2017年陕西省咸阳市高考数学二模试卷(理科)(解析版)

第 1 页 共 26 页 2017 年陕西省咸阳市高考数学二模试卷 理科 年陕西省咸阳市高考数学二模试卷 理科 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 12 个小题 每小题个小题 每小题 5 分 共分 共 60 分分 在每小题给出的四个在每小题给出的四个 选项中 只有一项是符合题目要求的选项中 只有一项是符合题目要求的 1 已知全集为 R 集合 M 1 1 2 4 N x x2 2x 3 则 M RN A 1 1 2 B 1 2 C 4 D x 1 x 2 2 复数 i 为虚数单位 的虚部是 A 1B 1C iD i 3 已知命题 p m 1 命题 q 直线 x y 0 与直线 x m2y 0 互相垂直 则命 题 p 是命题 q 的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件 C 充要条件D 既不充分也不必要 4 张丘建算经 卷上一题为 今有女善织 日益功疾 且从第二天起 每天比 前一天多织相同量的布 现在一月 按 30 天计 共织布 390 尺 最后一天织布 21 尺 则该女第一天共织多少布 A 3B 4C 5D 6 5 双曲线 mx2 ny2 1 mn 0 的一条渐近线方程为 则它的离心率为 A 2B C 或D 2 或 6 一个几何体的三视图如图所示 则这个几何体的表面积是 第 2 页 共 26 页 A 3 B 4 C 5 D 7 在等比数列 an 中 已知 a3 a7是方程 x2 6x 1 0 的两根 则 a5 A 1B 1C 1 D 3 8 设 则展开式的常数项为 A 20 B 20C 160 D 240 9 设 x 0 3 执行如图所示的程序框图 从输出的结果中随机取一个数 a 则 a 5 的概率为 A B C D 10 已知实数 x y 满足 则的取值范围是 A B 3 11 C D 1 11 11 已知圆 O 的半径为 1 A B C D 为该圆上四个点 且 则 ABC 的面积最大值为 A 2B 1C D 12 已知定义在 R 上的函数 f x 的导函数为 f x 对任意 x R 满足 f x f x 0 则下列结论正确的是 A 2f ln2 3f ln3 B 2f ln2 3f ln3 C 2f ln2 3f ln3 D 2f ln2 3f ln3 第 3 页 共 26 页 二 填空题 每题二 填空题 每题 5 分 满分分 满分 20 分 将答案填在答题纸上 分 将答案填在答题纸上 13 已知函数 则 f f 3 14 观察下列式子 根据以上规律 第 n 个不等式是 15 函数的图象可由函数的图象至少向左平移 个单位长度得到 16 已知一个三棱锥的所有棱长均为 则该三棱锥的内切球的体积为 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 5 小题 共小题 共 70 分分 解答应写出文字说明 证明过程或演解答应写出文字说明 证明过程或演 算步骤算步骤 17 设函数 1 求函数 f x 的单调区间 2 在锐角 ABC 中 角 A B C 所对的边分别为 a b c 若 c 2 求 ABC 面积的最大值 18 某中学数学老师分别用两种不同教学方式对入学数学平均分和优秀率都相 同的甲 乙两个高一新班 人数均为 20 人 进行教学 两班的学生学习数学勤 奋程度和自觉性一致 数学期终考试成绩茎叶图如下 1 学校规定 成绩不低于 75 分的优秀 请填写下面的 2 2 联表 并判断有 多大把握认为 成绩优秀与教学方式有关 甲班乙班合计 第 4 页 共 26 页 优秀 不优秀 合计 附 参考公式及数据 P x2 k 0 150 100 050 0250 0100 0050 001 k2 0722 7063 8415 0246 6357 87910 828 K2 2 从两个班数学成绩不低于 90 分的同学中随机抽取 3 名 设 为抽取成绩 不低于 95 分同学人数 求 的分布列和期望 19 如图 正三棱柱 ABC A1B1C1的所有棱长均为 2 D 为棱 BB1上一点 E 是 AB 的中点 1 若 D 是 BB1的中点 证明 平面 ADC1 平面 A1EC 2 若平面 ADC1与平面 ABC 的夹角为 45 求 BD 的长 20 已知动点 M 到定点 F 1 0 和定直线 x 4 的距离之比为 设动点 M 的 轨迹为曲线 C 1 求曲线 C 的方程 2 过点 F 作斜率不为 0 