高二数学 第二章第3节双曲线同步练习 （理） 新人教A版选修2-1

专心 爱心 用心1 高二数学人教新课标高二数学人教新课标 A A 版 理 选修版 理 选修 2 12 1 第二章第第二章第 3 3 节双曲线同步节双曲线同步 练习练习 答题时间 50 分钟 一 选择题 1 设 1 F 2 F分别为双曲线 22 22 1 0 0 xy ab ab 的左 右焦点 若在双曲线右支上存 在点P 满足 212 PFFF 且 2 F到直线 1 PF的距离等于双曲线的实轴长 则该双曲线的 渐近线方程为 A 340 xy B 350 xy C 430 xy D 540 xy 2 设双曲线的一个焦点为F 虚轴的一个端点为B 如果直线FB与该双曲线的一条 渐近线垂直 那么此双曲线的离心率为 A 2 B 3 C 31 2 D 51 2 3 设 O 为坐标原点 1 F 2 F是双曲线 22 22 xy 1 ab a 0 b 0 的焦点 若在双曲线 上存在点 P 满足 1 FP 2 F 60 OP 7a 则该双曲线的渐近线方程为 A x 3y 0 B 3x y 0 C x 2y 0 D 2x y 0 4 到两互相垂直的异面直线的距离相等的点 在过其中一条直线且平行于另一条直线的 平面内的轨迹是 A 直线 B 椭圆 C 抛物线 D 双曲线 5 已知双曲线 22 22 1 0 0 xy ab ab 的一条渐近线方程是 y 3x 它的一个焦点 在抛物线 2 24yx 的准线上 则双曲线的方程为 A 22 1 36108 xy B 22 1 927 xy C 22 1 10836 xy D 22 1 279 xy 6 已知 1 F 2 F为双曲线 C 22 1xy 的左 右焦点 点 P 在 C 上 1 FP 2 F 则 60 21 PFPF A 2 B 4 C 6 D 8 二 填空题 7 点 00 A xy 在双曲线 22 1 432 xy 的右支上 若点 A 到右焦点的距离等于 0 2x 则 0 x 8 已知双曲线 22 22 1 xy ab 的离心率为 2 焦点与椭圆的焦点相同 那么双1 9 y 25 x 22 曲线的焦点坐标为 渐近线方程为 专心 爱心 用心2 9 已知双曲线 22 22 1 0 0 xy ab ab 的一条渐近线方程是3yx 它的一个焦点 与抛物线 2 16yx 的焦点相同 则双曲线的方程为 10 若双曲线 2 x 4 2 2 y b 1 b 0 的渐近线方程为 y 1 x 2 则 等于 三 解答题 11 一条双曲线 2 2 1 2 x y 的左 右顶点分别为 A1 A2 点 11 P x y 11 Q xy 是双 曲线上不同的两个动点 1 求直线 A1P 与 A2Q 交点的轨迹 E 的方程式 2 若过点 H 0 h h 1 的两条直线 l1和 l2与轨迹 E 都只有一个交点 且 12 ll 求 h 的值 12 如图 已知椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 的离心率为 2 2 以该椭圆上的点和椭圆的 左 右焦点 12 F F为顶点的三角形的周长为4 21 一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦 点 设P为该双曲线上异于顶点的任一点 直线 1 PF和 2 PF与椭圆的交点分别为BA 和 CD 求椭圆和双曲线的标准方程 设直线 1 PF 2 PF的斜率分别为 1 k 2 k 证明 12 1k k 是否存在常数 使得 ABCDAB CD 恒成立 若存在 求 的值 若不存在 请说明理由 专心 爱心 用心3 1 C 解析 利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系 进而得出 a 与 b 之 间的等量关系 由此可知答案选 C 本题主要考查三角形与双曲线的相关知识点 突出了 对计算能力和综合运用知识能力的考查 属于中档题 2 D 解析 不妨设双曲线的焦点在 x 轴上 设其方程为 0b 0a 1 b y a x 2 2 2 2 则一个焦点为 B 0 b 0 c F 一条渐近线的斜率为 直线 FB 的斜率为 a b 1 c b a