2012高考数学复习 第九章 直线、平面、简单几何体（B）9(B)-8试题

用心 爱心 专心1 第九章 第九章 B B 第八讲第八讲 时间 60 分钟 满分 100 分 一 选择题 8 5 40 分 1 四棱锥成为正四棱锥的一个充分但不必要的条件是 A 各侧面是等边三角形 B 顶点在底面的射影在底面四边形的对角线的交点上 C 各侧面三角形的顶角为 45 D 各侧面是等腰三角形 且底面是正方形 答案 A 解析 当各侧面为正三角形时 底面为菱形 由侧棱相等 知顶点在底面的射影为底面 四边形的外心 因此菱形又必须成为矩形 因此底面为正方形 但正四棱锥侧面不一定是正 三角形 故选 A 2 在斜棱柱的侧面中 矩形最多有几个 A 2 B 3 C 4 D 6 答案 A 解析 最多 2 个 若有 3 个 则底面有三条边与侧棱垂直 而三边中至少有两条相交 即底面一定存在两相交直线与侧棱垂直 与斜棱柱定义矛盾 故选 A 3 2009 四川 6 如图所示 已知六棱锥P ABCDEF的底面是正六边形 PA 平面 ABC PA 2AB 则下列结论正确的是 A PB AD B 平面PAB 平面PBC C 直线BC 平面PAE D 直线PD与平面ABC所成的角为 45 答案 D 解析 PB在底面的射影为AB AB与AD不垂直 排除 A 又BD AB BD PA BD 面PAB 但BD不在面PBC内 排除 B 对于 C 选项 BD AE BD 面PAE BC与面PAE 不平行 排除 C PD与面ABC所成角为 PDA 又 AD 2AB PA PDA 45 故选 D 4 2009 湖北 6 如图所示 在三棱柱ABC A1B1C1中 ACB 90 ACC1 60 BCC1 45 侧棱CC1的长为 1 则该三棱柱的高等于 A B C D 1 2 2 2 3 2 3 3 答案 A 解析 如图 作C1O 底面ABC于点O 作OE BC于E 作OF AC于F 连结C1E C1F 可知C1F FC C1E BC 用心 爱心 专心2 根据已知条件可得OE FC CC1 1 2 1 2 C1E 高C1O 故选 A 2 2C1E2 OE2 2 4 1 4 1 2 5 2009 河北邯郸一模 棱长为a的正四面体中 高为h 斜高为m 相对棱间的距离 为d 则a m h d的大小关系正确的是 A a m h d B a h m d C a h d m D a d h m 答案 A 解析 显然斜高大于高 即m h 排除 B C D 故选 A 6 2009 郑州市高中毕业班第一次质量预测卷 如右图 在正方体ABCD A1B1C1D1中 P为棱DC的中点 则D1P与BC1所在直线所成角的余弦值等于 A B 4 5 10 5 C D 1 2 5 10 答案 B 解析 过C1作D1P的平行线交DC的延长线于点F 连结BF 则 BC1F或其补角等于异 面直线D1P与BC1所成的角 设正方体的棱长为 1 由P为棱DC的中点 易得 BC1 C1F BF 在 BC1F中 212 f 1 2 2 5 212 f 1 2 2 5 2 cos BC1F 选 B r 2 2 f r 5 2 2 f r 5 2 2 2 2 5 2 10 5 7 2009 陕西 11 若正方体的棱长为 则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多 2 面体的体积为 A B C D 2 6 2 3 3 3 2 3 答案 B 解析 所求八面体体积只是两个底面边长为 1 高为的四棱锥的体积和 一个四棱锥 2 2 体积V1 1 所以V 2 V1 故选 B 1 3 2 2 2 6 2 3 8 2009 宁夏 海南 9 如图所示 正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为 1 线段B1D1上 用心 爱心 专心3 有两个动点E F 且EF 则下列结论中错误的是 1 2 A AC BE B EF 平面ABCD C 三棱锥A BEF的体积为定值 D AEF的面积与 BEF的面积相等 答案 D 解析 如图 正方体ABCD A1B1C1D1中 AC BD AC BB1 BD BB1 B AC 平面BB1D1D BE 平面BB1D1D AC BE A 对 EF 平面ABCD B 对 S BEF EF BB1 1 1 2 1 2 1 2 1 4 AO 平面BB1D1D AO 2 2 VA BEF 1 3 1 4 2 2 2 24 三棱锥的体积为定值 C 对 故选 D 二 填空题 4 5 20 分 9 斜三棱柱ABC A1B1C1中 侧面BB1C1C的面积为S AA1到面BCC1B1的距离是a 则该 三棱柱的体积是 答案 aS 2 解析 将其分割为三棱锥A1 ABC和四棱锥A1 BCC1B1 因为 VA1 BCC1B1 Sa 1 3 VABC A1B1C1 VA1 BCC1B1 3 2 aS 2 10 如图 在直四棱柱ABCD A1B1C1D1中 底面ABCD是菱形 BAD 60 AA1 AB 1 则截面ACC1A1的面积为 