的任意一条直线与曲线 C 交于两点 A B 试问在 x 轴上是否存在一点 P 与点 F 不重合 使得 APF BPF 若存在 求出 P 点 坐标 若不存在 说明理由 21 已知三次函数 f x 的导函数 f x 3x2 3 且 f 0 1 第 5 页 共 26 页 1 求 f x 的极值 2 求证 对任意 x1 x2 0 都有 f x1 g x2 请考生在请考生在 22 23 两题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题记分两题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题记分 选选 修修 4 4 坐标系与参数方程 坐标系与参数方程 22 在平面直角坐标系 xOy 中 以坐标原点 O 为极点 x 轴正半轴为极轴建立 极坐标系 已知曲线 C 的极坐标方程为 直线 l 的参数方程是 t 为参数 0 1 求曲线 C 的直角坐标方程 2 设直线 l 与曲线 C 交于两点 A B 且线段 AB 的中点为 M 2 2 求 选修选修 4 5 不等式选讲 不等式选讲 23 已知函数 f x m x 4 m 0 且 f x 2 0 的解集为 3 1 1 求 m 的值 2 若 a b c 都是正实数 且 求证 a 2b 3c 9 第 6 页 共 26 页 2017 年陕西省咸阳市高考数学二模试卷 理科 年陕西省咸阳市高考数学二模试卷 理科 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 12 个小题 每小题个小题 每小题 5 分 共分 共 60 分分 在每小题给出的四个在每小题给出的四个 选项中 只有一项是符合题目要求的选项中 只有一项是符合题目要求的 1 已知全集为 R 集合 M 1 1 2 4 N x x2 2x 3 则 M RN A 1 1 2 B 1 2 C 4 D x 1 x 2 考点 交 并 补集的混合运算 分析 求出 N 中不等式的解集确定出 N 根据全集 R 求出 N 的补集 找出 M 与 N 补集的交集即可 解答 解 由 N 中不等式变形得 x 3 x 1 0 解得 x 1 或 x 3 即 N 1 3 全集为 R RN 1 3 M 1 1 2 4 M RN 1 1 2 故选 A 2 复数 i 为虚数单位 的虚部是 A 1B 1C iD i 考点 复数代数形式的乘除运算 分析 由复数代数形式的乘除运算化简复数 z 得答案 解答 解 第 7 页 共 26 页 则复数 i 为虚数单位 的虚部是 1 故选 B 3 已知命题 p m 1 命题 q 直线 x y 0 与直线 x m2y 0 互相垂直 则命 题 p 是命题 q 的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件 C 充要条件D 既不充分也不必要 考点 必要条件 充分条件与充要条件的判断 分析 利用直线相互垂直与斜率之间的关系解出 m 进而判断出结论 解答 解 命题 q 由直线 x y 0 与直线 x m2y 0 互相垂直 则 1 解得 m 1 命题 p 是命题 q 的充分不必要条件 故选 A 4 张丘建算经 卷上一题为 今有女善织 日益功疾 且从第二天起 每天比 前一天多织相同量的布 现在一月 按 30 天计 共织布 390 尺 最后一天织布 21 尺 则该女第一天共织多少布 A 3B 4C 5D 6 考点 等差数列的前 n 项和 分析 设数列 an 则数列 an 是等差数列 且 S30 390 a30 21 由此能求 出结果 解答 解 设数列 an 则数列 an 是等差数列 且 S30 390 a30 21 即 390 15 a1 21 解得 a1 5 第 8 页 共 26 页 故选 C 5 双曲线 mx2 ny2 1 mn 0 的一条渐近线方程为 则它的离心率为 A 2B C 或D 2 或 考点 双曲线的简单性质 分析 根据双曲线的渐近线方程得到 a b 的关系 再根据离心率公式计算即 可 解答 解 双曲线 mx2 ny2 1 mn 0 的一条渐近线方程为 y x 或 双曲线的离心率为 e 2 或 故选 D 6 一个几何体的三视图如图所示 则这个几何体的表面积是 A 3 B 4 C 5 D 考点 由三视图求面积 体积 分析 根据三视图知 该几何体为半径为 1 的球体 挖去 球体 结合图中数据求出它的表面积 解答 解 根据三视图知 该几何体为半径为 1 的球体 挖去 球体 该几何体的表面积为 第 9 页 共 26 页 S 4 R2 