【创新设计】（浙江专用）2014届高考数学总复习 第9篇 第6讲 双曲线限时训练 理

1 第第 6 6 讲讲 双曲线双曲线 分层 A 级 基础达标演练 时间 30 分钟 满分 55 分 一 选择题 每小题 5 分 共 20 分 1 2012 广州二模 已知双曲线x2 my2 1 的虚轴长是实轴长的 2 倍 则实数m的值是 A 4 B 1 4 C D 4 1 4 解析 把双曲线的方程化为x2 1 可见双曲线的实轴长为 2 虚轴长为 2 y2 1 m 据题意有 2 2 2 m 1 m 1 m 1 4 答案 C 2 2012 湖南 已知双曲线C 1 的焦距为 10 点P 2 1 在C的渐近线上 则 x2 a2 y2 b2 C的方程为 A 1 B 1 x2 20 y2 5 x2 5 y2 20 C 1 D 1 x2 80 y2 20 x2 20 y2 80 解析 不妨设a 0 b 0 c a2 b2 据题意 2c 10 c 5 双曲线的渐近线方程为y x 且P 2 1 在C的渐近线上 1 b a 2b a 由 解得b2 5 a2 20 故正确选项为 A 答案 A 3 已知双曲线x2 1 的左顶点为A1 右焦点为F2 P为双曲线右支上一点 y2 3 则 的最小值为 PA1 PF2 A 2 B 81 16 C 1 D 0 2 解析 设点P x y 其中x 1 依题意得A1 1 0 F2 2 0 则有 x2 1 y2 3 x2 1 1 x y 2 x y x 1 x 2 y2 3 PA1 PF2 y2 x2 3 x2 1 x 2 4x2 x 5 4 2 其中x 1 因此 当x 1 时 x 1 8 81 16 取得最小值 2 选 A PA1 PF2 答案 A 4 已知双曲线M 1 和双曲线N 1 其中b a 0 且双曲线M与N的 x2 a2 y2 b2 y2 a2 x2 b2 交点在两坐标轴上的射影恰好是两双曲线的焦点 则双曲线M的离心率为 A B 5 1 2 5 1 2 C D 5 3 2 3 5 2 解析 由Error 得x2 依题意得 c2 1 即 a2b2 b2 a2 a2b2 b2 a2 a2 c2 a2 c2 2a2 c2 1 e4 3e2 1 0 e2 又e2 1 因此e2 2 所 e2 1 e4 2e2 3 5 2 3 5 2 5 1 2 以e 即双曲线M的离心率为 选 A 5 1 2 5 1 2 答案 A 二 填空题 每小题 5 分 共 10 分 5 2012 南京二模 已知双曲线 y2 1 的一条渐近线方程为x 2y 0 则该双曲线 x2 a2 的离心率为 解析 双曲线 y2 1 的渐近线方程为x ay 0 由题意 a 2 又 x2 a2 b 1 c e 5 c a 5 2 答案 5 2 6 2013 青岛一模 已知双曲线 1 的渐近线方程为y x 则它的离心率为 x2 a2 y2 b23 解析 依题意 得e 2 c a 1 b a 21 3 答案 2 3 三 解答题 共 25 分 7 12 分 求适合下列条件的双曲线方程 1 焦点在y轴上 且过点 3 4 2 9 4 5 2 已知双曲线的渐近线方程为 2x 3y 0 且双曲线经过点P 2 6 解 1 设所求双曲线方程为my2 nx2 1 m 0 n 0 则因为点 3 4 2 在双曲线上 9 4 5 所以点的坐标满足方程 由此得Error 解方程组得Error 故所求双曲线方程为 1 y2 16 x2 9 2 由双曲线的渐近线方程y x 2 3 可设双曲线方程为 0 x2 9 y2 4 双曲线过点P 2 6 6 9 4 4 1 3 故所求双曲线方程为y2 x2 1 3 4 1 3 8 13 分 中心在原点 焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1 F2 且 F1F2 2 椭圆的长半轴与双曲线半实轴之差为 4 离心率之比为 3 7 13 1 求这两曲线方程 2 若P为这两曲线的一个交点 求 cos F1PF2的值 解 1 由已知 c 设椭圆长 短半轴长分别为a b 双曲线半实 虚轴长分 13 别为m n 则Error 解得a 7 m 3 b 6 n 2 椭圆方程为 1 双曲线方程为 1 x2 49 y2 36 x2 9 y2 4 2 不妨设F1 F2分别为左 右焦点 P是第一象限的一个交点 则 PF1 PF2 14 PF1 PF2 6 所以 PF1 10 PF2 4 又 F1F2 2 13 cos F1PF2 PF1 2 PF2 2 F1F2 2 2 PF1 PF2 4 102 42 2 13 2 2 10 4 4 5 分层 B 级 创新能力提升 1 2012 浙江 如图 中心均为原点O的双曲线与椭圆 