2018届高考理科数学热点题型：解析几何（带答案和解释）

精品文档2016 全新精品资料-全新公文范文 -全程指导写作 独家原创 1 / 122018 届高考理科数学热点题型：解析几何（带答案和解释）解析几何热点一圆锥曲线的标准方程与几何性质圆锥曲线的标准方程是高考的必考题型，圆锥曲线的几何性质是高考考查的重点，求离心率、准线、双曲线的渐近线是常考题型.【例 1】(1)已知双曲线 x2a2y2b21(a0，b0)的一个焦点为 F(2，0)，且双曲线的渐近线与圆(x2)2y23 相切，则双曲线的方程为()A.x29y2131B.x213y291c.x23y21D.x2y231(2)若点 m(2，1)，点 c 是椭圆 x216y271 的右焦点，点A 是椭圆的动点，则|Am|Ac|的最小值为_.(3)已知椭圆 x2a2y2b21(ab0)与抛物线y22px(p0)有相同的焦点 F，P，Q 是椭圆与抛物线的交点，若直线 PQ 经过焦点 F，则椭圆x2a2y2b21(ab0)的离心率为_.答案(1)D(2)826(3)21解析(1)双曲线 x2a2y2b21 的一个焦点为 F(2，0)，则 a2b24，双曲线的渐近线方程为 ybax，精品文档2016 全新精品资料-全新公文范文 -全程指导写作 独家原创 2 / 12由题意得 2ba2b23，联立解得 b3，a1，所求双曲线的方程为 x2y231，选 D.(2)设点 B 为椭圆的左焦点，点 m(2，1)在椭圆内，那么|Bm|Am|Ac|AB|Ac|2a，所以|Am|Ac|2a|Bm|，而 a4，|Bm|（23）2126，所以(|Am|Ac|)最小826.(3)因为抛物线 y22px(p0)的焦点 F 为 p2，0，设椭圆另一焦点为 E.如图所示，将 xp2 代入抛物线方程得yp，又因为 PQ 经过焦点 F，所以 Pp2，p 且 PFoF.所以|PE|p2p22p22p，|PF|p，|EF|p.故 2a2pp，2cp，e2c2a21.【类题通法】(1)在椭圆和双曲线中，椭圆和双曲线的定义把曲线上的点到两个焦点的距离联系在一起，可以把曲线上的点到一个焦点的距离转化为到另一个焦点的距离，也可以结合三角形的知识，求出曲线上的点到两个焦点的距离.在抛物线中，利用定义把曲线上的点到焦点的距离转化为其到相应准线的距离，再利用数形结合的思想去解决有关的最值问题.精品文档2016 全新精品资料-全新公文范文 -全程指导写作 独家原创 3 / 12(2)求解与圆锥曲线的几何性质有关的问题关键是建立圆锥曲线方程中各个系数之间的关系，或者求出圆锥曲线方程中的各个系数，再根据圆锥曲线的几何性质通过代数方法进行计算得出结果.【对点训练】已知椭圆 x24y221 的左、右焦点分别为F1，F2，过 F1 且倾斜角为 45的直线 l 交椭圆于 A，B 两点，以下结论：ABF2 的周长为 8；原点到 l 的距离为 1；|AB|83.其中正确结论的个数为()A.3B.2c.1D.0答案A解析由椭圆的定义，得|AF1|AF2|4，|BF1|BF2|4，又|AF1|BF1|AB|，所以ABF2 的周长为|AB|AF2|BF2|8，故正确；由条件，得F1(2，0)，因为过 F1 且倾斜角为 45的直线 l 的斜率为1，所以直线 l 的方程为 yx2，则原点到 l 的距离d|2|21，故正确；设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由yx2，x24y221，得 3x242x0，解得x10，x2423，所以|AB|11|x1x2|83，故正确.故选 A.热点二圆锥曲线中的定点、定值问题定点、定值问题一般涉及曲线过定点、与曲线上的动点有精品文档2016 全新精品资料-全新公文范文 -全程指导写作 独家原创 4 / 12关的定值问题以及与圆锥曲线有关的弦长、面积、横(纵)坐标等的定值问题.【例 2】已知椭圆 c：x2a2y2b21(ab0)的离心率为22，点(2，2)在 c 上.(1)求 c 的方程；(2)直线 l 不过原点 o 且不平行于坐标轴，l 与 c 有两个交点 A，B，线段 AB 的中点为 m，证明：直线 om 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值.(1)解由题意有 a2b2a22，4a22b21，解得 a28，b24.所以 c 的方程为 x28y241.(2)证明设直线 l：ykxb(k0，b0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，m(xm，ym).