福建省福清市2020届高三数学下学期3月线上教学质量检测试题 理

1 福建省福清市福建省福清市 20202020 届高三数学下学期届高三数学下学期 3 3 月线上教学质量检测试题月线上教学质量检测试题 理理 完卷时间 120 分钟 满分 150 分 本试卷分第 卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分 第 卷 1 至 2 页 第 卷 3 至 5 页 满分 150 分 第第 卷卷 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 1212 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符 合题目要求的 合题目要求的 1 已知集合 则 5ux x 327 x ax a u a b c d 3x x 5x x 35xx 035x xx 或 2 已知复数满足 且 则 z 0zz 9z z z a 3b c d 3i3 3i 3 已知两个力 作用于平面内某静止物体的同一点上 为使该物体仍保 1 4 2 f 2 2 3 f 持静止 还需给该物体同一点上再加上一个力 则 3 f 3 f a b c d 2 5 2 5 5 2 5 2 4 已知等比数列的前项和为 若 且 则 n an n s 2413 2aaaa 1 3 5 512a a a 10 s a b c d 1022204620484094 5 如图 1 为某省 2019 年 1 4 月快递业务量统计图 图 2 是该省 2019 年 1 4 月快递业务收入 统计图 下列对统计图理解错误的是 a 2019 年 1 4 月的业务量 3 月最高 2 月最低 差值接近 2000 万件 b 2019 年 1 4 月的业务量同比增长率超过 50 在 3 月最高 c 从两图来看 2019 年 1 4 月中的同一个月快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致 d 从 1 4 月来看 该省在 2019 年快递业务收入同比增长率逐月增长 6 已知 则曲线在点处的切线方程为 2 22f xx xf yf x 1f1 a b 490 xy 610 xy c d 1010 xy 610 xy 7 若展开式中的系数为 则整数的值为 4 12 1 xax 2 x78a 2 a b c d 3 2 23 8 已知函数 若 则 ee xx f x 0 5 0 6a 0 5 log0 6b 0 6 log5c a b f af bf c f cf bf a c d f bf af c f cf af b 9 如图 网格纸上的小正方形的边长为 1 粗线画出的是某几何体的 三视图 则该几何体的体积为 a b 4 16 3 c d 32 3 16 10 将曲线向左平移个单位长度 得到曲线的对称中心为 1 2sin1 24 yx 4 a b 2 0 kk z2 0 4 kk z c d 2 1 4 kk z2 1 4 kk z 11 已知双曲线的右焦点的坐标为 过作与的两条渐 22 22 10 0 xy eab ab f 0c fe 近线平行的直线 若与的渐近线分别交于两点 且四边形 为坐标 12 l l 12 l l e a boafbo 原点 的面积为 则的离心率为 bce a 3b 2c d 32 12 半正多面体亦称 阿基米德多面体 是由边数不全相同的正多 边形为面的多面体 体现了数学的对称美 如图 将正方体沿交于 一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥 如此共可截去八个三棱锥 得到一个有十四个面的半正多面体 它们的棱长都相等 其中八个 为正三角形 六个为正方形 称这样的半正多面体为二十四等边体 若棱长为的二十四等边体的各个顶点都在同一个球面上 则该球 2 的表面积为 a b c d 16 32 38 4 第第 卷卷 注意事项 用毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答 在试题卷上作答 答案无效 0 5 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 4 4 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 2020 分 把答案填在题中的横线上 分 把答案填在题中的横线上 13 已知 则 3sintan80 2 tan 14 某电视台的夏日水上闯关节目中的前三关的过关率分别为 只有通过前一关才能 5 4 2 6 5 5 进入下一关 且通过每关相互独立 某选手参加该节目 则该选手能进入第四关的概率为 3 15 已知等差数列的前n项和为 且 数列的首项为 3 且 n a n s 13 10aa 9 72s n b 则 1 3 n n b b 210020 a b 16 过点的直线 与抛物线 交于两点 在之间 是的 1 0m lc 2 4yx a b a m b fc 焦点 点满足 则与的面积之和的最小值是 n6nfaf abf amn 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 6 小题 共小题 共 7070 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第 1717 2121 题为必考题 每个试题考生都必须作答 第题为必考题 每个试题考生都必须作答 第 2222 2323 题为选考题 考生根据要求作题为选考题 