2 R2 4 R2 4 故选 B 7 在等比数列 an 中 已知 a3 a7是方程 x2 6x 1 0 的两根 则 a5 A 1B 1C 1 D 3 考点 等比数列的通项公式 分析 利用一元二次方程的根与系数的关系 等比数列的性质即可得出 解答 解 a3 a7是方程 x2 6x 1 0 的两根 a3 a7 1 a3 a7 6 a3 0 a7 6 a5 0 则 a5 1 故选 A 8 设 则展开式的常数项为 A 20 B 20C 160 D 240 考点 二项式系数的性质 定积分 分析 利用定积分求出 a 的值 再利用二项式展开式的通项公式求出展开式 的常数项 解答 解 cosx cos cos0 2 则 展开式的通项公式为 Tr 1 26 r 令 3 r 0 得 r 2 第 10 页 共 26 页 展开式中的常数项为 24 240 故选 D 9 设 x 0 3 执行如图所示的程序框图 从输出的结果中随机取一个数 a 则 a 5 的概率为 A B C D 考点 程序框图 分析 先分析程序的功能为计算并输出分段函数 y 的值 进而 求出函数的值域 再由几何概型概率计算公式 得到答案 解答 解 由已知可得该程序的功能是计算并输出分段函数 y 的值 当 x 0 2 时 y 3 5 当 x 2 3 时 y 5 10 故输出的结果的范围为 3 10 若从输出的结果中随机取一个数 a a 5 a 3 5 则 P 故选 C 第 11 页 共 26 页 10 已知实数 x y 满足 则的取值范围是 A B 3 11 C D 1 11 考点 简单线性规划 分析 画可行域 明确目标函数几何意义 目标函数 1 2 表 示动点 P x y 与定点 M 1 1 连线斜率 k 的 2 倍 过 M 做直线与可行域 相交可计算出直线 PM 斜率 从而得出所求目标函数范围 解答 解 目标函数目标函目标函数 1 2 表示动点 P x y 与定点 M 1 1 连线斜率 k 的两倍加 1 由图可知 当点 P 在 A 0 4 点处时 k 最大 最大值为 11 当点 P 在 B 3 0 点处时 k 最小 最小值为 从而则 1 2 1 2 的取值范围是 11 故选 C 第 12 页 共 26 页 11 已知圆 O 的半径为 1 A B C D 为该圆上四个点 且 则 ABC 的面积最大值为 A 2B 1C D 考点 平面向量数量积的运算 分析 利用向量关系 判断四边形的形状 然后求解三角形的面积的最大值 即可 解答 解 如图所示 由 知 ABDC 为平行四边形 又 A B C D 四点共圆 ABDC 为矩形 即 BC 为圆的直径 当 AB AC 时 ABC 的面积取得最大值为 1 故选 B 12 已知定义在 R 上的函数 f x 的导函数为 f x 对任意 x R 满足 f x f x 0 则下列结论正确的是 A 2f ln2 3f ln3 B 2f ln2 3f ln3 C 2f ln2 3f ln3 D 2f ln2 3f ln3 考点 导数的运算 分析 由题意设 g x exf x 求出 g x 后由条件判断出符号 由导数 与函数单调性的关系判断出 g x 的单调性 由单调性和指数的运算即可得到 答案 解答 解 由题意设 g x exf x 则 g x exf x exf x ex f x f x 对任意 x R 满足 f x f x 0 ex 0 对任意 x R 满足 g x 0 则函数 g x 在 R 上是减函数 第 13 页 共 26 页 ln2 ln3 g ln2 g ln3 即 2f ln2 3f ln3 故选 A 二 填空题 每题二 填空题 每题 5 分 满分分 满分 20 分 将答案填在答题纸上 分 将答案填在答题纸上 13 已知函数 则 f f 3 1 考点 函数的值 分析 由已知得 f 3 log22 1 从而 f f 3 f 1 由此能求出结果 解答 解 函数 f 3 log22 1 f f 3 f 1 1 2 1 故答案为 1 14 观察下列式子 根据以上规律 第 n 个不等式是 考点 归纳推理 分析 根据所给不等式 即可得出结论 解答 解 根据所给不等式可得 故答案为 15 函数的图象可由函数的图象至少向左平移 第 14 页 共 26 页 个单位长度得到 考点 函数 y Asin x 的图象变换 分析 利用两角和差的三角公式 函数 y Asin x 的图象变换规律 得 出结论 解答 解 把函数 2 sinx cosx 2sin x 的图象 至少向左平移个单位 可得 y 2sin x 2sin x sinx cosx 的图象 故答案为 16 