将 ykxb 代入 x28y241 得(2k21)x24kbx2b280.故xmx1x222kb2k21，ymkxmbb2k21.于是直线 om 的斜率 komymxm12k，即 komk12.所以直线 om 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值.【类题通法】解答圆锥曲线中的定点、定值问题的一般步精品文档2016 全新精品资料-全新公文范文 -全程指导写作 独家原创 5 / 12骤第一步：研究特殊情形，从问题的特殊情形出发，得到目标关系所要探求的定点、定值.第二步：探究一般情况.探究一般情形下的目标结论.第三步：下结论，综合上面两种情况定结论.【对点训练】已知抛物线 c：y22px(p0)的焦点F(1，0)，o 为坐标原点，A，B 是抛物线 c 上异于 o 的两点.(1)求抛物线 c 的方程；(2)若直线 oA，oB 的斜率之积为12，求证：直线 AB 过 x轴上一定点.(1)解因为抛物线 y22px(p0)的焦点坐标为(1，0)，所以 p21，所以 p2.所以抛物线 c 的方程为 y24x.(2)证明当直线 AB 的斜率不存在时，设At24，t，Bt24，t.因为直线 oA，oB 的斜率之积为12，所以 tt24tt2412，化简得 t232.所以 A(8，t)，B(8，t)，此时直线 AB 的方程为 x8.当直线 AB 的斜率存在时，设其方程为ykxb，A(xA，yA)，B(xB，yB)，联立得y24x，ykxb，化简得 ky24y4b0.根据根与系数的关系得 yAyB4bk，因为直线 oA，oB 的斜率之积为12，所以 yAxAyBxB12，即精品文档2016 全新精品资料-全新公文范文 -全程指导写作 独家原创 6 / 12xAxB2yAyB0.即 y2A4y2B42yAyB0，解得yAyB0(舍去)或 yAyB32.所以 yAyB4bk32，即 b8k，所以 ykx8k，即 yk(x8).综上所述，直线 AB 过定点(8，0).热点三圆锥曲线中的最值、范围问题圆锥曲线中的最值问题大致可分为两类：一是涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；二是求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时求解与之有关的一些问题.【例 3】平面直角坐标系 xoy 中，椭圆c：x2a2y2b21(a0)的离心率是 32，抛物线E：x22y 的焦点 F 是 c 的一个顶点.(1)求椭圆 c 的方程；(2)设 P 是 E 上的动点，且位于第一象限，E 在点 P 处的切线 l 与 c 交于不同的两点 A，B，线段 AB 的中点为 D.直线oD 与过 P 且垂直于 x 轴的直线交于点 m.求证：点 m 在定直线上；直线 l 与 y 轴交于点 G，记PFG 的面积为 S1，PDm 的面积为 S2，求 S1S2 的最大值及取得最大值时点 P 的坐标.(1)解由题意知 a2b2a32，可得 a24b2，精品文档2016 全新精品资料-全新公文范文 -全程指导写作 独家原创 7 / 12因为抛物线 E 的焦点 F0，12，所以 b12，a1，所以椭圆 c 的方程为 x24y21.(2)证明设 Pm，m22(m0)，由 x22y，可得yx，所以直线 l 的斜率为 m，因此直线 l 的方程为ym22m(xm).即 ymxm22.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0).联立方程 x24y21，ymxm22，得(4m21)x24m3xm410.由 25).(*)且 x1x24m34m21，因此 x02m34m21，将其代入ymxm22，得 y0m22（4m21） ，因为 y0x014m.所以直线 oD 方程为 y14mx，联立方程 y14mx，xm，得点 m 的纵坐标 ym14，所以点 m 在定直线 y14 上.由知直线 l 的方程为 ymxm22，令 x0，得 ym22，所以 G0，m22，又 Pm，m22，F0，12，D2m34m21，m22（4m21） ，所以 S112m（m21）m4，S212|mx0|122m2142m3m4m21m（2m21）28（4m21）.所以S1S22（4m21） （m21） （2m21）2.