有公共焦点 M N是双曲线的两顶点 若M O N将椭圆长轴四等分 则双曲线与 椭圆的离心率的比值是 A 3 B 2 C D 32 解析 设双曲线的方程为 1 椭圆的方程为 1 由于M O N将椭 x2 a2 1 y2 b2 1 x2 a2 2 y2 b2 2 圆长轴四等分 所以a2 2a1 又e1 e2 所以 2 c a1 c a2 e1 e2 a2 a1 答案 B 2 2013 北京西城模拟 过双曲线 1 a 0 b 0 的左焦点F c 0 c 0 作圆 x2 a2 y2 b2 x2 y2 的切线 切点为E 延长FE交双曲线右支于点P 若 2 则双 a2 4 OF OP OE 曲线的离心率为 A B 2 10 5 C D 10 210 解析 设双曲线的右焦点为A 则 故 2 即OE OF OA OF OP OP OA AP AE AP 所以E是PF的中点 所以AP 2OE 2 a 所以PF 3a 在 Rt APF中 1 2 a 2 a2 3a 2 2c 2 即 10a2 4c2 所以e2 即离心率为e 选 C 5 2 5 2 10 2 答案 C 3 2013 临沂联考 已知点F是双曲线 1 a 0 b 0 的左焦点 点E是该双曲 x2 a2 y2 b2 线的右顶点 过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A B两点 若 ABE是锐角 5 三角形 则该双曲线的离心率e的取值范围为 解析 由题意知 ABE为等腰三角形 若 ABE是锐角三角形 则只需要 AEB为 锐角 根据对称性 只要 AEF 即可 直线AB的方程为x c 代入双曲线方程 4 得y2 取点A 则 AF EF a c 只要 AF EF 就能使 b4 a2 c b2 a b2 a AEF 即 a c 即b2 a2 ac 即c2 ac 2a2 0 即e2 e 2 0 即 1 e1 故 1 e 2 答案 1 2 4 2012 湖北 如图 双曲线 1 a b 0 的 x2 a2 y2 b2 两顶点为A1 A2 虚轴两端点为B1 B2 两焦 点为F1 F2 若以A1A2为直径的圆内切于菱形 F1B1F2B2 切点分别为A B C D 则 1 双曲线的离心率e 2 菱形F1B1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积 S2的比值 S1 S2 解析 1 由题意可得a bc a4 3a2c2 c4 0 e4 3e2 1 0 e2 e b2 c2 3 5 2 1 5 2 2 设 sin cos b b2 c2 c b2 c2 S1 S2 2bc 4a2sin cos 2bc 4a2 bc b2 c2 e2 b2 c2 2a2 1 2 2 5 2 答案 1 2 1 5 2 2 5 2 5 2012 合肥联考 已知双曲线的中心在原点 焦点F1 F2在坐标轴上 离心率为 2 且过点 4 10 1 求双曲线方程 2 若点M 3 m 在双曲线上 求证 0 MF1 MF2 3 求 F1MF2的面积 1 解 e 设双曲线方程为x2 y2 2 又 双曲线过 4 点 16 10 6 10 双曲线方程为x2 y2 6 6 2 证明 法一 由 1 知a b c 2 63 F1 2 0 F2 2 0 33 kMF1 kMF2 m 3 2 3 m 3 2 3 kMF1 kMF2 m2 9 12 m2 3 又点 3 m 在双曲线上 m2 3 kMF1 kMF2 1 MF1 MF2 0 MF1 MF2 法二 3 2 m 2 3 m MF1 3 MF2 3 3 2 3 2 m2 3 m2 MF1 MF2 33 M在双曲线上 9 m2 6 m2 3 0 MF1 MF2 3 解 在 F1MF2中 F1F2 4 且 m 33 S F1MF2 F1F2 m 4 6 1 2 1 233 6 给出双曲线x2 1 y2 2 1 求以A 2 1 为中点的弦所在的直线方程 2 若过点A 2 1 的直线l与所给双曲线交于P1 P2两点 求线段P1P2的中点P的轨 迹方程 3 过点B 1 1 能否作直线m 使得m与双曲线交于两点Q1 Q2 且B是Q1Q2的中点 这样的直线m若存在 求出它的方程 若不存在 说明理由 解 1 设弦的两端点为P1 x1 y1 P2 x2 y2 则Error 两式相减得到 2 x1 x2 x1 x2 y1 y2 y1 y2 又x1 x2 4 y1 y2 2 所以直线斜率k 4 y1 y2 x1 x2 故求得直线方程为 4x y 7 0 2 设P x y P1 x1 y1 P2 x2 y2 按照 1 的解法可得 y1 y2 x1 x2 2x y 由于P