昌平区2015年高三数学第三次统一练习（理科）（修订1）

备考网 (多精品文档 备考网 (多精品文档 昌平区 2015 年高三年级第三次统一练习 数学试卷 (理科 ) 生注意事项： 页，分第 卷选择题和第 卷非选择题两部分，满分 150 分，考试时间 120分钟 2答题前，考生务必将学校、 班级、 姓名、考试编号填写清楚 答题卡上第一部分 (选择题 )必须用 2B 铅笔作答，第二部分 (非选择题 )必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时 必须 使用2B 铅笔 3修改时，选择题用塑料橡皮擦干净，不得使用涂改液请保持卡面整洁，不要折叠、折皱、破损不得在 答题卡上作任何标记 4请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，未在对应的答题区域作答或超出答题区域的作答均不得分 第 卷（选择题 共 40 分） 一、 选择题 (本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 ) 1. 已知 3i i ( , i )ia b a , b R 为 虚 数 单 位，则 等于 A. 4 B. 2 C. 2 D. 4 2. 要得到函数 ( ) s i n ( 2 )4f x x的图象，只需将函数 ( ) g x x 的图象 A. 向左平移 8个单位长度 B. 向右平移 8个单位长度 C. 向左平移 4个单位长度 D. 向右平 移 4个单位长度 3. 如图是两个全等的正三角形 ，给 出 下列三个命题： 存在四棱锥， 其正视图、侧视图如图； 存在三棱锥，其正视图、侧视图如图； 存在圆锥，其正视图、侧视图如图其中 所有真 命题的 序号 是 来源 :学 #科 #网 Z#X#X#K A B C D 来源 :学 备考网 (多精品文档 备考网 (多精品文档 开始 是 否 n 输出 S 结束 ( 2) 1 1, 1 4. 由曲线 2 ,y x y x 围成的封闭图形 的 面积为 A. 1 B. 12C. 13D. 16科 5. 设向量 (2, 1)xa ， ( 1, 4)xb ，则 “ 3x ”是 “ / A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 6. 阅读 下面 程序框图，为使输出的数据为 11， 则 处应填的数字 可以 为 B. 5 C. 6 D. 7 7. 已知函数23,()5 1 2 ,fx , 若函数 ( ) ( )g x f x x恰有三个不同的零点，则实数 m 的取值范围是 A. 2m B. 23m C. 23m D. 3m 8. 如图，直线 重心 G（重心是 三角形 三条中线的 交 点） ，设 ,A B A C ,A M m A N n中 0, 0),则 最小值是 A. 29B. 12C. 49D. 23备考网 (多精品文档 备考网 (多精品文档 卷（非选择题 共 110 分） 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） 9. 二项式 6()的展开式中，含 42_. 10. 如图， O 的直径6 P 是 点 P 作 的切线，切点为C，连接30, 则_. 11. 设 1 , 1 , 2 , 0 , 1 ，则以 ( , )坐标的点落在不等式 21所表示的平面区域内的概率为 . 12. 已知 双曲线 2213的右焦点 与抛物线 2 8的焦点重合，则 m _, 该双曲线的焦点到其渐近线的距离为 _. ) e ( s i n )xf x x a在 R 上单调递增，则实数 a 的取值范围是 . : ( , ) ( , ) 0 , 0f P m n P m n m n 2,6A ， 4,4B ，点 M 是线段 一动点， :f M M 是线段 中点时，点 M 的坐标是 ； 当点 M 在线段 从点 A 开始运动到点 B 结束时，点 M 的对应点 M 所经过的路线长度为 . 三、解答题 (本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ) 15.（本小题满分 13 分） 在 中， 角 , 的 所 对 的 边 分别为 a b c， ， ，且 2 2 2a b a b c . ( I ) 求 )4C 的值； ( 若 3c ，求最大值 . 