【精品解析】北京市西城区2012届高三数学第一学期期末考试试题 理（教师版）新人教B版

用心 爱心 专心 1 精品解析精品解析 北京市海淀区北京市海淀区 20122012 届高三数学上学期期末考试试题届高三数学上学期期末考试试题 理理 教师版 新人教 教师版 新人教 B B 版版 试题总体说明 本套试卷严格按照 2011 年北京卷的高考题进行命制 题目难度适当 创 新度较高 所命试卷呈现以下几个特点 1 注重对基础知识 基本能力和基本方法的考 查 严格控制试题难度 如选择题 1 2 3 4 9 10 2 知识点覆盖全面 既注重对传统 知识的考查 又注重对新增内容的考查 更注重对主干知识的考查 3 遵循源于教材 高于教材的原则 部分试题根据教材中的典型例题或习题改编而成 如选择题 6 7 11 4 深入探究 2011 高考试题 精选合适的试题进行改编 如填空题 9 12 5 题型新颖 创新 度高 部分试题是原创题 有较强的时代特色 如填空题 14 和解答题 20 等 6 在知识 网络的交汇处命题 强调知识的整合 突出考查学生综合运用数学知识分析问题 解决问题 的能力 如 20 题 第第 卷卷 选择题 共 40 分 一 选择题共 8 小题 每小题 5 分 共 40 分 在每小题列出的四个选项中 选出符合题目 要求的一项 1 复数 i 1 i A B C D 1i 22 1i 22 1i 22 1i 22 答案 A 解析 选 A ii 1 i 1 1 i 1 i 1 i 2 i 2 已知圆的直角坐标方程为 在以原点为极点 轴正半轴为极轴的极坐 22 20 xyy x 标系中 该圆的方程为 A B C D 2cos 2sin 2cos 2sin 答案 B 解析 该方程表示圆心为 0 1 半径为 1 的圆 如 2222 20 1 1 xyyxy 图 在圆上任取一点则 M 2sin 2sin OM 3 已知向量 若实数与向量满足 则可以是 3 1 a 0 2 bkcc A B C D 3 1 1 3 3 1 1 3 答案 D x y M O 用心 爱心 专心 2 解析 3 1 a 0 2 b 2 3 3 3 1 3 1 3 k 可以为abc c 4 执行如图所示的程序框图 输出的值为 S A 3 B 6 C 10 D 15 答案 C 解析 执行程序框图可得 1 1 2 3 3 6 4 10 5 iSiSiSiSi 程序结束 输出10 S 5 已知点的坐标满足条件 那么的取值范围是 P x y 1 2 220 x y xy 22 xy A B C D 1 4 1 5 4 4 5 4 5 5 答案 D 解析 作出不等式组所表示的平面区域 因原点到直线的最短距离为22 0 xy 此时可得的最小值为点 1 2 到原点的距离最大为此 2 2 0022 52 1 22 xy 4 5 5 用心 爱心 专心 3 时可得的最大值为故选 D 22 xy 5 6 已知 下列四个条件中 使成立的必要而不充分的条件是 a b Rab A B C D 1ab 1ab ab 22 ab 答案 A 解析 由 但由不能得到 故为成立的必ab 1ab 1ab ab 1ab ab 要而不充分的条件 故答案为 A 7 某几何体的三视图如图所示 该几何体的 体积是 A 8 B 8 3 C 4 D 4 3 答案 D 解析 将三视图还原直观图 可知是一个底面 为正方形 其对角线长为 2 高为 2 的四棱锥 其体积为 1114 22 2 2 3323 ABCD VS 正方形 8 已知点 若曲线上存在两点 使为正三角形 则称为型 1 1 A G B CABC G 曲线 给定下列三条曲线 3 03 yxx 2 2 20 yxx 1 0 yx x 其中 型曲线的个数是 A B C D 0123 答案 C 解析 对于 的图像是一条线段 记为如图3 03 yxx BB 1 所示 从图中可以看出 x y y x 3 O A B C x y A O 用心 爱心 专心 4 在线段上一定存在两点 B C 使 3 217 3 21817 BBB AAC BC ABC 为正三角形 故 满足型曲线 对于 2 2 20 yxx 的图象是圆在第二象限的部分 如图 2 所示 显然 无论点 B C 在何处 22 2xy ABC 都不可能为正三角形 所以 不是型曲线 对于 表示双曲线在第四象限的一支 如 1 0 yx x 图 3 所示 显然 存在点 B C 使 ABC 为正三角形 所 以 满足 综上 型曲线的个数为 2 故选 C 第第 卷卷 非选择题 共 110 分 二 填空题共 6 小题 每小题 5 分 共 30 分 9 函数的定义域是 