异面直线AD与D1C所成角的余弦值为 答案 3 2 4 解析 截面ACC1A1为矩形 AA1 1 AC 其面积S 33 BD 1 BD1 在 BCD1中 BC 1 2 CD1 cos BCD1 2 2 4 用心 爱心 专心4 则异面直线AD与D1C所成角的余弦值为 2 4 11 已知正三棱柱ABC A1B1C1的侧棱长与底面边长相等 则AB1 与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于 答案 6 4 解析 如图 取A1C1中点为M 则B1M 平面ACC1A1 连结 AM B1AM为所求角 不妨设棱长为 2 则B1M AB1 2 32 sin B1AM B1M AB1 6 4 12 如图 在直三棱柱ABC A1B1C1中 AB BC BB1 2 ABC 90 E F分别 2 为AA1 C1B1的中点 沿棱柱的表面从E到F两点的最短路径的长度为 答案 3 2 2 解析 AB BC ABC 90 AC 2 2 侧面展开后如下图所示 A1E AA1 1 1 2 A1F A1B1 B1F 3 2 2 EF A1E2 A1F2 1 9 2 22 2 把 A1B1C1与侧面A1B1BA展开如右图所示 连结EF 过E作EM B1B 则EM AB FM 1 2 2 2 EF 7 2 2 若把 A1B1C1与侧面A1ACC1展开如右图 用心 爱心 专心5 连结EF 作EM CC1于M 作FD EM于D点 则ED FD 3 2 3 2 EF f 3 2 2 f 3 2 2 3 2 2 比较以上三条路径 以第三条最小 EF间最短路径为 3 2 2 三 解答题 4 10 40 分 13 2009 陕西 18 如图所示 在直三棱柱ABC A1B1C1中 AB 1 AC AA1 ABC 60 3 1 求证 AB A1C 2 求二面角A A1C B的大小 解析 1 证明 三棱柱ABC A1B1C1为直三棱柱 AB AA1 在 ABC中 AB 1 AC ABC 60 由正弦定理得 ACB 30 3 BAC 90 即AB AC AB 平面ACC1A1 又A1C 平面ACC1A1 AB A1C 2 解 如图 作AD A1C交A1C于D点 连结BD 由三垂线定理知 BD A1C ADB为二面角A A1C B的平面角 在 Rt AA1C中 AD AA1 AC A1C 3 3 6 6 2 在 Rt BAD中 tan ADB AB AD 6 3 ADB arctan 即二面角A A1C B的大小为 arctan 6 3 6 3 14 如图 三棱柱ABC A1B1C1的底面是边长为a的正三角形 侧面ABB1A1是菱形且垂直 于底面 A1AB 60 M是A1B1的中点 1 求证 BM AC 2 求二面角B B1C1 A1的正切值 3 求三棱锥M A1CB的体积 解析 1 证明 ABB1A1是菱形 A1AB 60 A1B1B是正三角形 Error BM 平面A1B1C1 Error BM AC 用心 爱心 专心6 Error BE B1C1 BEM为所求二面角的平面角 A1B1C1中 ME MB1 sin60 a Rt BMB1中 MB MB1 tan60 a 3 4 3 2 tan BEM 2 MB ME 所求二面角的正切值是 2 3 VM A1CB VB1 A1CB VA A1CB VA1 ABC a2 a a3 1 2 1 2 1 2 1 2 1 3 3 4 3 2 1 16 15 2009 广东汕头一模 如图所示 已知 BCD中 BCD 90 BC CD 1 AB 平面BCD ADB 60 E F分别是AC AD上的动点 且 0 1 AE AC AF AD 1 求证 不论 为何值 总有EF 平面ABC 2 若 求三棱锥A BEF的体积 1 2 解析 1 证明 AB 平面BCD AB CD 又 在 BCD中 BCD 90 BC CD 又AB BC B CD 平面ABC 又 在 ACD中 E F分别是AC AD上的动点 且 0 1 AE AC AF AD 不论 为何值 都有EF CD EF 平面ABC 2 在 BCD中 BCD 90 BC CD 1 BD 2 又 AB 平面BCD AB BC AB BD 又 在 Rt ABD中 ADB 60 AB BD tan60 6 由 1 知EF 平面ABC VA BEF VF ABE S ABE EF 1 3 S ABC EF 1 3 1 2 1 1 6 1 26 1 2 6 24 故三棱锥A BEF的体积是 6 24 用心 爱心 专心7 16 在四棱锥P ABCD中 侧面PDC是边长为 2 的正三角形 且与底面垂直 底面ABCD 是面积为 2的菱形 ADC为菱形的锐角 3 1 求证 PA CD 2 求二面角P AB D的大小 3 求棱锥P ABCD的侧面积 解析 1 证明 如图所示 取CD的中点E 由PE CD 得PE 平面ABCD 连结 AC AE AD CD sin ADC 2 3 AD CD 2 sin ADC 3 2 即 ADC 60 ADC为正三角形 CD AE CD PA