用建模思想指导数学教学

用建模思想指导小学数学课堂教学用建模思想指导小学数学课堂教学 万宝小学 杜楠楠 2011 版 课程标准 中指出在数学课程中 应当注重发展学生 的数感 符号意识 空间观念 几何直观 数据分析观念 运算能 力 推理能力和模型思想 为了适应时代发展对人才培养的需要 数学课程还要特别注重发展学生的应用意识和创新意识 而模型思 想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径 让 学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程 进而使学生获得对数学理解的同时 在思维能力 情感态度与价值 观等多方面得到进步和发展 课程标准对模型思想的阐述实际上 就是要求把学生学习数学知识的过程当做建立数学模型的过程 并在 建模过程中培养学生的数学应用意识 引导学生自觉地用数学的方法 去分析 解决生活中的问题 明确要求教师在教学中引导学生建立 数学模型 不但要重视其结果 更要关注学生自主建立数学模型的 过程 让学生在进行探究性学习的过程中科学地 合理地 有效地 建立数学模型 我通过与数学团队的老师的共同交流 感觉到 运 用建模思想来指导小学数学教学 在很大程度上是要在学生的认知 过程中建立起一种统摄性 符号化的具有数学结构特征的 模型 载体 通过这样具有 模型 功能的载体 帮助学生实现数学抽象 为后续学习提供强有力的基础支持 当然 对学生模型意识的培养 和建模方法的指导 要根据具体内容和具体年级而有层次不同的要 求 低年级要恰到好处地结合日常实例和常规教学对学生进行模型 及模型意识的渗透 点化 高年级则可以更明确地引导学生关注数 学学习中模型的存在 培养初步的建模能力 一 小学 数学模型 构建的基本途径 通过引领学生经历 解决具体问题 抽象出数学模型 解 释并说明模型 再用模型解决问题 建立初步的模型化数学教学 思想 二 小学 数学模型 构建的基本过程 开展数学建模活动 关注的是建模的过程 而不仅仅是结果 更多的是培养思维能力 特别是创造能力 因此 在小学数学教学 中 教师要转变观念 创新课堂教学模式 以 建模 的视角来处理 教学内容 1 根据教学内容 开展建模活动 教材中的一些内容已经按照建模的思路编排 教师要多从建模 的角度解读教材 充分挖掘教材中蕴含的建模思想 精心设计和选 择列入教学内容的现实问题情境 将实际问题数学化 建立模型 从而解决问题 比如刚才刘文博老师的 时间 速度 路程 一课 中 教材用复合单位表示速度 如特别快车的速度和小林步行的速 度分别写成 150 千米 时 60 米 分 意在让学生体会用这样的符号 表示运动速度具有简明 清楚的特征 结合解决简单的行程问题 探索速度 时间和路程的关系 构建数学模型 速度 时间 路程 并应用模型去解决实际问题 2 上好实践活动课 为学生模仿建模甚至独立建模提供有效指 导 可以结合教材内容 整合各知识点 使之融进生活背景 产生 好的 建模问题 作为实践活动课的内容 如教材中安排了这样的问 题 找 10 盒火柴 先在小组里拼一拼 看看把 10 盒火柴包装成一 包有哪些不同的方法 怎样包装最节省包装纸 3 改编教材习题 加强建模教学 教材中有些问题需要改编 使其成为建模的有效素材 如 图 中长方形面积是 8 平方厘米 求平行四边形的面积 可以利用它开 展以下的建模活动 通过数格子 探讨出长方形的面积与平行四边 形面积之间的关系后 建立起关系模型 进而解决问题 也可以另 辟蹊径 通过 长方形长宽和平行四边形底高的关系 这一问题的解 决 建立关系模型 从而使原问题获得解决 二 小学 数学模型 构建的基本策略 1 精选问题 创设情境 激发建模的兴趣 数学模型都具有现实的生活背景 这是构建模型的基础和解决 实际问题的需要 如构建 平均数 模型时 将现实生活中发生的 与数学学习有关的素材及时引入课堂 