高二数学上 8.2 椭圆的简单几何性质（一）优秀教案

8 28 2 椭圆的简单几何性质椭圆的简单几何性质 一 教学目标一 教学目标 一 知识教学点 通过椭圆标准方程的讨论 使学生掌握椭圆的几何性质 能正确地画出椭圆的图形 并 了解椭圆的一些实际应用 二 能力训练点 通过对椭圆的几何性质的教学 培养学生分析问题和解决实际问题的能力 三 学科渗透点 使学生掌握利用方程研究曲线性质的基本方法 加深对直角坐标系中曲线与方程的关系 概念的理解 这样才能解决随之而来的一些问题 如弦 最值问题等 二 教材分析二 教材分析 1 重点 椭圆的几何性质及初步运用 解决办法 引导学生利用方程研究曲线的性质 最后进行归纳小结 2 难点 椭圆离心率的概念的理解 解决办法 先介绍椭圆离心率的定义 再分析离心率的大小对椭圆形状的 影响 3 疑点 椭圆的几何性质是椭圆自身所具有的性质 与坐标系选择无关 即不随坐标系的改变而改变 解决办法 利用方程分析椭圆性质之前就先给学生说明 三 活动设计三 活动设计 提问 讲解 阅读后重点讲解 再讲解 演板 讲解后归纳 小结 四 教学过程四 教学过程 一 复习提问 1 椭圆的定义是什么 2 椭圆的标准方程是什么 3 椭圆中a b c的关系是 学生口述 教师板书 二 几何性质 根据曲线的方程研究曲线的几何性质 并正确地画出它的图形 是 b 0 来 研究椭圆的几何性质 说明 椭圆自身固有几何量所具有的性质是与坐标系选择 无关 即不随坐标系的改变而改变 1 范围 即 x a y b 这说明椭圆在直线 x a 和直线 y b 所围成的矩形里 图 2 18 注意结合图形讲解 并指出描点画图时 就不能取范围以外的点 2 对称性 先请大家阅读课本椭圆的几何性质2 设问 为什么 把x 换成 x 或把 y 换成 y 或把 x y 同时换成 x y 时 方程都不变 所以图形关于 y 轴 x 轴或原点对称的 呢 事实上 在曲线的方程里 如果把x 换成 x 而方程不变 那么当点 P x y 在曲 线上时 点 P 关于 y 轴的对称点 Q x y 也在曲线上 所以曲线关于 y 轴对 称 类似可以证明其他两个命题 同时向学生指出 如果曲线具有关于y 轴对称 关于 x 轴对称和关于原点对称中 的任意两种 那么它一定具有另一种对称 如 如果曲线关于 x 轴和原点对称 那么它一定关于 y 轴对称 事实上 设P x y 在曲线上 因为曲线关于 x 轴对称 所以点 P1 x y 必 在曲线上 又因为曲线关于原点对称 所以 P1关于原点对称点 P2 x y 必在曲 线上 因 P x y P2 x y 都在曲线上 所以曲线关于 y 轴对称 最后指出 x 轴 y 轴是椭圆的对称轴 原点是椭圆的对称中心即椭圆中心 3 顶点 只须令x 0 得 y b 点 B1 0 b B2 0 b 是椭圆和 y 轴的两个交点 令 y 0 得 x a 点 A1 a 0 A2 a 0 是椭圆和 x 轴的两个交点 强调指出 椭圆有四个顶点 A1 a 0 A2 a 0 B1 0 b B2 0 b 教师还需指出 1 线段 A1A2 线段 B1B2分别叫椭圆的长轴和短轴 它们的长分别等于 2a 和 2b 2 a b 的几何意义 a 是长半轴的长 b 是短半轴的长 这时 教师可以小结以下 由椭圆的范围 对称性和顶点 再进行描点画图 只须描出 较少的点 就可以得到较正确的图形 根据前面所学有关知识画出下列图形 1 1 1625 22 yx 2 1 425 22 yx 4 离心率 教师直接给出椭圆的离心率的定义 等到介绍椭圆的第二定义时 再讲清离心率e 的几何意义 