八下压轴题-一次函数与几何-动点问题教师版

八年级下数学期末压轴题精选 1 等腰三角形存在性 2017 广西柳州 23 10 分 如图 在四边形 OABC 中 OA BC OAB 90 O 为原点 点 C 的坐标为 2 8 点 B 的坐标为 24 8 点 D 从点 B 出发 以每秒 1 个单位长度的速度沿 BC 向点 C 运动 点 E 同时从点 O 出发 以每秒 3 个单位长度的速度沿 OA 向 A 运动 当点 E 达到点 A 时 点 D 也停止运动 从运 动开始 设 D E 点运动的时间为 t 秒 1 连接 AD 记 ADE 得面积为 S 求 S 与 t 的函数关系式 写出 t 的取值范 围 2 当 t 为何值时 四边形 ABDE 是矩形 3 在 2 的条件下 当四边形 ABDE 是矩形 在 x 轴上找一点 P 使得 ADP 为等腰三角形 直接写出所有满足要求的 P 点的坐标 分析 1 根据三角形面积公式计算即可 2 当 BD AE 时 四边形 ABDE 是矩形 由此构建方程即可解决问题 3 分三种情形 当 AD AP 时 当 DA DP 时 当 PD PA 时 分别求解即 可 解答 解 1 如图 1 中 S 24 3t 8 12t 96 0 t 8 2 OA BD 当 BD AE 时 四边形 BDEA 是平行四边形 OAB 90 四边形 ABDE 是矩形 t 24 3t t 6s 当 t 6s 时 四边形 ABDE 是矩形 3 分三种情形讨论 由 2 可知 D 18 8 A 24 0 AD 10 当 AD AP 时 可得 P1 14 0 P2 34 0 当 DA DP 时 可得 P3 12 0 当 PD PA 时 设 PD PA x 在 Rt DP4E 中 x2 82 x 6 2 解得 x P4 0 综上所述 满足条件的点 P 坐标为 14 0 或 34 0 或 12 0 或 0 点评 本题考查四边形的综合题 矩形的判定和性质 等腰三角形的判定和 性质 勾股定理等知识 解题的关键是学会用转化的思想思考问题 学会用分 类讨论的思想解决问题 属于中考压轴题 2 直角三角形存在性 2017 深圳新华 如图 在平面直角坐标系中 O 是坐标原点 平行四边形的 顶点 C 的坐标为 8 8 顶点 A 的坐标为 6 0 边 AB 在 x 轴上 点 E 为 线段 AD 的中点 点 F 在线段 DC 上 且横坐标为 3 直线 EF 与 y 轴交于点 G 有一动点 P 以每秒 1 个单位长度的速度 从点 A 沿折线 A B C F 运动 当点 P 到达点 F 时停止运动 设点 P 运动时间为 t 秒 1 求直线 EF 的表达式及点 G 的坐标 2 点 P 在运动的过程中 设 EFP 的面积为 S P 不与 F 重合 试求 S 与 t 的函数关系式 3 在运动的过程中 是否存在点 P 使得 PGF 为直角三角形 若存在 请 直接写出所有符合条件的点 P 的坐标 若不存在 请说明理由 分析 1 根据点 C 的坐标可求出点 F 的纵坐标 结合题意可得出点 F 的坐 标 过点 E 作 EH x 轴于点 H 利用 AHE AOD 可求出点 E 的坐标 从而 利用待定系数法可确定直线 EF 的解析式 令 x 0 可得出点 G 的坐标 2 延长 HE 交 CD 的延长线于点 M 讨论点 P 的位置 当点 P 在 AB 上运动 时 当点 P 在 BC 边上运动时 当点 P 在 CF 上运动时 分别利用面积相减 法可求出答案 3 很明显在 BC 上存在两个点使 PGF 为直角三角形 这两点是通过 过点 G 作 GP EF 过点 F 作 FP EF 得出来的 解答 解 1 C 8 8 DC x 轴 点 F 的横坐标为 3 OD CD 8 点 F 的坐标为 3 8 A 6 0 OA 6 AD 10 过点 E 作 EH x 轴于点 H 则 AHE AOD 又 E 为 AD 的中点 AH 3 EH 4 OH 3 点 E 