同时将教材上的内容通过生 活中熟悉的事例 以情境的方式在课堂上展示给学生 描述数学问 题产生的背景 满足学生好奇好动的心理要求 这样很容易激发学 生的兴趣 并在学生的头脑中激活已有的生活经验 也容易使学生 用积累的经验来感受其中隐含的数学问题 从而促使学生将生活问 题抽象成数学问题 感知数学模型的存在 如我在教学平均数一课 新课伊始出示两个小组一分钟做题道 数 第一组 9 8 9 6 第二组 7 10 9 8 教师提问 哪组获胜 为什么 这时出示 第一组请假的一位同学后来加入比赛 第一组 9 8 9 6 8 第二组 7 10 9 8 师 根据比赛成绩我们判定一组获胜 此时有学生提出异议 虽然第一组做对的总道数比第二组多 但是两个队的人数不同 这样比较不公平 师 那怎么办呢 生 可以用平均数进行比较 师 什么是平均数 学生根据自己的生活经验进行总结 本节课平均数这一抽象的知识隐藏在具体的问题情境中 学生 在两次评判中解读 整理数据 产生思维冲突 从而推进数学思考 的有序进行 学生从具体的问题情境中抽出平均数这一数学问题的 过程就是一次建模的过程 2 充分感知 积累表象 培育建模的基础 教师首先要给学生提供丰富的感性材料 多侧面 多维度 全 方位感知某类事物的特征或数量间的相依关系 为数学模型的准确 构建提供可能 如 凑 法 模型构建的过程就是一个不断感知 积累的过程 首先学习 9 加几 的算法 初步了解 凑十法 接着采取半扶半放的方式学习 8 7 加几 的算法 进一步引导学 生感知 凑十法 更广的适用范围 最后学习 6 5 4 加几 的 算法 运用 凑十法 灵活解决相关的计算问题 在此过程中 学 生经历了观察 操作 实践等活动 充分体验了 凑十法 的内涵 为形成 凑十法 的模型奠定了坚实的基础 再比如刚才刘文博老 师的速度乘时间等于路程的数量关系的产生就是一个很好的建模过 程 视频 速度 时间和路程 之间的关系 是生活中常见的数 量关系 提炼出数学模型则是 速度 时间 路程 教学时 应 注重让全体学生通过解决具体问题 感悟 速度 时间和路程 之 间的数量关系 经历将生活中的具体问题抽象成数学模型的过程 并经历将抽象的数学模型用于解决具体问题的过程 让学生在 解 决具体问题 抽象出数学模型 解释并说明模型 再用模型 解决问题 这样一系列的数学活动中 建立初步的模型化的数学思 想方法 3 组织跃进 抽象本质 完成模型的构建 具体生动的情境或问题只是为学生数学模型的建构提供了可能 如果忽视从具体到抽象的有效组织 那就无法建模 如 平行与垂直 一课 如果只是让学生感知火车铁轨 跑道线 双杠 五线谱等具 体的素材 而没有透过现象看本质的过程 当学生提取 平行线 的 模型时 呈现出来的一定是形态各异的具体事物 而不是具有一般 意义的数学模型 平行 的数学本质是 同一平面内两条直线间距离 保持不变 因此 教师应将学生关注的目标从具体上升为两条直线 间的距离 可以让学生通过如下活动来引导认识过程 提出问题 为什么两条直线永远不相交 动手实验思考 在两条平行线间作垂 线 量一量这些垂线的长度 你发现了什么 你知道工人师傅是 通过什么办法使两条铁轨始终保持平行的吗 经历这样的学习过程 学生对平行的理解必定走向半具体 半抽象的模型 从而构建起真 正的数学认识 完成从物理模型到直观的数学模型再到抽象的数学 模型的建构过程 4 重视思想 提炼方法 优化建模的过程 数学家华罗庚通过多年的学习 研究经历总结出 对书本中的 某些原理 定律 公式 我们在学习的时候不仅应该记住它的结论 懂得它的道理 而且还应该设想一下人家是怎样想出来的 怎样一 步一步提炼出来的 只有经历这样的探索过程 数学的思想 方法 才能沉积 凝聚 从而使知识具有更大的智慧价值 动手实践 自 主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式 学生的数学学习活 动应当是一个主动 活泼的 