已知一个三棱锥的所有棱长均为 则该三棱锥的内切球的体积为 考点 球的体积和表面积 分析 作出正四面体的图形 确定球的球心位置为 O 说明 OE 是内切球的半 径 运用勾股定理计算 即可得到球的体积 解答 解 如图 O 为正四面体 ABCD 的内切球的球心 正四面体的棱长为 所以 OE 为内切球的半径 设 OA OB R 在等边三角形 BCD 中 BE AE 由 OB2 OE2 BE2 即有 R2 R 2 解得 R OE AE R 则其内切球的半径是 内切球的体积为 3 第 15 页 共 26 页 故答案为 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 5 小题 共小题 共 70 分分 解答应写出文字说明 证明过程或演解答应写出文字说明 证明过程或演 算步骤算步骤 17 设函数 1 求函数 f x 的单调区间 2 在锐角 ABC 中 角 A B C 所对的边分别为 a b c 若 c 2 求 ABC 面积的最大值 考点 三角函数中的恒等变换应用 正弦函数的图象 余弦定理 分析 1 利用三角函数的有关公式将函数化为 y Asin x 的形式 将 内层函数看作整体 放到正弦函数的增减区间上 解不等式得函数的单调增减 区间 2 根据 求解 C 角大小 利用余弦定理建立关系 根据基本不等式 求解 ABC 面积的最大值 解答 解 1 函数 化简可得 令 则 即 f x 的递增区间为 令 第 16 页 共 26 页 则 可得 f x 的递减区间为 2 由得 ABC 是锐角三角形 由余弦定理得 c2 a2 b2 2abcosC 将 c 2 代入得 由基本不等式得 即 即 ABC 面积的最大值为 18 某中学数学老师分别用两种不同教学方式对入学数学平均分和优秀率都相 同的甲 乙两个高一新班 人数均为 20 人 进行教学 两班的学生学习数学勤 奋程度和自觉性一致 数学期终考试成绩茎叶图如下 1 学校规定 成绩不低于 75 分的优秀 请填写下面的 2 2 联表 并判断有 多大把握认为 成绩优秀与教学方式有关 甲班乙班合计 优秀 14 8 22 不优秀 6 12 18 合计 20 20 40 附 参考公式及数据 P x2 k 0 150 100 050 0250 0100 0050 001 第 17 页 共 26 页 k2 0722 7063 8415 0246 6357 87910 828 K2 2 从两个班数学成绩不低于 90 分的同学中随机抽取 3 名 设 为抽取成绩 不低于 95 分同学人数 求 的分布列和期望 考点 独立性检验的应用 茎叶图 分析 1 由茎叶图可得表格 计算可得 K2的近似值 结合参考数值可得结 论 2 由题意可得 的可能值 分别可求其概率 可得分布列 进而可得数学期 望 解答 解 1 如图所示 甲班乙班合计 优秀 14 822 不优秀61218 合计202040 由 K2 3 63 2 706 知 可以判断 有 90 把握认为 成绩 优秀与教学方式有关 2 两个班数学成绩不低于 90 分的同学中 成绩不低于 95 分同学人数有 3 名 从中随机抽取 3 名 0 1 2 3 的分布列为 X0123 P 第 18 页 共 26 页 19 如图 正三棱柱 ABC A1B1C1的所有棱长均为 2 D 为棱 BB1上一点 E 是 AB 的中点 1 若 D 是 BB1的中点 证明 平面 ADC1 平面 A1EC 2 若平面 ADC1与平面 ABC 的夹角为 45 求 BD 的长 考点 与二面角有关的立体几何综合题 平面与平面垂直的判定 分析 1 推导出 CE AB 从而 CE 平面 ABB1A1 进而 AD CE 再求出 AD A1E 从而 AD 平面 A1EC 由此能证明平面 ADC1 平面 A1EC 2 以 E 为原点 EB 为 x 轴 EC 为 y 轴 过 E 作垂直于平面 ABC 的垂线为 z 轴 建立空间直角坐标系 利用向量法能求出 BD 的长 解答 本小题满分 12 分 证明 1 由 AC BC AE BE 知 CE AB 又平面 ABC 平面 ABB1A1 所以 CE 平面 ABB1A1 而 AD 平面 ABB1A1 AD CE 在正方形 ABB1A1中 由 D E 分别是 BB1和 AB 的中点 知 AD A1E 而 A1E CE E AD 平面 A1EC AD 平面 ADC1 平面 ADC1 平面 A1EC 解 2 以 E 为原点 EB 为 x 轴 EC 为 y 轴 过 E 作垂直于平面 ABC 的垂线为 z 轴 建立空间直角坐标系 设 BD t 则 A 1 