【走向高考】（2013春季发行）高三数学第一轮总复习 8-5双曲线配套训练（含解析）新人教B版

1 走向高考走向高考 20132013 春季发行 高三数学第一轮总复习春季发行 高三数学第一轮总复习 8 58 5 双双 曲线配套训练 含解析 新人教曲线配套训练 含解析 新人教 B B 版版 基础巩固强化 1 2012 深圳模拟 设椭圆C1的离心率为 焦点在x轴上且长轴长为 26 若曲线C2 5 13 上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于 8 则曲线C2的标准方程为 A 1 B 1 x2 42 y2 32 x2 132 y2 52 C 1 D 1 x2 32 y2 42 x2 132 y2 122 答案 A 分析 首先根据椭圆的离心率与长轴长求焦距 再根据双曲线的定义 求曲线C2的 标准方程 解析 在椭圆C1中 因为e 2a 26 所以椭圆的焦距 2c 10 根据题意 可 5 13 知曲线C2为双曲线 根据双曲线的定义可知 双曲线C2中的 2a 8 焦距与椭圆的焦距相 同 即 2c 10 可知b 3 所以双曲线的标准方程为 1 故选 A x2 42 y2 32 2 2012 东北三校联考 存在两条直线x m与双曲线 1 a 0 b 0 相交于 x2 a2 y2 b2 A B C D四点 若四边形ABCD为正方形 则双曲线的离心率的取值范围为 A 1 B 1 23 C D 23 答案 C 解析 依题意 不妨设直线AC的倾斜角为锐角 则直线AC的倾斜角为 45 该直 线与双曲线有两个不同的交点 因此有 tan45 1 双曲线的离心率e b a a2 b2 a 则该双曲线的离心率的取值范围是 选 C 1 b a 21 1222 3 2011 青岛一检 设F1 F2分别是双曲线x2 1 的左 右焦点 若点P在双曲 y2 9 线上 且 0 则 PF1 PF2 PF1 PF2 A B 2 1010 C D 2 55 答案 B 2 解析 F1 F2为双曲线的左右焦点 F1 0 F2 0 由向量加法的 1010 平行四边形法则及直角三角形斜边上的中线性质知 2 2 故选 B PF1 PF2 PO 10 4 文 中心在原点 焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点 4 2 则它的离 心率为 A B 65 C D 6 2 5 2 答案 D 解析 设双曲线的标准方程为 1 a 0 b 0 所以其渐近线方程为 x2 a2 y2 b2 y x 因为点 4 2 在渐近线上 所以 根据c2 a2 b2可得 化 b a b a 1 2 c2 a2 a2 1 4 为e2 故e 故选 D 5 4 5 2 理 已知F1 F2是双曲线 1 a 0 b 0 的两个焦点 以线段F1F2为边作正 x2 a2 y2 b2 MF1F2 若边MF1的中点在双曲线上 则双曲线的离心率为 A 4 2 B 1 33 C D 1 3 1 23 答案 D 解析 设线段MF1的中点为P 由已知 F1PF2为有一锐角为 60 的直角三角形 PF1 PF2 的长度分别为c和c 3 由双曲线的定义知 1 c 2a 3 e 1 2 3 13 5 文 已知双曲线 1 a 0 b 0 的一条渐近线方程是y x 它的一个焦点 x2 a2 y2 b23 3 在抛物线y2 24x的准线上 则双曲线的方程为 A 1 B 1 x2 36 y2 108 x2 9 y2 27 C 1 D 1 x2 108 y2 36 x2 27 y2 9 答案 B 解析 由题易知 b a3 且双曲线焦点为 6 0 6 0 则有a2 b2 36 由 知 a 3 b 3 3 双曲线方程为 1 故选 B x2 9 y2 27 理 2011 天津文 6 已知双曲线 1 a 0 b 0 的左顶点与抛物线 x2 a2 y2 b2 y2 2px p 0 的焦点的距离为 4 且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为 2 1 则双曲线的焦距为 A 2 B 2 35 C 4 D 4 35 答案 B 解析 由交点 2 1 得 2 p 4 p 2 抛物线方程为y2 8x F 2 0 又a a 2 4 a 2 p 2 