的坐标为 3 4 设过 E F 的直线为 y kx b 直线 EF 为 y x 6 令 x 0 则 y 6 即点 G 的坐标为 0 6 2 延长 HE 交 CD 的延长线于点 M 则 EM EH 4 DF 3 S DEF 3 4 6 且 S平行四边形 ABCD CD OD 8 8 64 当点 P 在 AB 上运动时 如图 3 S S平行四边形 ABCD S DEF S APE S四边形 PBCF AP t EH 4 S APE 4t 2t S四边形 PBCF 5 8 t 8 52 4t S 64 6 2t 52 4t 即 S 2t 6 当点 P 在 BC 边上运动时 S S平行四边形 ABCD S DEF S PCF S四边形 ABPE 过点 P 作 PN CD 于点 N C A sin A sin C PC 18 t PN PC sin C 18 t CF 5 S PCF 5 18 t 36 2t 过点 B 作 BK AD 于点 K AB CD 8 BK AB sin A 8 PB t 8 S四边形 ABPE t 8 5 t S 64 6 36 2t t 即 S t 8 分 当点 P 在 CF 上运动时 PC t 18 PF 5 t 18 23 t EM 4 S PEF 4 23 t 46 2t 综上 S 3 存在 P1 P2 3 一次函数与平行四边形 2016 山西晋中 1 在直角坐标系中 A 1 2 B 4 0 在图 1 中 四 边形 ABCD 为平行四边形 请写出图中的顶点 C 的坐标 5 2 2 平面内是否存在不同于图 1 的点 C 使得以 O A B C 为顶点的四边形 为平行四边形 请在图 2 中画出满足情况的平行四边形 并在图中直接标出点 C 的坐标 3 如图 3 在直角坐标系中 A 1 2 P 是 x 轴上一动点 在直线 y x 上 是否存在点 Q 使以 O A P Q 为顶点的四边形为平行四边形 若存在 画出 所有满足情况的平行四边形 并求出对应的 Q 的坐标 若不存在 请说明理 由 分析 1 根据平行四边形的性质对边相等 即可解决问题 2 存在 注意有两种情形 点 C 坐标根据平行四边形的性质即可解决 3 存在 如图 3 中所示 平行四边形 AQ1P1O 平行四边形 AOQ2P2 平行四边 形 AQ1OP2 点 Q 的坐标根据平行四边形的性质即可解决 解答 解 1 如图 1 中 四边形 ABCD 是平行四边形 OB AC OB AC A 1 2 B 4 0 AC 4 点 C 坐标 5 2 故点 C 坐标为 5 2 2 存在 点 C 坐标如图 2 中所示 3 存在 如图 3 中所示 平行四边形 AQ1P1O 平行四边形 AOQ2P2 平行四边 形 AQ1OP2 点 Q1 2 2 点 Q2 2 2 点评 本题考查四边形综合题 点与坐标的关系等知识 解题的关键是学会 正确画出图形 学会分类讨论 不能漏解 属于中考常考题型 2017 襄阳 25 11 分 如图 平面直角坐标系中 直线 l y x 分 别交 x 轴 y 轴于 A B 两点 点 C 在 x 轴负半轴上 且 ACB 30 1 求 A C 两点的坐标 2 若点 M 从点 C 出发 以每秒 1 个单位长度的速度沿射线 CB 运动 连接 AM 设 ABM 的面积为 S 点 M 的运动时间为 t 求出 S 关于 t 的函数关系式 并写出自变量的取值范围 3 点 P 是 y 轴上的点 在坐标平面内是否存在点 Q 使以 A B P Q 为顶 点的四边形是菱形 若存在 请直接写出 Q 点的坐标 若不存在 说明理由 分析 1 由直线方程易得点 A 的坐标 在直角 BOC 中 利用 30 度所对的 直角边等于斜边的一半求出 BC 的长 利用勾股定理求出 OC 的长 确定出 C 的 坐标即可 2 先求出 ABC 90 分两种情况考虑 当 M 在线段 BC 上 当 M 在线段 BC 延长线上 表示出 BM 利用三角形面积公式分别表示出 