【优化指导】2013高考数学总复习 3-3-1 几何概型 新人教A版

1 优化指导优化指导 2013 2013 高考数学总复习高考数学总复习 3 3 13 3 1 几何概型几何概型 新人教新人教 A A 版版 1 在区间 1 3 内的所有实数中 随机取一个实数 x 则这个实数是不等式 2x 5 0 的解的概率为 A B 3 4 1 2 C D 1 3 2 3 解析 不等式 2x 5 0 的解为 x 则 x 5 2 1 5 2 故所求的概率为 P 选 A 5 2 1 3 1 3 4 答案 A 2 如图 在半径为R的圆内随机撒一粒黄豆 它落在圆的内接 正三角形 阴影部分 内的概率是 A B 3 4 3 3 4 C D 3 4 3 3 4 解析 S圆 R2 S 2Rsin 60 2 R2 3 4 3 3 4 P 3 3 4 R2 R2 3 3 4 答案 D 3 在半径为 2 的球O 内任取一点 P 则 OP 1 的概率为 A B 1 8 1 6 C D 1 4 1 2 2 解析 问题相当于在以 O 为球心 以 1 为半径的球内任取一点 P 4 3 13 4 3 23 1 8 选 A 答案 A 4 在圆心角AOB为 90 的扇形中 以圆心O为起点作射线OC 使得 AOC和 BOC都 不小于 30 的概率为 解析 角的范围在 0 到 90 之间 作射线OC使得 AOC的范围在 30 到60 之间才 能满足条件 答案 1 3 5 在如图所示的正方形中随机撒一粒黄豆 则该黄豆落在阴影部分的概率 是 解析 因为黄豆落在正方形内的任一点都是等可能的 所以符合几何概型 的条件 设正方形的边长为 1 则豆子落在阴影部分的概率为 P 1 S正方形 S圆 S正方形 12 1 2 2 12 4 答案 1 4 6 设A为圆周上一定点 在圆周上等可能的任取一点与A连接 求弦长超过半径的 倍的概率 2 解 如图所示 在 O上有一定点A 任取一点B与A连接 则弦长超过半径的倍 2 即为 AOB的度数大于 90 而小于 270 记 弦长超过半径的倍 为事件C 则C表示的范围是 AOB 90 270 2 则由几何概型的概率公式 得 3 P C 270 90 360 1 2 时间 60 分钟 满分 60 分 难易度及题号 知识点及角度 基础中档 稍 难 几何概型的概念 1 几何概型的有关计算 2 4 5 6 8910 几何概型的应用 3 7 1 下列概率模型中 几何概型的个数为 从区间 10 10 内任取出一个数 求取到 1 的概率 从区间 10 10 内任取出一个数 求取到绝对值不大于 1 的数的概率 从区间 10 10 内任取出一个整数 求取到大于 1 而小于 2 的数的概率 向一个边长为 4 cm 的正方形ABCD内投一点P 求点P离中心不超过 1 cm 的概率 A 1 B 2 C 3 D 4 解析 不是几何概型 虽然区间 10 10 有无限多个点 但取到 1 只是一个数字 不能构成区域长度 是几何概型 因为区间 10 10 和 1 1 上有无限多个数可取 满足无限性 且在 这两个区间内每个数被取到的机会是相等的 满足等可能性 不是几何概型 因为区间 10 10 上的整数只有 21 个 是有限的 不满足无限性特 征 是几何概型 因为在边长为 4 cm 的正方形和半径为 1 cm 的圆内均有无数多个点 且 这两个区域内的任何一个点都有相等可能被投到 故满足无限性和等可能性 答案 B 2 小王睡午觉醒来 发现表停了 他打开收音机想听电台整点报时 则他等待的时间小 于 10 分钟的概率是 4 A B 1 6 1 12 C D 1 60 1 72 解析 P A 10 60 1 6 答案 A 3 如图 边长为 2 的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域 在正方 形中随机撒一粒豆子 它落在阴影区域内的概率为 则阴影区域的面积为 1 3 A B 4 3 8 3 C D 无法计算 2 3 解析 S阴 S阴 S正方形 S阴 4 1 3 4 3 答案 A 4 如图所示 在一个边长为a b a b 0 的矩形内画一个梯形 梯形上 下底分别为a与a 高为b 向该矩形内随机投一点 则所 1 3 1 2 投的点落在梯形内部的概率是 解析 P S梯 S矩 1 2 1 3a 1 2a b ab 5 12 答案 5 12 5 正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为a 在正方体内随机取点M M落在三棱柱 ABC A1B1C1内的概率为 解析 V正方体 a3 V三棱柱 a3 P 1 2 1 2 答案 1 2 5 6 函数f x x2 x 2 5 x 5 那么任取x 使得f x 0 的概率为 解析 f x x2 x 2 在区间 5 5 上函数的图像与x轴的交点坐标为 1 0 2 0 即x 1 2 时 f x 0 P 0 3 2 1 5 5 答案 0 3 7 广告法 对插播广告的时间有一定的规定 某人对某台的电视节目做了长期的统计 后得出结论 他任意时间打开电视机看该台节目 看不到广告的概率为 那么该台每小时 9 10 约有 分钟的广告 解析 60 6 分钟 1 9 10 答案 6 8 判断下列概率模型是古典概型还是几何概型 1 先后抛掷两枚质地均匀的骰子 求出现两个 4 点 的概率 2 如图所示 图中有一个转盘 甲 乙玩转盘游戏 规定当指针指向B区域时 甲获胜 否则乙获胜 求甲获胜的概率 解 1 先后抛掷两枚质地均匀的骰子 出现的可能结果有 6 6 36 种 且它们都是 等可能的 因此属于古典概型 2 游戏中指针指向B区域时有无限多个结果 而且不难发现 指针落在阴影部分 的 概率可以用阴影部分的面积与总面积的比来衡量 即与区域长度有关 因此属于几何概型 9 两艘轮船都要停靠同一个泊位 它们可能在一昼夜的任意时刻到达 设甲 乙两艘轮 船停靠泊位的时间分别是 2 小时与 4 小时 求有一艘轮船停靠泊位时必须等待一段时间的概 率 解 如图所示 以x和y分别表示甲 乙两船到达泊位的时间 6 则有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的等价条件是 2 x y 4 在平面直角坐标系内 x y 的所有可能结果是边长为 24 的正方形 而事件A 有一艘船停靠泊位时必须等待一段 时间 的所有可能结果由图中的阴影部分来表示 A 242 222 202 134 242 576 所以P A 故有一艘轮 1 2 1 2 A 134 576 67 288 船停靠泊位时必须等待一段时间的概率为 67 288 10 向面积为 6 的 ABC内任投一点P 求 PBC的面积小于 2 的概率 解 如图所示 由于向 ABC内任投一点 点P落在 ABC内任一位置是等可能的 因而 本题为几何概型问题 设DE BC DE分别交AB AC于D E两点 且DE上任一点P与边BC构成的三角形的面 积恰为 2 要使 PBC的面积小于 2 只要点P落在梯形BCED内任一点即可 设 ABC的高为h DE 到BC的距离为h BC长为a 则S ABC a h 6 1 2 ah 12 令S PBC 2 a h 1 2 ah 4 h h 且DE BC a 1 3 2 3 2 3 设事件A为 向 ABC内任投一点