生动和富有个性的过程 因此 在教 学时我们要善于引导学生自主探索 合作交流 对学习过程 学习 材料 学习发现主动归纳 提升 力求建构出人人都能理解的数学 模型 再以我校张文文老师的 认识平行四边形 为例 具体建模过 程如下 1 初步感知平行四边形特征 通过预习 学生已经知道了平行四边形 课件出示一个平 行四边形图 提问 为什么我们把这样的图形叫做平行四边形呢 板书 平行四边形 拿出你的平行四边形纸片进行观察 思考 然后和同桌讨论 交流一下 1 学生观察 猜测 动手验证 用尺子测量 平移 2 同桌讨论 交流 3 反馈 板书 两组对边分别平行的四边形 4 课件演示平行四边形的两组对边分别平行 2 辨析图片 抽象概括 完善定义 1 出示第一个平行四边形纸片 较大 正放 这个是不是平行 四边形 旋转 变换位置 现在它还是平行四边形吗 看它是不 是平行四边形 要根据什么来判断 我们大家一起用手来比划一下 这两组平行线吧 2 出示第二个平行四边形纸片 较小 斜放 这个是不是平行 四边形呢 旋转 这样放呢 再旋转 这样呢 3 出示第三个平行四边形纸片 随意放 这个是吗 现在老师 给它动个小手术 喀嚓 用剪刀剪一刀 边说边剪下一个角 看 现在它还是平行四边形吗 揭示平行四边形首先必须是四边形 板书 四边形 4 概括定义 现在你能说说到底什么叫平行四边形了吗 指明生 说 师完善板书 然后 看着板书全班同学大声朗读平行四边形定 义 并说给同桌听听 当学生已经充分感知并建立表象后 师不失时机地在此基础上 通 过分析 比较 综合 抽象 概括使学生获取对事物本质属性的认 识 从而使学生的感性认识跃进到理性认识 在这个概念形成的过 程中 可运用变式与反例 凸显概念的本质属性 帮助学生建立正 确的概念 即数学模型 第三环节 根据定义 明确外延 1 出示一个长方形纸片 问 这个是平行四边形吗 认为不是者请 站起来 师先请站着的同学说理由 然后请坐着的代表发言 当坐着的说 因为长方形的两组对边分别平行 所以它也是平行四 边形 时 再问站着的同学 是否改变主意 假如也认为 是 了 就请坐下 等全体都认可的情况下 教师板书 长方形 并顺势 补充说明 我们可以说长方形是特殊的平行四边形 2 出示一个正方形纸片 问 这个是什么图形 它是平行四边形吗 根据学生回答师板书 正方形是特殊的平行四边形 3 小结 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 长方形 正 方形都是特殊的平行四边形 当用定义把概念的本质属性揭示出来 时 师采取相应的手段帮助学生明确了概念的外延 以便学生在理 解的基础上更好地掌握概念 第四环节 运用分类 形成概念系统 之前 已用以上的教学方式进行了梯形的概念教学 1 练习 从下面图形中找出平行四边形和梯形 并给平行四边形打 上 给梯形画上 2 学生做题 师巡视 然后选一张在实物投影仪下讲评 3 分类 小结 1 分类 假如我们要给这些图形分类 你打算把它们分成几类 哪三类 第一类是打 的 第二类是画 的 第三类是既不打 也不画 的 打 的一类是什么 画 的一类 既不打 也不画 的一类 板书 一般四边形 平行四边形有几组对边平行 梯形呢 一般四边形呢 我们是按什么标准把它们分成三类的 它 们可以统称为什么 板书 四边形 2 小结 从这里我们可以看出 平行四边形和梯形是特殊的四边 形 而长方形和正方形又是特殊的平行四边形 在上述教学过程中 教师提供丰富的方法 学生需要从中挑 选出解决问题必须的材料进行研究 学生的问题不是一步到位的 通过不断地猜测 验证 再猜测 再验证这样的过程 逐步过渡到 复杂的 更一般的情景 学生在主动探索尝试过程中 进行了再创 造学习 以抽象概括方式自主总结出平行四边形概念 这一环节的 设计 不仅发展了学生的策略性知识 同时让学生经历猜测与验证 分析与归纳 抽象与概括的数学思维过程 学习过程中学生有时独 立思考 