考生根据要求作 答 答 一 必考题 共 一 必考题 共 6060 分 分 17 本小题满分 12 分 已知的内角的对边分别为 设 且 abc a b c a b c 7coscosabbaac sin2sinaa 1 求a及a 2 若 求边上的高 2bc bc 18 本小题满分 12 分 如图 四边形是梯形 四边形是矩形 且平面平面 abcdcdefabcd cdef 是的中点 90badcda 1 2 2 abaddecd mae 1 证明 平面 ac mdf 2 求平面与平面所成锐二面角的余弦值 dmfabcd 19 本小题满分 12 分 2019 年 9 月 24 日国家统计局在庆祝中 华人民共和国成立 70 周年活动新闻中 心举办新闻发布会指出 1952 年 2018 年 我国 gdp 查 679 1 亿元 跃升至 90 03 万亿元 实际增长 174 倍 人均 gdp 从 119 元提高到 6 46 万元 实际增长 70 倍 全国各族人民 砥砺奋 进 顽强拼搏 实现了经济社会的跨越 式发展 如图是全国 2010 年至 2018 年 gdp 总量 万亿元 的折线图 y 注 年份代码 1 9 分别对应年份 2010 2018 1 由折线图看出 可用线性回归模型拟合与年份代码 的关系 请用相关系数加以说明 y t 4 2 建立关于 的回归方程 系数精确到 0 01 并预测 2021 年全国 gdp 的总量 y t 附注 参考数据 99 22 1111 99 582 01 64 668 3254 80 345 900 ii ii iii ii ttyyyyty 参考公式 相关系数 1 22 11 n ii i nn ii ii ttyy r ttyy 回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为 yabt 1 2 1 n ii i n i i ttyy b tt aybt 20 本小题满分 12 分 已知椭圆过点 且离心率为 22 22 10 xy cab ab 2 1p 3 2 1 求的方程 c 2 已知直线 不经过点 且斜率为 若 与交于两个不同点 且直线的 l p 1 2lc a b pa pb 倾斜角分别为 试判断是否为定值 若是 求出该定值 否则 请说明理由 21 本小题满分 12 分 已知函数 证明 ln2sinf xxxx 1 在区间存在唯一极大值点 f x 0 2 有且仅有 2 个零点 f x 二 选考题 共 二 选考题 共 1010 分 请考生在第分 请考生在第 2222 2323 两题中任选一题作答 如果多做 则按所做第两题中任选一题作答 如果多做 则按所做第 一个题目计分 作答时请用一个题目计分 作答时请用 2b2b 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑 22 本小题满分 10 分 选修 坐标系与参数方程44 在直角坐标系中 直线 的参数方程为 为参数 在以坐标原点为极点 xoyl 2 3 2 2 1 2 xt yt t 轴正半轴为极轴的极坐标系中 曲线的方程为 xc4cos6sin 5 1 求的直角坐标方程 c 2 设与 交于点 点的坐标为 求 clmn a 3 1aman 23 本小题满分 10 分 选修 不等式选讲45 已知函数 211 f xxax 1 当时 求不等式的解集 2a 1f x 2 当时 不等式成立 求实数的取值范围 1 2x 1f xx a 福清市福清市 20202020 届高三年届高三年 线上教学线上教学 质量检测质量检测 理科数学参考答案及评分细则理科数学参考答案及评分细则 评分说明 1 本解答给出了解法供参考 如果考生的解法与本解答不同 可根据试题的主要考查 内容比照评分标准制定相应的评分细则 2 对计算题 当考生的解答在某一步出现错误时 如果后继部分的解答未改变该题的 内容和难度 可视影响的程度决定后继部分的给分 但不得超过该部分正确解答应给分数的 一半 如果后继部分的解答有较严重的错误 就不再给分 3 解答右端所注分数 表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4 只给整数分数 选择题和填空题不给中间分 一 选择题 本大题考查基础知识和基本运算 每小题一 选择题 本大题考查基础知识和基本运算 每小题 5 5 分 满分分 满分 6060 分 分 1 c2 c3 a 4 b5 d 6 d 7 a 8 a9 b10 c 11 b 12 a 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 4 4 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 2020 分 分 13 14 15 16 8 2 2 4 1513 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 6 小题 共小题 共 7070 分 分 17 命题意图 本题主要考查解三角形 正弦定理和余弦定理等基础知识 意在考查逻辑 推理 数学运算 直观想象的数学核心素养 满分 12 分 解析 1 因为 根据正弦定理得 7coscosabbaac 6 2 分 7 sincossincossin 7 abbaac 又因为 7 sinsin 7 cac sin0 c 3 分7 a 4 分 sin2sin 2sincossin aaaaa 因为所以 5 分 sin0 a 1 cos 2 a 6 分 0 3 aa 2 由 1 知 7 3 aa 由余弦定理得 222 2cos