 1m k k ，方程无解； 当 4 ( 1 , 2 , 3 , )n k k 时，上述方程有解为 24 3 1m k k . 综上，当 4 3 ( 2 , 3 , 4 , )n k k 时，上述方程有解为 24 3 1m k k ； 当 4 ( 1 , 2 , 3 , )n k k 时，上述方程有解为 24 3 1m k k . . 20. （ 1） 1( ) xh x e ， 11( )xh x ， 当 1x 时， 1 1 ， 1 1x ， ( ) 0，函数 () 1, ) 上是增函数， 所以 1x 时，函数 ()最小值为 (1) 0h . . （理科学生可直接使用复合函数的求导公式） （ 2）由（ 1）可知，当 1x 时， 1( ) l n 1 0xh x e x ， 1 Q ， ( 1 ) l n ( 1 ) 1 0x y e x y ， 1 l n ( 1 )x y ， . 又 ( 1 ) y ( )l n ( 1 ) ( l n l n ) l n l nx y y x y yx y x ， ( ) ( 1 ) ( ) 0y x y y x y x y Q () 1y x y ()y x y ，则 l n ( 1 ) l n l nx y x y 由 可知： 1 ln x y . 1 Q ，所以等号不可能取到，即 1 ln x y . . （ 3）由于 2( ) ( 1) xH x x e，当 1x 时，假设存在区间 , 使函数 (), 值域也是 , 当 1x 时， ( ) 0，所以函数 ()1, ) 上是增函数 . . ()()H a aH b b所 以，即 22( 1)( 1)e ab e b ， 第 9 页，共 11 页 亦即方程 2( 1) xx e x有两个大于 1 的不等实根 . . 上述方程等价于2 0 ( 1 )( 1 ) ， 令2() ( 1)x e x ，31( ) ( 1 )x xu x e x ， 1, ( ) 0x u xQ ， ()1, ) 上是增函数，所以 ()1, ) 上至多有一个零点， 即 ( ) 0不可能有两个大于 1 的不等实根，故假设不成立， 从而不存在区间 , 足要求 . . 第卷（附加题，共 40分） 4 4A E E B A O O E E B O E E B O E E B , 23O E ，即 35,22O E E B O D E B，在 中 , 2B ， 又在 中， 2D E O E E C g ，所以得 53B, 在由 2D C E C O E g ，得 1,故 53 .（ 1） 1 0 1 1 1 10 2 0 1 0 2 ， . （ 2）11 10( ) ( ) 01A B A B A B A B E ， 1112()102. . C. (1)由题意，点 ,3(2 0) (0 )3， 、 ，,P 为线段 P 的直角坐标为 3(1 )3，直线 直角坐标方程为 33 . (2)由题意知直线 l 的直角坐标方程为 3 2 0 ，圆心 (2, 3)C 到直线 l 的距离 | 2 3 2 | 3 222d ，所以直线 l 与圆 C 相交 . . D 由312 12 1 xy x y ,因为 ,所以 8 8 2x y x y x y （当且仅当 时等号成立）即 2 8 0x y x y 可解得 4,即 16,故 最 小值为 16. 22. （ 1）以点 A 为坐标原点，以 A D A B A 、 为 一 组 正 交 基 底建立空间直角坐标系 . 由题意可得 2( 0 0 0 ) ( 0 2 0 ) ( 2 1 0 ) ( 2 0 0 ) ( 0 0 4 ) ( 0 0 3 ) ( 0 2 ) ( 0 1 2 ) C D P Q M N， ， 、 ， ， 、 ， ， 、 ， ， 、 ， ， 、 ， ， 、 ， ， 、 ， ，Q N M P y z 第 10 页，共 11 页 2( 2 , 1 , 0 ) , ( 0 , 2 , 4 ) , ( , 0 , 1 )2B C P B M Q u u ur u u ur u u u 设平面的 法向量为 ()n x y zr ， ， ， 则 ( , , ) ( 2 , 1 , 0