有时小组合作学习 有时是独立探索和合作学习相结合 学生在新知探索中充分体验了数学模型的形成过程 5 回归生活 变换情境 拓展模型的外延 从具体的问题经历抽象提炼的过程 初步构建起相应的数学模 型 还要组织学生将数学模型还原为具体的数学直观或可感的数学 现实 使已经构建的数学模型不断得以扩充和提升 如旧版教材在 六上 新版教材在四下的 鸡兔同笼 的问题模型 是通过研究 鸡 兔 建立起来的 但建立模型的过程中不可能将所有的同类事物一 一列举 因此 教师要带领学生继续扩展考察的范围 分析当情境 数据变化时模型的稳定性 可以出示如下问题让学生分析 9 张桌 子共 26 人 正在进行乒乓球单打 双打比赛 单打 双打的各几张 桌子 甲 乙两个车间共有 126 人 如果从甲车间每 8 人中选一名 代表 从乙车间每 6 人中选一名代表 正好选出 17 名代表 甲 乙 两车间各有多少人 这样 使模型的外延不断得以丰富和拓展 四 小学 数学模型 的应用 用数学模型解决问题或活用 数学模型 可以在很大程度上帮 助学生深刻领会所学知识 顺利构建数学体系 从而大大提高学生 解决实际问题的能力 使学生数学素质得以提升 用所建立的数学模型来解答生活实际中的问题 让学生能体会 到数学模型的实际应用价值 体验到所学知识的用途和益处 进一 步培养学生应用数学的意识和综合应用数学知识解决问题的能力 让学生体验实际应用带来的快乐 解决问题具体表现在两个方面 一是布置数学题作业 如基本题 变式题 拓展题等 二是生活题 作业 让学生在实际生活中应用数学 通过应用真正让数学走入生 活 让数学走近学生 用数学知识去解决实际问题的同时拓展数学 问题 培养学生的数学意识 提高学生的数学认知水平 又可以促 进学生的探索意识 发现问题意识 创新意识和实践意识的形成 使学生在实际应用过程中认识新问题 同化新知识 并构建自己的 智力系统 如在 时间 速度 路程 一课 刘老师在学生掌握了速度 时间 路程之间关系后 先进行单项练习 然后出示这样的变式题 1 算一算 王伯伯从玉丰村出发去大庆市送化肥 去的时候用了 3 小时 速度 是 50 千米 时 返回时用了 2 小时 问 从玉丰村到大庆市有多远 原路返回时平均每小时行多少千米 2 议一议 带有这个标志的路共长 140 千米 张叔叔驾车想花 2 小时开完这一 路段 他会超速吗 你想对张叔叔说点儿什么呢 学生在掌握了速度乘时间等于路程这一模型后 进行变式练习 学生基本能正确解答 说明学生对基本数学模型已经掌握 掌握了 数学模型 学生解答起数学问题来得心应手 数学的概念 法则 关系等都是数学模型 并且总是建立在其 他数学模型的材料 模型的应用及体现在对新知的逐级构建上 如 一个数乘一位数 法则是一个模型 在教学 一个数乘两位数 时可以放手让学生自主探究 在其过程中 旧模型被调用 为构建 更高一级的法则模型发挥重要作用 随着知识的不断更新 学生头 脑中的认知结构不断得到重组优化 旧模型往往被具有更 上位 的新模型所代替或统一 使得数学模型更具有了概括性的特征 数学建模教学的注意事项 1 鼓励学生积极主动地参与 把教学过程自觉地变成学生活动 的过程 教师不应只是 讲演者 而应不时扮演下列角色 参谋 提一些求解的建议 提供可参考的信息 但并不代替学生做出 决断 询问者 故作不知 问原因 找漏洞 督促学生弄清楚 说明白 完成进度 仲裁者和鉴赏者 评判学生工作成果的价值 意义 优劣 鼓励学生有创造性的想法和作法 2 注意结合学生的实际水平 分层次逐步地推进 数学建模对 教师 对学生都有一个逐步的学习和适应的过程 教师在设计数学 建模活动时 特别应考虑学生的实际能力和水平 起始点要低 形 式应有利于更多的学生能参与 在开始的教学中 在讲解知识的同 时有意识地介绍知识的应用背景 在数学模型的应用环节进行比较 多的训练 然后逐步扩展到让学生用已有的数学知识解释一些实际 结果 描述一些实际现象 模仿地解决一些