【创新设计】高考数学 第十一篇 第7讲 离散型随机变量的均值与方差限时训练 新人教A版

1 第第 7 7 讲讲 离散型随机变量的均值与方差离散型随机变量的均值与方差 A 级 基础演练 时间 30 分钟 满分 55 分 一 选择题 每小题 5 分 共 20 分 1 2013 西安模拟 样本中共有五个个体 其值分别为a 0 1 2 3 若该样本的平均值为 1 则样本方差为 A B C D 2 6 5 6 52 解析 由题意 知a 0 1 2 3 5 1 解得 a 1 s2 2 1 1 2 0 1 2 1 1 2 2 1 2 3 1 2 5 答案 D 2 签盒中有编号为 1 2 3 4 5 6 的六支签 从中任意取 3 支 设X为这 3 支签的号 码之中最大的一个 则X的数学期望为 A 5 B 5 25 C 5 8 D 4 6 解析 由题意可知 X可以取 3 4 5 6 P X 3 P X 4 1 C3 6 1 20 C2 3 C3 6 3 20 P X 5 P X 6 C2 4 C3 6 3 10 C2 5 C3 6 1 2 由数学期望的定义可求得E X 5 25 答案 B 3 若p为非负实数 随机变量 的分布列为 012 P p 1 2 p 1 2 则E 的最大值为 A 1 B C D 2 3 2 2 3 解析 由p 0 p 0 则 0 p E p 1 1 2 1 2 3 2 答案 B 4 2013 广州一模 已知随机变量X 8 若X B 10 0 6 则E D 分别 2 是 A 6 和 2 4 B 2 和 2 4 C 2 和 5 6 D 6 和 5 6 解析 由已知随机变量X 8 所以有 8 X 因此 求得E 8 E X 8 10 0 6 2 D 1 2D X 10 0 6 0 4 2 4 答案 B 二 填空题 每小题 5 分 共 10 分 5 某射手射击所得环数 的分布列如下 78910 Px0 10 3y 已知 的期望E 8 9 则y的值为 解析 x 0 1 0 3 y 1 即x y 0 6 又 7x 0 8 2 7 10y 8 9 化简得 7x 10y 5 4 由 联立解得x 0 2 y 0 4 答案 0 4 2013 温州调研 已知离散型随机变量X的分布列如右表 若E X 0 D X 1 则 6 a b X 1 0 1 2 P a b c 1 12 解析 由题意知Error 解得Error 答案 5 12 1 4 三 解答题 共 25 分 7 12 分 若随机事件A在一次试验中发生的概率为p 0 p 1 用随机变量X表示A在一 次试验中发生的次数 1 求方差D X 的最大值 2 求的最大值 2D X 1 E X 解 随机变量X的所有可能的取值是 0 1 并且有P X 1 p P X 0 1 p 从而E X 0 1 p 1 p p D X 0 p 2 1 p 1 p 2 p p p2 1 D X p p2 2 p 1 2 1 4 3 0 p 1 当p 时 D X 取最大值 最大值是 1 2 1 4 2 2 2D X 1 E X 2 p p2 1 p 2p 1 p 0 p 1 2p 2 1 p2 当 2p 即p 时取 1 p 2 2 因此当p 时 取最大值 2 2 2 2 2D X 1 E X 2 8 13 分 2013 汕头一模 袋中有 20 个大小相同的球 其中记上 0 号的有 10 个 记上 n号的有n个 n 1 2 3 4 现从袋中任取一球 X表示所取球的标号 1 求X的分布列 期望和方差 2 若 aX b E 1 D 11 试求a b的值 解 1 X的分布列为 X01234 P 1 2 1 20 1 10 3 20 1 5 E X 0 1 2 3 4 1 5 1 2 1 20 1 10 3 20 1 5 D X 0 1 5 2 1 1 5 2 2 1 5 2 3 1 5 2 4 1 5 1 2 1 20 1 10 3 20 2 2 75 1 5 2 由D a2D X 得a2 2 75 11 即a 2 又E aE X b 所以当a 2 时 由 1 2 1 5 b 得b 2 当a 2 时 由 1 2 1 5 b 得b 4 Error 或Error 即为所求 B 级 能力突破 时间 30 分钟 满分 45 分 一 选择题 每小题 5 分 共 10 分 1 一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为a 得 2 分的概率为b 不得分的概率为 c a b c 0 1 已知他投篮一次得分的均值为 2 则 的最小值为 2 a 1 3b 4 A B C D 32 3 28 3 14 3 16 3 解析 由已知得 3a 2b 0 c 2 即 3a 2b 2 其中 0 a 0 b 1 2 3 又 2 a 1 3b 3a 2b 2 2 a 1 3b 3 2 1 3 2b a a 2b 10 3 2b a a 2b 16 3 当且仅当 即a 2b时取 等号 又 3a 2b 2 即当a b 时 的 2b a a 2b 1 2 1 4 2 a 