先分析椭圆的离心率e 的取值范围 a c 0 0 e 1 再结合图形分析离心率的大小对椭圆形状的影响 2 当 e 接近 0 时 c 越接近 0 从而 b 越接近 a 因此椭圆接近圆 3 当 e 0 时 c 0 a b 两焦点重合 椭圆的标准方程成为 x2 y2 a2 图形 就是圆了 标准方程 范围 x a y b 对称性关于x轴 y轴成轴对称 关于原点成中心对 称 顶点坐标 a 0 a 0 0 b 0 b 焦点坐标 c 0 c 0 半轴长长半轴长为a 短半轴长为b a b 离心率 a b c 的关 系 a b c 标准方程 范围 x a y b x b y a 对称性关于x轴 y轴成轴对称 关于原点成中心对称 同前 顶点坐标 a 0 a 0 0 b 0 b b 0 b 0 0 a 0 a 焦点坐标 c 0 c 0 0 c 0 c 半轴长 长半轴长为a 短半 轴长为b a b 同前 离心率 同前 a b c 的关系 a b c 同前 三 应用 为了加深对椭圆的几何性质的认识 掌握用描点法画图的基本方法 给出如下例1 例 1已知椭圆 16x2 25y2 400 它的长轴长是 短轴长是 焦距是 离心率等于 焦点坐标是 顶点坐标是 外切矩形的面积等于 22 22 1 0 xy ab ab c e a 22 22 1 0 xy ab ab 22 22 1 0 xy ab ba c e a 并用描点法画出它的图形 本例前一部分请一个同学板演 教师予以订正 估计不难完成 后一部分由教师讲解 以引起学生重视 步骤是 2 描点作图 先描点画出椭圆在第一象限内的图形 再利用椭圆的对称性就 可以画出整个椭圆 图 2 19 要强调 利用对称性可以使计算量大大减少 练习 1 已知椭圆方程为 6x y 6 它的长轴长是 短轴长是 焦距是 离心率等于 焦点坐标是 顶点坐标是 外切矩形的面积等于 例 2 过适合下列条件的椭圆的标准方程 1 经过点 P 3 0 Q 0 2 2 长轴长等于 20 离心率等于 5 3 解 1 由题意 a 3 b 2 又 长轴在 x 轴上 所以 椭圆的标准方程为 1 49 22 yx 2 由已知 2a 20 e 5 3 a c a 10 c 6 64610 222 b 所以椭圆的标准方程为1 64100 22 yx 或 1 64100 22 xy 例 3 已知椭圆的中心在原点 焦点在坐标轴上 长轴是短轴的三倍 且椭圆经过 点 P 3 0 求椭圆的方程 椭圆的标准方程为1 9 2 2 y x 或 1 819 22 xy 四 小结 本节课我们学习了椭圆的几个简单几何性质 范围 对称性 顶点坐标 离 心率等概念及其几何意义 了解了研究椭圆的几个基本量 a b c e 及顶点 焦点 对称中心及其相互之间的关系 这对我们解决椭圆中的相关问题有很大的 帮助 给我们以后学习圆锥曲线其他的两种曲线扎实了基础 在解析几何的学习 中 我们更多的是从方程的形式这个角度来挖掘题目中的隐含条件 需要我们认 识并熟练掌握数与形的联系 在本节课中 我们运用了几何性质 待定系数法来 求解椭圆方程 在解题过程中 准确体现了函数与方程以及分类讨论的数学思想 解法研究图形的性质是通过对方程的讨论进行的 同一曲线由于坐标系选取不同 方程 的形式也不同 但是最后得出的性质是一样的 即与坐标系的选取无关 布置学生最后小结 下列表格 五 布置作业 五 布置作业 4 23 1 2 1 求求椭椭圆圆的的标标准准方方程程过过点点 且且经经的的两两个个部部分分长长轴轴分分成成已已知知椭椭圆圆的的一一个个焦焦点点将将 补补充充 求求椭椭圆圆的的标标准准