b a b acb2 解得 0acac 22 2 15 a c e 3 D 解析 本题将解析几何与三角知识相结合 主要考查了双曲线的定义 标准方程 几何图形 几何性质 渐近线方程 以及斜三角形的解法 属中档题 4 D 解析 本题使用了排除法 轨迹是轴对称图形 因此排除 A C 轨迹与已知直线 不能有交点 故排除 D 5 B 解析 本题主要考查双曲线与抛物线的几何性质及标准方程 属于容易题 依题意知 所以双曲线的方程为27b 9a bac 6c 3 a b 22 222 1 27 y 9 x 22 6 B 本小题主要考查双曲线的定义 几何性质 余弦定理 以及转化的数学思想 通 过本题还可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力 解析 1 由余弦定理得 cos PF PF 2 FF PF PF PFF 21 2 21 2 2 2 1 21 PF PF 2 FF PF PF 2 PF PF 60cos 21 2 2121 2 21 PF PF 2 22 PF PF 22 2 1 21 2 21 2 4 PF PF 21 解析 2 由焦点三角形面积公式得 2 3 PF PF 2 1 60sin PF PF 2 1 3 2 60 cot1 2 cotbS 2121 22 PFF 21 4 PF PF 21 7 2 解析 考查圆锥曲线的基本概念和第二定义的转化 得到 a 2 c 6 d3re d r 2x c a x 3x2 0 2 00 8 0 4 0yx3 9 1 12 y 4 x 22 解析 本题主要考查了双曲线和抛物线的几何性质及双曲线的标准方程 属于容易题 专心 爱心 用心4 由渐近线方程可知 3 a b 因为抛物线的焦点为 4 0 所以 c 4 又 222 bac 联立 解得 所以双曲线的方程为12b 4a 22 1 12 y 4 x 22 10 1 解析 由题意知 解得 b 1 2 1 2 b 11 解 1 由 A1 A2为双曲线的左 右顶点知 0 2 A 0 2 A 21 两式相乘得 2x 2x 0y y QA 2x 2x 0y y PA 1 1 2 1 1 1 而点在双曲线上 所以 即 2x 2x y y 2 2 1 2 12 y x P 11 1y 2 x 2 1 2 1 2 1 2x y 2 1 2 1 故 即 2x 2 1 y 22 1y 2 x 2 2 2 设 则由知 hkxy l1 21 ll hx k 1 y l2 将代入得hkxy l1 1y 2 x 2 2 即 1 hkx 2 x 2 2 02h2khx4x k21 222 由 l1与轨迹 E 只有一个交点知 即0 2h2 k21 4hk16 2222 22 hk21 同理 由 l2与轨迹 E 只有一个交点知 消去 h2得 即 2 2 h k 1 21 2 2 k k 1 从而 即 1k 2 3k21h 22 3h 12 解析 由题意知 椭圆离心率为 2 2 a c 得 c2a 又 12 4c2a2 所以可解得 所以 2c 22a 4cab 222 所以椭圆的标准方程为 1 4 y 8 x 22 所以椭圆的焦点坐标为 2 0 因为双曲线为等轴双曲线 且顶点是该椭圆的焦点 所以该双曲线的标准方程为 1 4 y 4 x 22 设点 P 则 所以 00 y x 2x y k 2x y k 0 0 2 0 0 1 2x y 2x y kk 0 0 0 0 21 专心 爱心 用心5 又点 P在双曲线上 所以有 即 所以 4x y 2 0 2 0 y x 00 1 4 y 4 x 2 0 2 0 4xy 2 0 2 0 1 4x y kk 2 0 2 0 21 假设存在常数 使得恒成立 则由 知 CD AB CD AB 所以设直线 AB 的方程为 则直线 CD 的方程为 1kk 21 2x ky 2x k 1 y 由方程组消 y 得 设 1 4 y 8 x 2x ky 22 08k8xk8x 1k2 2222 y x A 11 B 22 y x 则由韦达定理得 1k2 8k8 xx 1k2 k8 xx 2 2 21 2 2 21 所以 同理可得 1k2 k1 24 xx4 xx k1 AB