S 与 t 的函数关系式即 可 3 点 P 是 y 轴上的点 在坐标平面内存在点 Q 使以 A B P Q 为顶点的 四边形是菱形 分两种情况 如图所示 利用菱形的性质求出 AQ 的长 根据 AQ 与 y 轴平行得到 Q 与 A 横坐标相同 求出满足题意 Q 得坐标即可 解答 解 1 当 x 0 时 y 当 y 0 时 x 1 点 A 坐标为 1 0 点 B 坐标为 0 在 Rt BOC 中 OCB 30 OB BC 2 OC 3 点 C 坐标为 3 0 2 如图 1 所示 OA 1 OB AB 2 ABO 30 同理 BC 2 OCB 30 OBC 60 ABC 90 分两种情况考虑 若 M 在线段 BC 上时 BC 2 CM t 可得 BM BC CM 2 t 此时 S ABM BM AB 2 t 2 2 t 0 t 2 若 M 在 BC 延长线上时 BC 2 CM t 可得 BM CM BC t 2 此时 S ABM BM AB t 2 2 t 2 t 2 综上所述 S 3 P 是 y 轴上的点 在坐标平面内存在点 Q 使以 A B P Q 为顶点的四 边形是菱形 如 2 图所示 当 P 在 y 轴正半轴上 四边形 ABPQ 为菱形 可得 AQ AB 2 且 Q 与 A 的横坐 标相同 此时 Q 坐标为 1 2 AP AQ Q 与 A 的横坐标相同 此时 Q 坐标为 1 当 P 在 y 轴负半轴上 四边形 ABPQ 为菱形 可得 AQ AB 2 且 Q 与 A 横坐标 相同 此时 Q 坐标为 1 2 BP 垂直平分 AQ 此时 Q 坐标为 1 0 综上 满足题意 Q 坐标为 1 2 1 2 1 1 0 点评 此题属于一次函数综合题 涉及的知识有 含 30 度直角三角形的性质 勾股定理 坐标与图形性质 待定系数法求一次函数解析式 菱形的性质 利 用了分类讨论的思想 熟练掌握待定系数法是解本题第二问的关键 4 4 一次函数与矩形一次函数与矩形 2017 重庆江津 26 12 分 如图 在平面直角坐标系中 一次函数 y mx n m 0 的图象与 x 轴交于点 A 3 0 与 y 轴交于点 B 且与正比 例函数 y 2x 的图象交于点 C 3 6 1 求一次函数 y mx n 的解析式 2 点 P 在 x 轴上 当 PB PC 最小时 求出点 P 的坐标 3 若点 E 是直线 AC 上一点 点 F 是平面内一点 以 O C E F 四点为顶点 的四边形是矩形 请直接写出点 F 的坐标 分析 1 由 A C 坐标 可求得答案 2 由一次函数解析式可求得 B 点坐标 可求得 B 点关于 x 轴的对称点 B 的 坐标 连接 B C 与 x 轴的交点即为所求的 P 点 由 B C 坐标可求得直线 B C 的解析式 则可求得 P 点坐标 3 分两种情形分别讨论即可 当 OC 为边时 四边形 OCFE 是矩形 此时 EO OC 当 OC 为对角线时 四边形 OE CF 是矩形 此时 OE AC 解答 解 1 一次函数 y mx n m 0 的图象经过点 A 3 0 点 C 3 6 解得 一次函数的解析式为 y x 3 2 如图 1 中 作点 P 关于 x 轴的对称点 B 连接 CB 交 x 轴于 P 此时 PB PC 的值最小 B 0 3 C 3 6 B 3 0 直线 CB 的解析式为 y 3x 3 令 y 0 得到 x 1 P 1 0 3 如图 当 OC 为边时 四边形 OCFE 是矩形 此时 EO OC 直线 OC 的解析式为 y 2x 直线 OE 的解析式为 y x 由 解得 E 2 1 EO CF OE CF F 1 7 当 OC 为对角线时 四边形 OE CF 是矩形 此时 OE AC 直线 OE 的解析式为 y x 由 解得 E OE CF OE CF F 综上所述 满足条件的点 F 的坐标为 1 7 或 点评 本题考查一次函数综合题 轴对称最短问题 矩形的判定和性质等知 