2 1 log f x x 答案 011 xxx 或 解析 由函数的定义域为 2 0 0 1 log0 x xx x 2 1 log f x x 011 xxx 或 10 若双曲线的一个焦点是 则实数 22 1xky 3 0 k 答案 1 8 解析 因双曲线的一个焦点是 故 22 1xky 3 0 11 19 8 k k 11 如图 是圆的切线 为切点 是PAOAPBC 圆的割线 若 则 O 3 2 PA BC PB BC 答案 1 2 解析 根据切割线定理有 222 33 0 24 31 2 3 2 0 22 PA PAPB PCPB PBBCPBPB BCBC BC PBPB PVBCPBBC BCBC 舍去 y O A x 用心 爱心 专心 5 12 已知是公比为的等比数列 若 则 n a2 31 6aa 1 a 222 12 111 n aaa 答案 11 21 34n 解析 1 311111 222 12 11 6 46 2 22 2 11 1 11111 44 1 1 34 1 4 nnn n n n n n aaaaaaa a aaa 13 在 中 三个内角 的对边分别为 若 ABCABCabc2 5b 4 B 则 5 sin 5 C c a 答案 2 2 6 解析 利用正弦定理可知 2222 sin 2 2 2cos 4120 6 sin bC cbacacBaaa B 14 有限集合中元素的个数记作 已知 Pcard Pcard 10M AM BM 且 若集合满足 则集合的个AB card 2A card 3B XAXM X 数是 若集合满足 且 则集合的个数是 YYM AY BY Y 用数字作答 答案 256 672 解析 显然表示集合 M 中有 10 个元素 表示集合 A 中有 2 个card 10M card 2A 元素 而 故集合 X 中可以只含 A 中的 2 个元素 也可以除了 A 中的 2 个元素AXM 外 在剩下的 8 个元素中任取 1 个 2 个 3 个 8 个 共有 种情况 即符合要求所求的集合 M 有 256 个 满足条件 0178 8888 256CCCC 的集合 Y 的个数为 其中不满足条件的集合 Y 的个数为 不满足条件YM 10 2AY 8 2 用心 爱心 专心 6 的集合 Y 的个数为 同时不满足 的集合 Y 的个数 故满足条件BY 7 2AY BY 5 2 的集合 Y 是 10 2 8 2 75 2 2 672 三 解答题共 6 小题 共 80 分 解答应写出文字说明 演算步骤或证明过程 15 本小题满分 13 分 已知函数 2 3sinsin cosf xxxx 2 x 求的零点 f x 求的最大值和最小值 f x 解 令 得 1 分 0f x sin 3sincos 0 xxx 所以 或 3 分sin0 x 3 tan 3 x 由 得 4 分sin0 x 2 x x 由 得 5 分 3 tan 3 x 2 x 5 6 x 综上 函数的零点为或 xf 5 6 解 8 分 31 3 1 cos2sin2sin 2 2232 f xxxx 因为 所以 9 分 2 x 2 5 2 333 x 当 即时 的最大值为 11 分 2 2 33 x 2 x xf3 用心 爱心 专心 7 当 即时 的最小值为 13 分 3 2 32 x 11 12 x xf 3 1 2 解法二 解 3 分 31 3 1 cos2sin2sin 2 2232 f xxxx 令 得 4 分 0f x 3 sin 2 32 x 因为 所以 5 分 2 x 2 5 2 333 x 所以 当 或时 7 分 4 2 33 x 5 2 33 x 0f x 即 或时 5 6 x x 0f x 综上 函数的零点为或 9 分 xf 5 6 解 由 可知 当 即时 的最大值为 11 分 2 2 33 x 2 x xf3 当 即时 的最小值为 13 分 3 2 32 x 11 12 x xf 3 1 2 16 本小题满分 13 分 盒中装有个零件 其中个是使用过的 另外个未经使用 725 从盒中每次随机抽取 个零件 每次观察后都将零件放回盒中 求次抽取中恰有 次131 抽到使用过的零件的概率 从盒中随机抽取个零件 使用后放回盒中 记此时盒中使用过的零件个数为 求2X 的分布列和数学期望 X 命题分析 本题考查随机事件的概率和独立事件的概率问题 利用等可能事件的定义求概 率 不要忘记等可能事件的两大特征 基本事件总数有限及基本事件的发生等可能 求概率 的题目 找准 基本事件 很重要 因此一定要明确以什么 事件 作为基本事件 某事件 所包含的基本事件必须与此相对应 