双曲线的一条渐近线为y x 且过点 2 1 b a a 2b 0 b 1 c2 a2 b2 5 c 2c 2 故选 B 55 6 如图 F1 F2是双曲线 1 a 0 b 0 的左 右焦点 A1 A2是双曲线的两 x2 a2 y2 b2 个顶点 P是双曲线上不同于A1 A2的点 则分别以A1A2 F1P为直径的两个圆 4 A 相交 B 相切 C 相离 D 以上均有可能 答案 B 解析 取PF1的中点M 连接OM PF2 PF1 PF2 2a PF1 PF2 a 1 2 1 2 即 PF1 OM a 1 2 OM PF1 a R a 两圆相切 1 2 7 文 设双曲线 1 的右顶点为A 右焦点为F 过点F平行双曲线的一条渐 x2 9 y2 16 近线的直线与双曲线交于点B 则 AFB的面积为 答案 32 15 解析 如图 双曲线的渐近线方程为y x F 5 0 4 3 直线BF y x 5 4 3 解Error 得y 32 15 5 又 AF 5 3 2 S AFB 2 1 2 32 15 32 15 理 若双曲线 1 a 0 b 0 的两个焦点为F1 F2 P为双曲线上一点 且 x2 a2 y2 b2 PF1 3 PF2 则该双曲线离心率的取值范围是 答案 1 e 2 解析 由题意Error Error PF1 AF1 3a a c e 2 10 b 0 的离心率是 2 则的最 x2 a2 y2 b2 b2 1 3a 小值为 答案 2 3 3 6 解析 由离心率e 2 得 2 从而b a 0 c a3 所以 a b2 1 3a 3a2 1 3a 1 3a 2 2 当且仅当a a 1 3a 1 3 2 3 3 1 3a 即a 时 成立 3 3 理 P为双曲线x2 1 右支上一点 M N分别是圆 x 4 2 y2 4 和 x 4 y2 15 2 y2 1 上的点 则 PM PN 的最大值为 答案 5 解析 双曲线的两个焦点为F1 4 0 F2 4 0 为两个圆的圆心 半径分别为 r1 2 r2 1 PM max PF1 2 PN min PF2 1 故 PM PN 的最大值为 PF1 2 PF2 1 PF1 PF2 3 5 10 文 已知双曲线的中心在原点 焦点F1 F2在坐标轴上 离心率为 且过点 2 4 10 1 求双曲线的方程 2 若点M 3 m 在双曲线上 求证 0 MF1 MF2 3 在 2 的条件下 求 F1MF2的面积 解析 1 e 2 可设双曲线方程为x2 y2 0 双曲线过点 4 10 16 10 即 6 双曲线方程为 1 x2 6 y2 6 2 证明 法 1 由 1 可知 双曲线中a b 6 c 2 3 F1 2 0 F2 2 0 33 kMF 1 k MF 2 m 3 2 3 m 3 2 3 k MF 1 k MF2 m2 9 12 m2 3 点M 3 m 在双曲线上 m2 3 k MF 1 k MF2 1 MF1 MF2 7 即 0 MF1 MF2 法 2 2 3 m MF1 3 2 3 m MF2 3 2 3 2 3 m2 3 m2 MF1 MF2 33 点M在双曲线上 9 m2 6 即m2 3 0 0 MF1 MF2 3 F1MF2的底边长 F1F2 4 F1MF2的高h m 33 S F 1MF2 6 理 2013 陕西师大附中上学期一模 已知 ABC的边AB所在直线的方程为 x 3y 6 0 M 2 0 满足 点T 1 1 在边AC所在直线上 且 0 BM MC AT AB 1 求 ABC外接圆的方程 2 一动圆过点N 2 0 且与 ABC的外接圆外切 求此动圆圆心的轨迹 的方程 3 过点A斜率为k的直线与曲线 交于相异的P Q两点 满足 6 求k的取 OP OQ 值范围 解析 1 0 AT AB 从而直线AC的斜率为 3 AT AB 所以AC边所在直线的方程为y 1 3 x 1 即 3x y 2 0 由Error 得点A的坐标为 0 2 BM MC 8 M 2 0 为 Rt ABC外接圆的圆心 又r AM 2 2 0 2 0 2 22 所以 ABC外接圆的方程为 x 2 2 y2 8 2 设动圆圆心为P 因为动圆过点N 且与 ABC外接圆M外切 所以 PM PN 2 2 故点P的轨迹是以M N为焦点 实轴长为 2 半焦距c 2 的双曲线的左支 2 从而动圆圆心的轨迹 