2011年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（湖南卷解析版）

1 20112011 年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题 湖南卷 解析版 年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题 湖南卷 解析版 本试题包括选择题 填空题和解答题三部分 共 6 页 时量 120 分钟 满分 150 分 参考公式 1 柱体体积公式VSh 其中S为底面面积 h为高 2 球的体积公式 3 4 3 VR 其中R为球的半径 一 选择题 本大题共 8 小题 每小题 5 分 共 40 分 在每小题给出的四个选项中 只有 一项是符合题目要求的 1 设全集 1 2 3 4 5 2 4 U UMNMC N 则N A 1 2 3 B 1 3 5 1 4 5 2 3 4 答案 B 解析 画出韦恩图 可知N 1 3 5 若 a bR i 为虚数单位 且 ai ibi 则 1 1ab 1 1ab 1 1ab 1 1ab 答案 C 解析 因 1ai iaibi 根据复数相等的条件可知1 1ab 1 1 xx 是的 A 充分不必要条件 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分又不必要条件 答案 A 解析 因 1 1 xx 反之 1 11 xxx 或 不一定有 1 x 设图 是某几何体的三视图 则该几何体的体积为 A 942 3618 9 12 2 9 18 2 答案 D 解析 有三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的 组合体 其体积 3 439 3 3 2 18 322 V 5 通过随机询问 110 名不同的大学生是否爱好某项运动 得到如下的列联表 男女总计 爱好 402060 3 3 2 正视图侧视图 俯视图 图 1 2 不爱好 203050 总计 6050110 由 22 22 110 40 3020 30 7 8 60 50 60 50 n adbc KK ab cd ac bd 算得 附表 2 P Kk 0 0500 0100 001 k3 8416 63510 828 参照附表 得到的正确结论是 A 有 99 以上的把握认为 爱好该项运动与性别有关 B 有 99 以上的把握认为 爱好该项运动与性别无关 C 在犯错误的概率不超过 0 1 的前提下 认为 爱好该项运动与性别有关 D 在犯错误的概率不超过 0 1 的前提下 认为 爱好该项运动与性别无关 答案 A 解析 由 2 7 86 635K 而 2 6 635 0 010P K 故由独立性检验的意义可知选 A 6 设双曲线 22 2 1 0 9 xy a a 的渐近线方程为320 xy 则a的值为 A 4 B 3 C 2 D 1 答案 C 解析 由双曲线方程可知渐近线方程为 3 yx a 故可知2a 7 曲线 sin1 sincos2 x y xx 在点 0 4 M 处的切线的斜率为 A 1 2 B 1 2 C 2 2 D 2 2 答案 B 解析 22 cos sincos sin cossin 1 sincos sincos xxxxxx y xxxx 所以 2 4 11 2 sincos 44 x y 8 已知函数 2 1 43 x f xeg xxx 若有 f ag b 则b的取值范围为 A 22 22 B 22 22 C 1 3 D 1 3 答案 B 解析 由题可知 11 x f xe 22 43 2 1 1g xxxx 若有 3 f ag b 则 1 1 g b 即 2 431bb 解得2222b 二 填空题 本大题共 8 小题 考生作答 7 小题 每小题解分 共青团员 5 分 把答案填在 答题卡中对应题号后的横线上 一 选做题 请考生在第 9 10 两题中任选一题作答 如果全做 则按前一题记分 9 在直角坐标系xOy中 曲线 1 C的参数方程为 2cos 3sin x y 为参数 在极坐标系 与直角坐标系xOy取相同的长度单位 且以原点O为极点 以x轴正半轴为极轴 中 曲 线 2 C的方程为 cossin 10 则 1 C与 2 C的交点个数为 答案 2 解析 曲线 22 1 1 43 xy C 曲线 2 10Cxy 联立方程消y得 2 7880 xy 易 得0 故有 2 个交点 10 已知某试验范围为 