识 解题的关键是学会利用对称解决最短问题 学会用分类讨论的思想思考问 题 属于中考压轴题 5 一次函数与正方形 如图 1 四边形 AOBC 是正方形 点 C 的坐标是 0 1 求点 A 的坐标点和正方形 AOBC 的面积 2 将正方形绕点 O 顺时针旋转 45 求旋转后的正方形与原正方形的重叠 部分的面积 3 如图 2 动点 P 从点 O 出发 沿折线 O A C B 方向以 1 个单位 每秒 匀速运动 另一动点 Q 从点 C 出发 沿折线 C B O A 方向以 2 个单位 每秒 匀速运动 P Q 两点同时出发 当 Q 运动到点 A 时 P Q 同时停止运动 设运 动时间为 t 秒 是否存在这样的 t 值 使 OPQ 成为等腰三角形 若存在 直 接写出 t 的值 若不存在 请说明理由 分析 1 连接 AB 根据 OCA 为等腰三角形可得 AD OD 的长 从而得出点 A 的坐标 则得出正方形 AOBC 的面积 2 根据旋转的性质可得 OA 的长 从而得出 A C A E 再求出面积即可 3 存在 从 Q 点在不同的线段上运动情况 可分为三种 当 Q 点在 BC 上时 使 OQ QP 则有 OP 2BQ 而 OP t BQ 4 2t 列式可得 出 t 当 Q 点在 OB 上时 使 OQ OP 而 OP t OQ 8 2t 列式可得出 t 当 Q 点在 OA 上时 使 OQ PQ 列式可得出 t 解答 解 1 如图 1 连接 AB 与 OC 交于点 D 由 OCA 为等腰 Rt 得 AD OD OC 2 故点 A 的坐标为 2 2 故正方形 AOBC 的面积为 4 4 16 2 如图 1 旋转后可得 OA OB 4 则 A C 4 4 而可知 CA E 90 OCB 45 故 A EC 是等腰直角三角形 则 A E A C 4 4 故 S四边形 OA EB S OBC S A EC 16 16 3 存在 从 Q 点在不同的线段上运动情况 可分为三种 如图 2 当 Q 点在 BC 上时 使 OQ QP QM 为 OP 的垂直平分线 则有 OP 2OM 2BQ 而 OP t BQ 4 2t 则 t 2 4 2t 解得 t 如图 3 当 Q 点在 OB 上时 使 OQ OP 而 OP t OQ 8 2t 则 t 8 2t 解得 t 当 Q 点在 OA 上时 如图 4 使 OQ PQ t2 24t 96 0 解得 t 12 4 舍去 t 12 4 点评 此题考查了正方形的性质 等腰三角形的判定以及旋转的性质 是中 考压轴题 综合性较强 难度较大 6 四边形综合 1 2017 武汉新洲 如图 正方形 ABCD 中 P 为 AB 边上任意一点 AE DP 于 E 点 F 在 DP 的延长线上 且 EF DE 连接 AF BF BAF 的平分线交 DF 于 G 连接 GC 1 求证 AEG 是等腰直角三角形 2 求证 AG CG DG 分析 1 根据线段垂直平分线的定义得到 AF AD 根据等腰三角形的性质 角平分线的定义证明即可 2 作 CH DP 交 DP 于 H 点 证明 ADE DCH AAS 得到 CH DE DH AE EG 证明 CG GH AG DH 计算即可 解答 1 证明 DE EF AE DP AF AD AFD ADF ADF DAE PAE DAE 90 AFD PAE AG 平分 BAF FAG GAP AFD FAE 90 AFD PAE FAP 90 2 GAP 2 PAE 90 即 GAE 45 AGE 为等腰直角三角形 2 证明 作 CH DP 交 DP 于 H 点 DHC 90 AE DP AED 90 AED DHC ADE CDH 90 CDH DCH 90 ADE DCH 在 ADE 和 DCH 中 ADE DCH AAS CH DE DH AE EG EH EG EH HD 即 GH ED GH CH CG GH AG EG AG DH CG AG