方程为 1 x 0 x2 2 y2 2 3 直线PQ方程为y kx 2 设P x1 y1 Q x2 y2 由Error 得 1 k2 x2 4kx 6 0 x 0 Error 解得 k0 的中心和左焦点 点P为双 x2 a2 曲线右支上的任意一点 则 的取值范围为 OP FP A 3 2 B 3 2 33 C D 7 4 7 4 答案 B 解析 a2 1 22 4 a2 3 双曲线方程为 y2 1 x2 3 9 设P点坐标为 x y 则 x y x 2 y OP FP y2 1 x2 2x y2 x2 3 OP FP x2 2x 1 x2 2x 1 x 2 x2 3 4 3 4 3 3 4 7 4 又 x 右支上任意一点 3 3 2 故选 B OP FP 3 12 文 2011 山东临沂一模 设F1 F2分别是双曲线 1 a 0 b 0 的左 x2 a2 y2 b2 右焦点 若双曲线右支上存在一点P满足 PF2 F1F2 且 cos PF1F2 则双曲线的渐 4 5 近线方程为 A 3x 4y 0 B 3x 5y 0 C 4x 3y 0 D 5x 4y 0 答案 C 解析 在 PF1F2中 由余弦定理得 cos PF1F2 PF1 2 F1F2 2 PF2 2 2 PF1 F1F2 PF1 2 4c PF1 PF1 4c 4 5 所以 PF1 c 16 5 又 PF1 PF2 2a 即c 2c 2a 所以c a 16 5 5 3 代入c2 a2 b2得 b a 4 3 因此 双曲线的渐近线方程为 4x 3y 0 理 ABC中 A为动点 B C为定点 B C 其中m 0 且m为常数 m 2 0 m 2 0 且满足条件 sinC sinB sinA 则动点A的轨迹方程为 1 2 A 1 B 1 16y2 m2 16x2 3m2 x2 16 y2 16 3 C 1 x D 1 16x2 m2 16y2 3m2 m 4 16x2 m2 16y2 3m2 答案 C 10 解析 依据正弦定理得 AB AC BC 16x2 m2 16y2 3m2 m 4 13 点A x0 y0 在双曲线 1 的右支上 若点A到右焦点的距离等于 2x0 则 x2 4 y2 32 x0 答案 2 解析 右焦点F 6 0 A点在双曲线上 14 文 2012 辽宁文 15 已知双曲线x2 y2 1 点F1 F2为其两个焦点 点P为 双曲线上一点 若PF1 PF2 则 PF1 PF2 的值为 答案 2 3 解析 本题考查了双曲线的概念 设 PF1 m PF2 n 根据双曲线的定义及已知条件可得 m n 2a 2 m2 n2 4c2 8 2mn 4 PF1 PF2 2 m n 2 m n 2 4mn 12 PF1 PF2 2 3 点评 充分利用PF1 PF2 将 PF1 PF2 2a 转化到 PF1 PF2 是解决本题 的关键 也可以设 PF2 x 利用定义及PF1 PF2建立x的方程求解 理 已知两个正数a b的等差中项为 椭圆 1 a b 的离心率为 则双曲 5 2 x2 a2 y2 b2 5 3 11 线 1 的离心率为 x2 a2 y2 b2 答案 13 3 解析 由条件知Error a2 b2 c2 a2 2a 3b b 2 a 3 5 9 双曲线的离心率e 32 22 3 13 3 15 设双曲线C y2 1 a 0 与直线l x y 1 相交于两个不同的点A B x2 a2 1 求双曲线C的离心率e的取值范围 2 设直线l与y轴的交点为P 若 求a的值 PA 5 12PB 解析 1 将y x 1 代入双曲线 y2 1 中得 1 a2 x2 2a2x 2a2 0 x2 a2 由题设条件知 Error 解得 0 a 且a 1 2 又双曲线的离心率e 1 a2 a 1 a2 1 0 a且e 2 6 22 2 设A x1 y1 B x2 y2 P 0 1 x1 y1 1 x2 y2 1 PA 5 12PB 5 12 x1 x2 5 12 x1 x2是方程 的两根 且 1 a2 0 x2 x 17 12 2a2 1 a2 5 12 2 2 2a2 1 a2 消去x2得 a 0 a 2a2 1 a2 289 60 17 13 16 文 2012 湖南师大附中第七次月考 已知双曲线的中心在原点 焦点在x轴上 其渐近线与圆x2 y2 10 x 