10 90 若用分数法进行 4 次优选试验 则第二次试点可以是 答案 40 或 60 只填一个也正确 解析 有区间长度为 80 可以将其等分 8 段 利用 分数法选取试点 1 5 10 90 10 60 8 x 2 10906040 x 由对称性可知 第二次试点 可以是 40 或 60 二 必做题 11 16 题 11 若执行如图 2 所示的框图 输入 1234 1 2 4 8 xxxx 则输出的数等于 答案 15 4 解析 由框图功能可知 输出的数等于 1234 15 44 xxxx x 12 已知 f x为奇函数 9 2 3 2 g xf xgf 则 答案 6 解析 2 2 93 2 6gff 则 又 f x为奇函数 所以 2 2 6ff 开始 输入 1234 x x x x 1 0ix i xxx 开始 4 i 开始 否 是 结束 输出x 4 x x 1ii 开始 图 2 4 13 设向量 a b 满足 2 5 2 1 ab 且ab 与的方向相反 则a 的坐标为 答案 4 2 解析 由题 2 215b 所以2 4 2 ab 14 设1 m 在约束条件 1 yx ymx xy 下 目标函数5zxy 的最大值为 4 则m的值为 答案 3 解析 画出可行域 可知5zxy 在点 1 11 m mm 取最大值为 4 解得3m 15 已知圆 22 12 C xy 直线 4325 lxy 1 圆C的圆心到直线l的距离为 2 圆C上任意一点A到直线l的距离小于 2 的概率为 答案 5 1 6 解析 1 由点到直线的距离公式可得 22 25 5 43 d 2 由 1 可知圆心到直线的距离为 5 要使圆上点到直线的距离小于 2 即 1 4 315lxy 与圆相交所得劣弧上 由半径为2 3 圆心到直线的距离为 3 可知劣弧所对 圆心角为 3 故所求概率为 1 3 26 P 16 给定 kN 设函数 fNN 满足 对于任意大于k的正整数n f nnk 1 设1k 则其中一个函数f在1n 处的函数值为 2 设4k 且当4n 时 2 3f n 则不同的函数f的个数为 答案 1 a a为正整数 2 16 解析 1 由题可知 f nN 而1k 时 1n 则 1f nnN 故只须 1 fN 故 1 fa a 为正整数 2 由题可知4k 4n 则 4f nnN 而4n 时 2 3f n 即 2 3 f n 即 1 2 3 4 n 2 3 f n 由乘法原理可知 不同的函数f的个数为 5 4 216 三 解答题 本大题共 6 小题 共 75 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 12 分 在ABCA中 角 A B C所对的边分别为 a b c且满足sincos cAaC I 求角C的大小 II 求3sincos 4 AB 的最大值 并求取得最大值时角 A B的大小 解析 I 由正弦定理得sinsinsincos CAAC 因为0 A 所以sin0 sincos cos0 tan1 4 ACCCCC 从而又所以则 II 由 I 知 3 4 BA 于是 3sincos 3sincos 4 3sincos2sin 6 311 0 46612623 ABAA AAA AAAA 从而当即时 2sin 6 A 取最大值 2 综上所述 3sincos 4 AB 的最大值为 2 此时 5 312 AB 18 本题满分 12 分 某河流上的一座水力发电站 每年六月份的发电量 Y 单位 万千瓦时 与该河上游在六月 份的降雨量 X 单位 毫米 有关 据统计 当 X 70 时 Y 460 X 每增加 10 Y 增加 5 已 知近 20 年 X 的值为 140 110 160 70 200 160 140 160 220 200 110 160 160 200 140 110 1 60 220 140 160 I 完成如下的频率分布表 近 20 年六月份降雨量频率分布表 降雨量 70110140160200220 频率 1 20 4 20 2 20 II 假定今年六月份的降雨量与近 20 年六月份的降雨量的分布规律相同 并将频率视为 概率 求今年六月份该水力发电站的发电量低于 490 万千瓦时 或超过 530 万千瓦时 的概率 解 I 在所给数据中 降雨量为 110 毫米的有 3 个 为 160 毫米的有 7 个 为 200 毫米 的有 3 个 故近 20 年六月份降雨量频率分布表为 降雨量 70110140160200220 频率 1 20 3 20 4 20 7 