GH HD CG AG GH HD 即 CG AG DG 2 2017 天津 24 8 分 如图 1 正方形 ABCD 的对角线 AC BD 相交于 点 O E 是 AC 上一点 连结 EB 过点 A 作 AM BE 垂足为 M AM 与 BD 相交于 点 F 1 求证 OE OF 2 如图 2 若点 E 在 AC 的延长线上 AM BE 于点 M AM 交 DB 的延长线于 点 F 其他条件不变 结论 OE OF 还成立吗 如果成立 请给出证明 如果 不成立 请说明理由 分析 1 根据正方形的性质对角线垂直且平分 得到 OB OA 又因为 AM BE 所以 MEA MAE 90 AFO MAE 从而求证出 Rt BOE Rt AOF 得到 OE OF 2 根据第一步得到的结果以及正方形的性质得到 OB OA 再根据已知条件求 证出 Rt BOE Rt AOF 得到 OE OF 解答 解 1 四边形 ABCD 是正方形 BOE AOF 90 OB OA 又 AM BE MEA MAE 90 AFO MAE MEA AFO 在 BOE 和 AOF 中 BOE AOF OE OF 2 OE OF 成立 四边形 ABCD 是正方形 BOE AOF 90 OB OA 又 AM BE F MBF 90 E OBE 90 又 MBF OBE F E 在 BOE 和 AOF 中 BOE AOF OE OF 点评 本题主要考查正方形的性质和全等三角形的判定与性质 将待求线段 放到两个三角形中 通过证明三角形全等得到对应边相等是解题的关键 7 动点问题 1 2017 黄石大冶 如图 1 正方形 ABCD 的边长为 6cm 点 F 从点 B 出发 沿射线 AB 方向以 1cm 秒的速度移动 点 E 从点 D 出发 向点 A 以 1cm 秒的速 度移动 不到点 A 设点 E F 同时出发移动 t 秒 1 在点 E F 移动过程中 连接 CE CF EF 则 CEF 的形状是 始 终保持不变 2 如图 2 连接 EF 设 EF 交 BD 于点 M 当 t 2 时 求 AM 的长 3 如图 3 点 G H 分别在边 AB CD 上 且 GH 3cm 连接 EF 当 EF 与 GH 的夹角为 45 求 t 的值 解答 解 1 等腰直角三角形 理由如下 如图 1 在正方形 ABCD 中 DC BC D ABC 90 依题意得 DE BF t 在 CDE 与 CBF 中 CDE CBF SAS CF CE DCE BCF ECF BCF BCE DCE BCE BCD 90 CEF 是等腰直角三角形 故答案是 等腰直角三角形 2 如图 2 过点 E 作 EN AB 交 BD 于点 N 则 NEM BFM END ABD EDN 45 EN ED BF 在 EMN 与 FMB 中 EMN FMB AAS EM FM Rt AEF 中 AE 4 AF 8 EF 4 AM EF 2 3 如图 3 连接 CE CF EF 与 GH 交于 P 由 1 得 CFE 45 又 EPQ 45 GH CF 又 AF DC 四边形 GFCH 是平行四边形 CF GH 3 在 Rt CBF 中 得 BF 3 t 3 点评 本题考查了四边形综合题 解题过程中 涉及到了平行四边形的判定 与性质 全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用 解答该类题目时 要 巧妙的作出辅助线 构建几何模型 利用特殊的四边形的性质 或者全等三角 形的性质 得到相关线段间的数量关系 从而解决问题 2 2017 成都金堂 28 12 分 如图 边长为 a 正方形 OABC 的边 OA OC 在坐标轴上 在 x 轴上线段 PQ a Q 在 A 的右边 P 从 A 出发 以每秒 1 个单 位的速度向 O 运动 当点 P 到达点 O 时停止运动 运动时间为 t 连接 PB 过 P 作 PB 的垂线