求解等可能性事件的概率一般遵循如下步骤 AA 先确定一次试验是什么 此时一次试验的可能性结果有多少 即求出 1m 再确定所研究的事件是什么 事件包括结果有多少 即求出 2AAn 应用等可能性事件概率公式计算 也可从不同的背景材料抽象出两个问题 3 m P A n 用心 爱心 专心 8 所有基本事件的个数 即 事件包含的基本事件的个数 即 Card In A 最后套用公式 确定 的数值是关键所在 其计算方法灵活 Card Am m P A n mn 多变 没有固定的模式 可充分利用排列组合知识中的分类计数原理和分步计数原理 必须 做到不重复不遗漏 本本题的第二问采用组合的知识 确定 的值 mn 解 记 从盒中随机抽取 个零件 抽到的是使用过的零件 为事件 1A 则 2 分 2 7 P A 所以次抽取中恰有 次抽到使用过的零件的概率 5 分31 12 3 25150 C 77343 P 解 随机变量的所有取值为 7 分X2 3 4 2 2 2 7 C1 2 C21 P X 11 52 2 7 C C10 3 C21 P X 10 分 2 5 2 7 C10 4 C21 P X 所以 随机变量的分布列为 X X234 P 1 21 10 21 10 21 11 分 13 分 1101024 234 2121217 EX 证明 连结 交于点 连结 1 AC 1 ACOOD 由 是直三棱柱 111 CBAABC 用心 爱心 专心 9 得 四边形为矩形 为的中点 11 ACC AO 1 AC 又为中点 所以为中位线 DBCOD 1 ABC 所以 2 分 1 ABOD 因为 平面 平面 OD 1 ADC 1 AB 1 ADC 所以 平面 4 分 1 AB 1 ADC 解 由是直三棱柱 且 故两两垂直 111 CBAABC 90ABC 1 BBBCBA 如图建立空间直角坐标系 5 分xyzB 设 则 2 BA 0 0 1 1 0 2 0 2 0 0 0 2 0 0 0 1 DCACB 所以 1 2 0 AD 1 2 2 1 AC 设平面的法向量为 则有 1 ADC x y zn 1 0 0 n AD n AC 所以 取 得 7 分 20 220 xy xyz 1 y 2 1 2 n 易知平面的法向量为 8 分ADC 0 0 1 v 由二面角是锐角 得 9 分 1 CADC 2 cos 3 n v n v n v 所以二面角的余弦值为 1 CADC 2 3 解 假设存在满足条件的点 E 因为在线段上 故可设 其中 E 11B A 1 2 0 1 A 1 0 0 1 B 1 0 E02 所以 11 分 0 2 1 AE 1 1 0 1 DC 因为与成角 所以 12 分AE 1 DC60 1 1 1 2 AE DC AE DC 即 解得 舍去 13 分 2 11 2 2 12 1 3 所以当点为线段中点时 与成角 14 分E 11B AAE 1 DC60 18 本小题满分 13 分 已知椭圆的一个焦点是 且离心率为 C 22 22 1 0 xy ab ab 1 0 F 1 2 用心 爱心 专心 10 求椭圆的方程 C 设经过点的直线交椭圆于两点 线段的垂直平分线交轴于点FC M NMNy 求的取值范围 0 0 Py 0 y 命题分析 本题考查椭圆的方程 直线和椭圆的相交问题等综合问题 考查学生利用待定 系数法和解析法的解题能力 待定系数法 如果题目给出是何曲线 可根据题目条件 恰当 的设出曲线方程 然后借助条件进一步确定求椭圆的标准方程应从 定形 定式 ab 定量 三个方面去思考 定形 是指对称中心在原点 焦点在哪条对称轴上 定式 是指根据 形 设出相应的椭圆方程的具体形式 定量 是指利用定义法或待定系数法确 定的值 本题第一问利用椭圆的离心率和点在直线上得到两个等式求解的值 在ab ab 直线与椭圆的位置关系问题中 一类是直线和椭圆关系的判断 利用判别式法 另一类常与 弦 相关 平行弦 问题的关键是 斜率 中点弦 问题关键是 韦达定理 或 小 小直角三角形 或 点差法 长度 弦长 问题关键是长度 弦长 公式 在求解弦长问 题中 要注意直线是否过焦点 如果过焦点 一般可采用焦半径公式求解 如果不过 就用 一般方法求解 要注意利用椭圆自身的范围来确定自变量的范围 涉及二次方程时一定要注 意判别式的限制条件 本题的第二问利用直线和椭圆联立 借助韦达定理和直线方程确定 与 k 的函数关系式 借助均值不等式求取范围 0 y 解 设椭圆的半焦距是 依题意 得 1 分Cc1c 因为椭圆的离心率为 C 1 2 所以 3 分22ac 222 3bac 故椭圆的方程为 