abcbca 8 分 222 7 7 bcbcbcbc 因为 所以所以 9 分 2bc 74 bc 3 bc 设bc边上的高为 h 10 分 1133 3 sin3 2224 abc sbca 113 3 7 224 abc sahh 3 21 14 h 即bc边上的高为 12 分 3 21 14 18 命题意图 本题主要考查直线与直线 直线与平面的位置关系 二面角等基础知识 意在考查直观想象 逻辑推理与数学运算的数学核心素养 满分 12 分 解析解析 1 连结 交于 连结 如图所示 cedfnmn 因为四边形是矩形 所以是的中点 1 分 cdefnce 由于是的中点 mae 所以 2 分 mn ac 由于平面 平面 mn mdfac mdf 所以平面 4 分 acmdf 2 因为平面平面 abcd cdef 平面平面 abcd cdefcd decd 所以平面 de abcd 可知两两垂直 5 分 ad cd de 以点为原点 分别以的方向为轴 轴 轴 d da dc de uu u r uuu r uuu r x y z 的正方向 建立空间直角坐标系 oxyz 因为 则 2ab 1 0 1 m 0 4 2 f 1 0 1 dm 设平面的法向量为 0 4 2 df mdf1 nx y z 则所以 7 分 1 1 0 0 ndm ndf 0 420 xz yz 7 取 则 8 分 1y 1 2 1 2 n 依题意 得平面的一个法向量为 9 分 abcd 2 0 0 1 n 11 分 12 12 12 22 cos 34141 nn n n n n 故平面与平面所成锐二面角的余弦值为 12 分 mdfabcd 2 3 19 命题意图 本题主要考查线性回归 相关系数等基础知识 意在考查数学建模 数学 抽象 数学运算 数据分析的数学核心素养 满分 12 分 解析 1 由折线图中的数据和附注中参考数据得 1 分 123456789 5 9 t 2 分 9 2 1 60 i i tt 4 分 999 111 iiiii iii ttyyt yty 3254 805 582 01344 75 所以 5 分 344 75 0 997 345 90 r 因为与 的相关系数近似为 0 997 说明与 的线性相关程度相当高 y t y t 从而可以用线性回归模型拟合与 的关系 6 分 y t 2 由已知及 1 得 8 分 9 1 9 2 1 ii i i i ttyy b tt 344 75 5 746 60 9 分 64 6685 74 653 5 94aybt 所以关于 的回归方程为 10 分 y t 35 945 75yt 将 2021 年对应的年份代码代入回归方程 12t 得 35 945 75 12104 94y 所以预测 2021 年全国 gdp 总量约为 104 94 万亿元 12 分 20 命题意图 本题主要考查椭圆方程 直线与椭圆的位置关系等基础知识 意在考查的 数学核心素养是直观想象 逻辑推理与数学运算 满分 12 分 解析 1 由题意得 2 分 22 2 2 41 1 3 1 2 ab cb e aa 解得 3 分 22 8 2ab 所以的方程为 4 分 c 22 1 82 xy 2 设直线 1 0 2 l yxm m 1122 a x yb xy 8 由 得 22 1 2 1 82 yxm xy 22 2240 xmxm 由 解得或 5 分 22 48160 0 mm m 20m 02m 则 6 分 2 1212 2 24xxm x xm 依题意 易知与的斜率存在 所以 papb 22 设直线与的斜率分别为 则 7 分 papb12 k k 1 tank 2 tank 欲证 只需证 即证 8 分 tantantan 12 0kk 12 12 12 11 22 yy kk xx 故 9 分 1221 12 1 12 212 121211 2222 yxyxyy xxxx kk 又 11 1 2 yxm 22 1 2 yxm 所以 1221 1212yxyx 10 分 1221 11 1212 22 xmxxmx 121212 241xxmxxmxx 2 242241mmmm 11 分0 所以 12 分 12 0 kk 21 命题意图 本题主要考查函数和导数及其应用 三角函数等基础知识 意在考查直观 想象 逻辑推理与数学运算的数学核心素养 满分 12 分 解析 1 设 1 分 1 12cosg xfxx x 当时 0 x 2 1 2sin0gxx x 所以在上单调递减 2 分 g x 0 又因为 3 分 33 1 10 3 g 2 10 2 g 所以在上有唯一的零点 g x 3 2 即函数在上存在唯一零点 4 分 fx 0 当时 在上单调递增 0 x 0fx f x 0 当时 在上单调递减 x 0fx f x 9 所以在上存在唯一的极大值点 5 分 f x 0 32 2 由 1 知 在上存在唯一的极大值点 f x 0 32 所以 ln220 2222 ff 又因为 2222 1111 22sin220 eeee f 所以在上恰有一个零点 6 分 f x 0 又因为 ln20f 所以在上也恰有一个零点 7 分 f x 当时 2x sin0 x lnf xxx 设 lnh xxx 1 10h x x 所以在上单调递减 所以 8 分 h x 2 0h xh 所以当时 恒成立 2x 0f xh xh 所以在上没有零点 9 分 f x 2 当时 2 x ln2f xxx 设 ln2xxx 1 10 x x 所以在上单调递减 x 2 所以 10 分 2ln222222420 x 所以当时 恒成立 2 x 20f xx 所以在上没有零点 11 分 f x 2