备考网 (多精品文档 备考网 (多精品文档 16. (本小题满分 13 分 ) 在一台车床上生产某种零件，此种零件的月产量 与 零件的市场价格具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表： 表 1：零件某年的每月产量 (个 /月 ) 月份 第一季度 第二季度 第三季度 第四季度 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 产量 500 400 625 625 500 500 500 500 500 400 400 625 表 2：零件市场价格 (元 /个 ) 零件市场价格 8 10 概率 I) 请你根据表 1 中所给的数据，判断该 零件哪个季度的月产量方差最大；（结论不要求证明） (随机抽取该种零件的一个月的月产量记为 X ，求 X 的分布列； （ 随机抽取该种零件的一个月的月产量，设 Y 表示该种零件的月 产值 ，求 Y 的分布列及期望 。 17.（本小题满分 14 分） 如图，多面体 ， 平面 底面 菱形， 2， 60，四边形 正方形 . ( ) 求证 : /面 ( ) 求 直线 平面 成角 的 正弦值 ； （ ） 在线 段 是否存在点 P，使得 平面 若存在，求出 不存在，说明理由 . 备考网 (多精品文档 备考网 (多精品文档 18. (本小题满分 14 分 ) 已知椭圆 C ： 221( 0)的离心率 22e， 右顶点为 A ，点 (1,0)M 为线段 其中 O 为坐标原点 . （ ） 求椭圆 C 的方程； （ ） 过点 M 任作一条 直线交椭圆 C 于不同的两点 E ， F ，试问在 x 轴上是否存在 定点 N ，使得 E N M F N M ？ 若存在，求出点 N 的坐标；若不存在，说明理由 . 19. (本小题满分 13 分 ) 已知函数 ( ) ( 1 ) 2 l n ( 0 )f x a x x a . （ ）当 1a 时，求 () （ ）若函数 ()0,1) 上无零点，求实数 a 的最大值 . 20.（本小题满分 13 分） 已知数列 2,4 21 *23 - 1 2 1 ( 1 ) , , .2 n a n k ） （ I）求 ,43 （ 1 3 2 1a a a ，kk 42 ，分别求 ,k 的表达式； （ 22 kk ，求使 2k 的值，并说明理由 备考网 (多精品文档 备考网 (多精品文档 昌平区 2015 年高三年级第三次统一练习 数学试卷 (理科 )参考答案 一、 选择题 (本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 ) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A D D A B B C 二、 填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） 9. 15 10. 33 11. 1212. 1 , 1 13. 2a 14. ( 3, 5) , 26第一空 2 分，第二空 3 分 . 三、解答题 (本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ) 15. (本小题满分 13 分 ) 解：（ I） 由 2 2 2a b a b c 可得 2 2 2 1c o b cC , . 2 分 3C故 . 4 分 所以 t a n ( ) 2 34C . . 6 分 （ 2232a b a b a b . 8 分 3 . . 9 分 因为 13s i a b C a b ， . 10 分 得 334 ， . 1 1 分 当且 仅当 a = b = 3 时“ =”成立， 1 2 分 备考网 (多精品文档 备考网 (多精品文档 故最大值 是 334. 13 分 16. (本小题满分 13 分 ) 解： (I) 第四季度的月产量方差最大 . 3 分 (X 取值为 X 400， 500， 625. 4 分 则 ( 4 0 0 ) 0 . 2 5； ( 5 0 0 ) 0 ； ( 6 2 5 ) 0 。 所以随机变量 X 的分布列为 X 400 500 625 P 7 分 (为 4 0 0 8 3 2 0 0 4 0 0 1 0 4 0 0 0 ， ， 5 0 0 8 4 0 0 0 5 0 0 1 0 5 0 0 0 ， ， 6 2 5 8 0 0 0 6 2 5 1 0 6 2 5 0 5 ， ， 所以随机变量 Y 的所有可能取值为 3 2 0 0 , 4 0 0 0 , 5 0 0 0 , 6 2 5 0Y . 8 分 所以 ( 3 2 0 0 ) 0 . 4 0 . 2 5 0 . 1 ， ( 4 0 0 0 ) 0 . 6 0 . 2 5 0 . 4 0 . 5 0 . 3 5 ， ( 5 0 0 0 ) 0 . 6 0 . 5 0 . 4 0 . 2 5 0 . 4 ， ( 6 2 5 0 ) 0 . 6 0 . 2 5 0 . 1 5 . 