0 0 D 1 0 t 第 19 页 共 26 页 C1 0 2 2 0 t 1 设平面 ADC1的法向量 x y z 则 取 x 1 得 1 平面 ABC 的法向量 0 0 1 平面 ADC1与平面 ABC 的夹角为 45 cos45 解得 t 1 BD t 1 20 已知动点 M 到定点 F 1 0 和定直线 x 4 的距离之比为 设动点 M 的 轨迹为曲线 C 1 求曲线 C 的方程 2 过点 F 作斜率不为 0 的任意一条直线与曲线 C 交于两点 A B 试问在 x 轴上是否存在一点 P 与点 F 不重合 使得 APF BPF 若存在 求出 P 点 坐标 若不存在 说明理由 第 20 页 共 26 页 考点 直线与椭圆的位置关系 分析 1 设点 M x y 利用条件可得等式 x 4 化简 可得曲线 C 的轨迹方程 2 通过设存在点 P x0 0 满足题设条件 分 AB 与 x 轴不垂直与不垂直两 种情况讨论 利用韦达定理化简 计算即得结论 解答 解 1 设点 M x y 则据题意有 x 4 则 4 x 1 2 y2 x 4 2 即 3x2 4y2 12 曲线 C 的方程 2 假设存在点 P x0 0 满足题设条件 当 AB 与 x 轴不垂直时 设 AB 的方程为 y k x 1 当 AB 与 x 轴不垂直时 设 AB 所在直线的方程为 y k x 1 代入椭圆方程化简得 4k2 3 x2 8k2x 4k2 12 0 可知 0 设 A x1 y1 B x2 y2 则 x1 x2 x1x2 若 APF BPF 则 kAP kBP 0 则 kAP kBP x1 1 x2 x0 x2 1 x1 x0 2x1x2 1 x0 x1 x2 2x0 0 整理得 k x0 4 0 因为 k R 所以 x0 4 当 AB x 轴时 由椭圆的对称性可知恒有 APF BPF 满足题意 综上 在 x 轴上存在点 P 4 0 使得 APF BPF 21 已知三次函数 f x 的导函数 f x 3x2 3 且 f 0 1 第 21 页 共 26 页 1 求 f x 的极值 2 求证 对任意 x1 x2 0 都有 f x1 g x2 考点 利用导数研究函数的极值 利用导数研究函数的单调性 分析 1 求出函数的导数 解关于导函数的不等式 求出函数的单调区间 从而求出函数的极值即可 2 法一 问题转化为 x x2lnx 1 x 0 即 x2lnx 1 x 0 x 0 令 h x x2lnx 1 x x 0 根据函数的单调性证明即可 法二 由 a 1 知 令 求出 h x 的最小值 从而证明结论即可 法三 同法二 求 h x 的最小值时可以二次求导 解答 解 1 依题意得 f x x3 3x 1 f x 3x2 3 3 x 1 x 1 知 f x 在 1 和 1 上是减函数 在 1 1 上是增函数 f x 极小值 f 1 3 f x 极大值 f 1 1 2 法 1 易得 x 0 时 f x 最大值 1 依题意知 只要 由 a 1 知 只要 x x2lnx 1 x 0 x2lnx 1 x 0 x 0 令 h x x2lnx 1 x x 0 则 h x 2xlnx x 1 注意到 h 1 0 当 x 1 时 h x 0 当 0 x 1 时 h x 0 即 h x 在 0 1 上是减函数 在 1 是增函数 h x 最小值 h 1 0 即 h x 0 综上知对任意 x1 x2 0 都有 f x1 g x2 法 2 易得 x 0 时 f x 最大值 1 由 a 1 知 令 则 第 22 页 共 26 页 注意到 h 1 0 当 x 1 时 h x 0 当 0 x 1 时 h x 0 即 h x 在 0 1 上是减函数 在 1 是增函数 h x 最小值 h 1 1 所以 h x 最小值 1 即 g x 最小值 1 综上知对任意 x1 x2 0 都有 f x1 g x2 法 3 易得 x 0 时 f x 最大值 1 由 a 1 知 令 则 令 则 知 x 在 0 递增 注意到 1 0 所以 h x 在 0 1 上是减函数 在 1 是增函数 有 h x 最小值 1 即 g x 最小值 1 综上知对任意 x1 x2 0 都有 f x1 g x2 请考生在请考生在 22 23 两题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题记分两题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题记分 选选 修修 4 4 坐标系与参数方程 坐标系与参数方程 22 在平面直