20 0 相切 过点P 4 0 作斜率为的直线l 交双曲线左 7 4 支于A B两点 交y轴于点C 且满足 PA PB PC 2 1 求双曲线的标准方程 12 2 设点M为双曲线上一动点 点N为圆x2 y 2 2 上一动点 求 MN 的取值范 1 4 围 解析 1 设双曲线的渐近线方程为y kx 因为渐近线与圆 x 5 2 y2 5 相切 则 即k 5k k2 15 1 2 所以双曲线的渐近线方程为y x 1 2 设双曲线方程为x2 4y2 m 将y x 4 代入双曲线方程中整理得 7 4 3x2 56x 112 4m 0 所以xA xB xAxB 56 3 112 4m 3 因为 PA PB PC 2 点P A B C共线 且点P在线段AB上 则 xP xA xB xP xP xC 2 即 xB 4 4 xA 16 所以 4 xA xB xAxB 32 0 于是 4 32 0 解得m 4 56 3 112 4m 3 故双曲线方程是x2 4y2 4 即 y2 1 x2 4 2 设点M x y 圆x2 y 2 2 的圆心为D 则x2 4y2 4 点D 0 2 1 4 所以 MD 2 x2 y 2 2 4y2 4 y 2 2 5y2 4y 8 5 y 2 2 5 36 5 36 5 所以 MD 6 5 5 从而 MN MD 1 2 12 5 5 10 故 MN 的取值范围是 12 5 5 10 理 已知斜率为 1 的直线l与双曲线C 1 a 0 b 0 相交于B D两点 且 x2 a2 y2 b2 BD的中点为M 1 3 1 求C的离心率 2 设C的右顶点为A 右焦点为F DF BF 17 证明 过A B D三点的圆与 x轴相切 13 解析 1 由题意知 l的方程为 y x 2 代入C的方程并化简得 b2 a2 x2 4a2x 4a2 a2b2 0 设B x1 y1 D x2 y2 则x1 x2 x1 x2 4a2 b2 a2 4a2 a2b2 b2 a2 由M 1 3 为BD的中点知 1 故 1 x1 x2 2 1 2 4a2 b2 a2 即b2 3a2 故c 2a C的离心率e 2 a2 b2 c a 2 由 知 C的方程为 3x2 y2 3a2 A a 0 F 2a 0 x1 x2 2 x1 x2 0 b 0 的离心率为 2 一个焦 x2 a2 y2 b2 点与抛物线y2 16x的焦点相同 则双曲线的渐近线方程为 A y x B y x 3 2 3 2 C y x D y x 3 33 14 答案 D 解析 依题意得双曲线的半焦距c 4 由e 2 a 2 b 2 c ac2 a23 双曲线的焦点在x轴上 双曲线的渐近线方程为y x 故选 D 3 2 若双曲线过点 m n m n 0 且渐近线方程为y x 则双曲线的焦点 A 在x轴上 B 在y轴上 C 在x轴或y轴上 D 无法判断是否在坐标轴上 答案 A 解析 由双曲线的渐近线方程为y x 可设双曲线的方程为 x2 y2 将 m n 代入x2 y2 得 m2 n2 0 从而该双曲线的焦点在x轴上 3 2012 浙江文 8 如图 中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点 M N是双 曲线的两顶点 若M O N将椭圆长轴四等分 则双曲线与椭圆的离心率的比值是 A 3 B 2 C D 32 答案 B 解析 本题考查了椭圆与双曲线中离心率e的求法 设椭圆长轴长为 2a 则双曲线 实半轴长为 2a 4 a 2 因为椭圆与双曲线有公共焦点 所以离心率的比值 2 e1 e2 c a 2 c a 4 已知双曲线E的中心为原点 F 3 0 是E的焦点 过F的直线l与E相交于A B 15 两点 且AB的中点为N 12 15 则E的方程为 A 1 B 1 x2 3 y2 6 x2 4 y2 5 C 1 D 1 x2 6 y2 3 x2 5 y2 4 答案 B 解析 设双曲线的方程为 1 a 0 b 0 由题意知c 3 a2 b2 9 设 x2 a2 y2 b2 A x1 y1 B x2 y2 则有 Error 两式作差得 又AB的斜 y1 y2 x1 x2 b2 x1 x2 a2 y1 y2 4b2 5a2 率是 1 所以b2 a2 代入a2 b2 9 得 a2 4 b2 5 所以双曲线标准方程 1