精品文档2016 全新精品资料-全新公文范文 -全程指导写作 独家原创 8 / 12设 t2m21，则 S1S2（2t1） （t1）t22t2t1t21t21t2，当 1t12，即 t2 时，S1S2 取到最大值 94，此时 m22，满足(*)式，所以 P 点坐标为 22，14.因此 S1S2 的最大值为 94，此时点 P 的坐标为 22，14.【类题通法】圆锥曲线中的最值、范围问题解决方法一般分两种：一是代数法，从代数的角度考虑，通过建立函数、不等式等模型，利用二次函数法和基本不等式法、换元法、导数法、或利用判别式构造不等关系、利用隐含或已知的不等关系建立不等式等方法求最值、范围；二是几何法，从圆锥曲线的几何性质的角度考虑，根据圆锥曲线几何意义求最值.【对点训练】如图，设抛物线 y22px(p0)的焦点为 F，抛物线上的点 A 到 y 轴的距离等于|AF|1.(1)求 p 的值；(2)若直线 AF 交抛物线于另一点 B，过 B 与 x 轴平行的直线和过 F 与 AB 垂直的直线交于点 N，AN 与 x 轴交于点 m，求m 的横坐标的取值范围.解(1)由题意可得，抛物线上点 A 到焦点 F 的距离等于点A 到直线 x1 的距离，由抛物线的定义得 p21，即 p2.精品文档2016 全新精品资料-全新公文范文 -全程指导写作 独家原创 9 / 12(2)由(1)得，抛物线方程为 y24x，F(1，0)，可设 A(t2，2t)，t0，t1.因为 AF 不垂直于 y 轴，可设直线 AF：xsy1(s0)，由y24x，xsy1 消去 x 得 y24sy40.故 y1y24，所以 B1t2，2t.又直线 AB 的斜率为 2tt21，故直线 FN 的斜率为t212t，从而得直线 FN：yt212t(x1)，直线 BN：y2t.所以 Nt23t21，2t.设 m(m，0)，由 A，m，N 三点共线得2tt2m2t2tt2t23t21，于是 m2t2t21，所以 m0 或 m2.经检验，m0 或 m2 满足题意.综上，点 m 的横坐标的取值范围是(，0)(2，).热点四圆锥曲线中的探索性问题圆锥曲线的探索性问题主要体现在以下几个方面：(1)探索点是否存在；(2)探索曲线是否存在；(3)探索命题是否成立.涉及这类命题的求解主要是研究直线与圆锥曲线的位置关系问题.【例 4】已知椭圆 c：9x2y2m2(m0)，直线 l 不过原点 o 且不平行于坐标轴，l 与 c 有两个交点 A，B，线段 AB的中点为 m.精品文档2016 全新精品资料-全新公文范文 -全程指导写作 独家原创 10 / 12(1)证明：直线 om 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值；(2)若 l 过点 m3，m，延长线段 om 与 c 交于点 P，四边形oAPB 能否为平行四边形？若能，求此时 l 的斜率；若不能，说明理由.(1)证明设直线 l：ykxb(k0，b0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，m(xm，ym).将 ykxb 代入 9x2y2m2 得(k29)x22kbxb2m20，故xmx1x22kbk29，ymkxmb9bk29.于是直线 om 的斜率 komymxm9k，即komk9.所以直线 om 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值.(2)解四边形 oAPB 能为平行四边形.因为直线 l 过点 m3，m，所以 l 不过原点且与 c 有两个交点的充要条件是 k0，k3.由(1)得 om 的方程为 y9kx.设点 P 的横坐标为 xP，由 y9kx，9x2y2m2 得 x2Pk2m29k281，即xPkm3k29.将点 m3，m 的坐标代入 l 的方程得 bm（3k）3，因此xmk（k3）m3（k29）.四边形 oAPB 为平行四边形当且仅当线段 AB 与线段 oP 互相精品文档2016 全新精品资料-全新公文范文 -全程指导写作 独家原创 11 / 12平分，即 xP2xm.于是km3k292k（k3）m3（k29） ，解得 k147，k247.因为 ki0，ki3，i1，2，所以当 l 的斜率为 47 或47 时，四边形 oAPB 为平行四边形.【类题通法】(1)探索性问题通常采用“肯定顺推法” ，将不确定性问题明朗化.其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在.(2)