4 分C 22 1 43 xy 解 当轴时 显然 5 分MNx 0 0y 当与轴不垂直时 可设直线的方程为 MNxMN 1 0 yk xk 由 消去整理得 22 1 3412 yk x xy y0 3 48 43 2222 kxkxk 7 分 设 线段的中点为 1122 M x yN xyMN 33 Q xy 则 8 分 2 12 2 8 34 k xx k 所以 2 12 3 2 4 234 xxk x k 33 2 3 1 34 k yk x k 用心 爱心 专心 11 线段的垂直平分线方程为 MN 43 4 1 43 3 2 2 2 k k x kk k y 在上述方程中令 得 10 分0 x k k k k y 4 3 1 43 2 0 当时 当时 0k 3 44 3k k 0k 3 44 3k k 所以 或 12 分 0 3 0 12 y 0 3 0 12 y 综上 的取值范围是 13 分 0 y 33 1212 19 本小题满分 14 分 已知函数 其中 1ln 2 1 2 xaxxxf a R 若是的极值点 求的值 2x xfa 求的单调区间 xf 若在上的最大值是 求的取值范围 xf 0 0a 当时 令 得 或 0a 0fx 1 0 x 2 1 1x a 用心 爱心 专心 12 当时 与的情况如下 10 a f x fx x 1 1 x 1 x 12 x x 2 x 2 x fx 0 0 f x 1 f x 2 f x 所以 的单调增区间是 单调减区间是和 6 分 f x 1 0 1 a 0 1 1 1 a 当时 的单调减区间是 7 分 1 a xf 1 当时 与的情况如下 1a 2 10 x f x fx x 2 1 x 2 x 21 xx 1 x 1 x fx 0 0 f x 2 f x 1 f x 所以 的单调增区间是 单调减区间是和 8 分 f x 1 1 0 a 1 1 1 a 0 当时 的单调增区间是 单调减区间是 9 分0 a xf 0 0 1 综上 当时 的增区间是 减区间是 0a xf 0 0 1 当时 的增区间是 减区间是和 10 a f x 1 0 1 a 0 1 1 1 a 当时 的减区间是 1 a xf 1 当时 的增区间是 减区间是和 1a f x 1 1 0 a 1 1 1 a 0 10 分 由 知 时 在上单调递增 由 知不合题意 0a xf 0 0 0 f 11 分 当时 在的最大值是 10 a xf 0 1 1 f a 由 知不合题意 12 分 1 1 0 0ff a 当时 在单调递减 1 a xf 0 可得在上的最大值是 符合题意 xf 0 0 0 f 所以 在上的最大值是时 的取值范围是 14 分 xf 0 0a 1 用心 爱心 专心 13 20 本小题满分 13 分 已知数列 如果数列满足 12 nn Aa aa 12 nn Bb bb 1n ba 11kkkk baab 其中 则称为的 衍生数列 2 3 kn n B n A 若数列的 衍生数列 是 求 41234 Aa a a a 4 5 2 7 2 B 4 A 若为偶数 且的 衍生数列 是 证明 的 衍生数列 是 n n A n B n B n A 若为奇数 且的 衍生数列 是 的 衍生数列 是 依次将数列n n A n B n B n C 的第项取出 构成数列 n A n B n C 1 2 i in iiii a b c 证明 是等差数列 i 命题分析 本题考查新概念的数列问题 考查学生的自学能力 试题特点是设问很有层次 性 基本上前两个问题学生只要耐心认真做答都能够解答出来 考察学生代数推理能力 培 养学生逻辑思维 解 3 分 4 2 1 4 5 A 证法一 证明 由已知 111 n baaa 212121 n baabaaa 因此 猜想 4 分 1 1 i iin baaa 当时 猜想成立 1i 111 n baaa 假设时 ik k N 1 1 k kkn baaa 当时 1ik 11kkkk baab 11 1 k kkkn aaaaa 11 1 k kkkn aaaaa 1 11 1 k kn aaa 故当时猜想也成立 1ik 由 可知 对于任意正整数 有 7 分i 1 1 i iin baaa 设数列的 衍生数列 为 则由以上结论可知 n B n C 其中 111 1 1 1 iii iininn cbbbaaabb 1 2 3 in 用心 爱心 专心 14 由于为偶数 所以 n 11 1 n nnn baaaa 所以 其中 11 1 1 ii iinni caaaaaa 1 2 3 in 因此 数列即是数列 9 分 n