20 3 20 2 20 6 II 1323 20202010 P 发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时 P Y530 P X210 故今年六月份该水力发电站的发电量低于 490 万千瓦时 或超过 530 万千瓦时 的概率 为 3 10 19 本题满分 12 分 如图 3 在圆锥PO中 已知2 POO A的直 径 A 2 ABCABDAC 点在上 且C AB 30为的 中点 I 证明 ACPOD 平面 II 求直线和平面PAC所成角的正弦值 解析 I 因为 OAOC DAC 是的中点 所以ACO D 又 POO ACOACOD AA底面底面所以 PO是平面POD内的两条相交直线 所以 ACPOD 平面 II 由 I 知 ACPOD 平面又 ACPAC 平面所以平面 PODPAC 平面在 平面POD中 过O作OHPD 于H 则 OHPAC 平面连结CH 则CH是OCPAC在平面上的射影 所以OCH 是直线 OC和平面PAC所成的角 在 22 1 2 2 2 31 2 4 PO OD Rt PODOH POOD A A中 在 2 sin 3 OH Rt OHCOCH OC A中 7 20 本题满分 13 分 某企业在第 1 年初购买一台价值为 120 万元的设备 M M 的价值在使用过程中逐年减少 从 第 2 年到第 6 年 每年初 M 的价值比上年初减少 10 万元 从第 7 年开始 每年初 M 的价值 为上年初的 75 I 求第 n 年初 M 的价值 n a的表达式 II 设 12 n n aaa A n 若 n A大于 80 万元 则 M 继续使用 否则须在第 n 年初对 M 更新 证明 须在第 9 年初对 M 更新 解析 I 当6n 时 数列 n a是首项为 120 公差为10 的等差数列 120 10 1 130 10 n ann 当6n 时 数列 n a是以 6 a为首项 公比为 3 4 为等比数列 又 6 70a 所以 6 3 70 4 n n a 因此 第n年初 M 的价值 n a的表达式为 6 120 10 1 130 10 6 3 70 7 4 n n n nn n a an II 设 n S表示数列 n a的前n项和 由等差及等比数列的求和公式得 当16n 时 1205 1 1205 1 1255 nn Snn nAnn 当7n 时 66 678 6 333 570704 1 780210 444 3 780210 4 nn nn n n SSaaa A n 因为 n a是递减数列 所以 n A是递减数列 又 8 69 6 89 33 780210 780210 4779 44 8280 7680 864996 AA 所以须在第 9 年初对 M 更新 21 已知平面内一动点P到点 F 1 0 的距离与点P到y轴的距离的等等于 1 I 求动点P的轨迹C的方程 II 过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线 12 l l 设 1 l与轨迹C相交于点 A B 2 l与 轨迹C相交于点 D E 求AD EB 的最小值 8 解析 I 设动点P的坐标为 x y 由题意为 22 1 1 xyx 化简得 2 22 yxx 当 2 0 4 0 xyxx 时当时 y 0 所以动点 P 的轨迹 C 的方程为 2 4 0 0 yx xx 和y 0 II 由题意知 直线 1 l的斜率存在且不为 0 设为k 则 1 l的方程为 1 yk x 由 2 1 4 yk x yx 得 2222 24 0 k xkxk 设 1122 A x yB xy则 12 x x是上述方程的两个实根 于是 1212 2 4 2 1xxx x k 因为 12 ll 所以 2 l的斜率为 1 k 设 3344 D xyB xy则同理可得 2 3434 24 1xxkx x 故1234 2 2 2 2 1 1 1 1 4 1 2 1 1 24 1 1 84 AD EBAFFDEFFB AF EFAF FBFD EFFD FB AFFBFDEF xxxx k k k k A AAAA AA 2 2 1 84 216k k A 当且仅当 2 2 1 k k 即1k 时 AD EB 取最小值 16 22 本小题 13 分 设函数 1 ln f xxax aR x I 讨论 f x的单调性 II 若 f x有两个极值点 12 xx和 记过点 1122 A xf xB xf x的直线的