11 分 所以随机变量 Y 的分布列为 Y 3200 4000 5000 6250 P 期望为 3 2 0 0 0 . 1 4 0 0 0 0 . 3 5 5 0 0 0 0 . 4 6 2 5 0 0 . 1 5 4 6 5 7 . 5 . 13 分 17.(本小题满分 14 分 ) 解： ( )证明： 因为 菱形， 所以 /D . 又 面 平面 所以 /面 . 1 分 又 因为 正方形， 所以 /E . 因为 平面 平面 所以 /面 . 3 分 因为 平面 平面 备考网 (多精品文档 备考网 (多精品文档 F B ， 所以 平面 4 分 因为 平面 所以 /面 . . ( ) 解：因为四边形 菱形，且 60 ， 所以 等边三角形 . 6 分 取 中点 O ，所以 D ， 取 中点 G ，连结 则 /E 因为 平面 所以 平面 . 7 分 如图建立空间直角坐标系 因为 2所以 ( 0 , 0 , 0 ) , ( 0 , 3 , 0 ) , ( 1 , 0 , 0 ) , ( 0 , 3 , 0 ) , ( 1 , 0 , 2 ) , ( 1 , 0 , 2 )O A B C E F . 8 分 所以 (1, 3 , 2 ) , ( 2 , 0 , 0 ) ， ( 1 , 3 , 2 ) 设平面 向量为 ( , , )x y zn ， 则有 0,2030xx y z 得 3(0,1, )2n . 9 分 设 平面 成的角为 ，则 42s i n c o s ,7 所以 直线 平面 成角的正弦值为 427 . . （ ）不存在 . . 11 分 (1, 3 , 2 )，设 ( , , )P x y z ， C ， 由 A P A E E P A E E C ， 得 ( 1 , 3 3 , 2 2 ) . . 12 分 因为平面 法向量为 3(0,1, )2n 若 平面 则 / 即 =n ， . 13 分 备考网 (多精品文档 备考网 (多精品文档 得10333222 方程组无解 ，不符合题意 . 综上， 不存在 使得 平面 . . 18. （本小题满分 14 分） 解： ( ) 由题意可得 2b ， . 1 分 又因为 22， . 2 分 2 2 2a b c， . 3 分 所以 22a . . 4 分 故所求椭圆 C 的方程为 22148. . 5 分 ( ) 假设存在点0( ,0) . 6 分 （ 1）当 x 轴不垂直时，设 方程为 ( 1)y k x. 则 22( 1),148y k 消去 y ，整理得 2 2 2 2( 2 ) 2 8 0k x k x k . 可知 0 . . 8 分 设11( , )E x y，22( , )F x y， 则 212 222 k ， 212 282k . 1 2 1 21 0 2 0 1 0 2 0( 1 ) ( 1 )E N F Ny y k x k x x x x x x x x 1 2 0 2 1 01 0 2 0( 1 ) ( ) ( 1 ) ( )( ) ( )k x x x k x x xx x x x . . 9 分 备考网 (多精品文档 备考网 (多精品文档 由 11 2 0 2 1 01 2 0 2 0220022( 1 ) ( ) ( 1 ) ( )2 (1 ) ( ) 22 (1 )2 ( 8 ) 222x x x x x xx x x x x . . 10 分 若 E N M F N M ，则 0E N F . 11 分 22 00222 ( 1 )2 ( 8 ) 2022 即整理 得 0( 4) 0. 12 分 0R , 4因 为 所 以（ 2） 当 EF x 轴时，由椭圆的对称性可知恒有 E N M F N M ，满足题意 . . 13 分 综上，在 x 轴上存在点 (4,0)N ，使得 E N M F N M . . 14 分 19.（本小题满分 13 分） 解：（ ） ( ) 1 2 x x x ，定义域 (0, ) . . 1 分 2( ) 1， . 2 分 令 ( ) 0 得 2x ， . 3 分 令 ( ) 0 得 02x . . 4 分 因此，函数 f (x)的单调递增区间是 (2, ) ，单调递减区间是 (0,2) . 5 分 （ ） 当 0a 时， ( ) 2 x x ，函数 ()0,1) 上单调递减，且 ( ) (1) 0f x f 所以 0a 时，函数 ()0,1) 上无零点 . . 7 分 当 0a 时，令 ( ) 0 得 2 ( ) 0 得 2 令 ( ) 0 得 20 因此，函数 f (x)的单调递增区间是 2( , )a ，单调递减区间是 2(0, )a. . 9 分 备考网 (多精品文档 备考网 (多精品文档 （ ）当 2 1a即 02a 时， 函数 f (x)的单调递减区间是 (0,1) ，所以 ( ) (1) 0f x