1 3b 最小值为 故选 D 16 3 答案 D 2 2012 上海 设 10 x1 x2 x3D 2 B D 1 D 2 C D 1 D 2 D D 1 与D 2 的大小关系与x1 x2 x3 x4的取值有关 解析 利用期望与方差公式直接计算 E 1 0 2x1 0 2x2 0 2x3 0 2x4 0 2x5 0 2 x1 x2 x3 x4 x5 E 2 0 2 0 2 0 2 x1 x2 2 x2 x3 2 x5 x1 2 0 2 x1 x2 x3 x4 x5 E 1 E 2 记作 x D 1 0 2 x1 2 x2 2 x5 2 xxx 0 2 x x x 5 2 2 x1 x2 x5 2 12 22 5xx 0 2 x x x 5 2 2 12 22 5x 同理D 2 0 2 2 2 2 5 2 x1 x2 2 x2 x3 2 x5 x1 2 x 2 2 x1 x2 2 x2 1 x2 2 2 x5 x1 2 x2 5 x2 1 2 5 2 2 2D 2 x1 x2 2 x2 x3 2 x5 x1 2 2 12 22 32 42 5 答案 A 二 填空题 每小题 5 分 共 10 分 3 随机变量 的分布列如下 1 01 Pabc 其中a b c成等差数列 若E 则D 的值是 1 3 解析 根据已知条件 Error 解得 a b c 1 6 1 3 1 2 D 2 2 2 1 6 1 1 3 1 3 0 1 3 1 2 1 1 3 5 9 答案 5 9 4 2013 滨州一模 设l为平面上过点 0 1 的直线 l的斜率等可能地取 2 0 2 用 表示坐标原点到l的距离 则随机变量 23 5 2 5 232 的数学期望E 解析 当l的斜率k为 2时 直线l的方程为 2x y 1 0 此时坐标原点到 22 l的距离d 当k为 时 d 当k为 时 d 当k为 0 时 d 1 由古 1 33 1 2 5 2 2 3 典概型的概率公式可得分布列如下 1 3 1 2 2 3 1 P 2 7 2 7 2 7 1 7 所以E 1 1 3 2 7 1 2 2 7 2 3 2 7 1 7 4 7 答案 4 7 三 解答题 共 25 分 5 12 分 2013 大连二模 甲 乙 丙三名射击运动员射中目标的概率分别为 1 2 a a 0 a 1 三人各射击一次 击中目标的次数记为 1 求 的分布列及数学期望 6 2 在概率P i i 0 1 2 3 中 若P 1 的值最大 求实数a的取值范围 解 1 P 是 个人命中 3 个人未命中 的概率 其中 的可能取值为 0 1 2 3 P 0 1 a 2 1 a 2 1 1 2 1 2 P 1 1 a 2 a 1 a 1 a a 1 a2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 P 2 a2 1 a a a 1 a 2a a2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 P 3 a2 2 所以 的分布列为 0123 P 1 a 2 1 2 1 a2 1 2 2a a2 1 2 a2 2 的数学期望为 E 0 1 a 2 1 1 a 2 2 2a a2 3 1 2 1 2 1 2 a2 2 4a 1 2 2 P 1 P 0 1 a2 1 a 2 a 1 a 1 2 P 1 P 2 1 a2 2a a2 1 2 1 2a 2 P 1 P 3 1 a2 a2 1 2 1 2a2 2 由Error 及 0 a 1 得 0 a 1 2 即a的取值范围是 0 1 2 6 13 分 2013 福州模拟 随机抽取某厂的某种产品 200 件 经质检 其中有一等品 126 件 二等品 50 件 三等品 20 件 次品 4 件 已知生产 1 件一 二 三等品获得的利润分别为 6 万元 2 万元 1 万元 而 1 件次品亏损 2 万元 设 1 件产品的利润 单位 万元 为 1 求 的分布列 2 求 1 件产品的平均利润 即 的均值 3 经技术革新后 仍有四个等级的产品 但次品率降为 1 一等品率提高为 70 如果 此时要求 1 件产品的平均利润不小于 4 73 万元 则三等品率最多是多少 思维启迪 本题在求解时 一定要分清求解的是哪一个变量的均值 理清随机变量取值 7 时的概率 解 1 由于 1 件产品的利润为 则 的所有可能取值为 6 2 1 2 由题意知 P 6 0 63 P 2 0 25 P 1 0 1 P 2 126 200 50 200 20 200 0 02 4 200 故 的分布列为 621 2 P0 630 250 10 02 2 1 件产品的平均利润为 E 6 0 63 2 0 25 1 0 1 2 0 02 4 34 万元 3 设技术革新后三等品率为x 则此时 1 件产品的平均利润为E 6 0 7 2 1 0 7 x 0 01 1 x 2 0 01 4 76 x 由E 4 73 得 4 76 x 4 73 解得x 0 03 所以三等品率最多为 3 探究提