2010-2011学年高中物理 第五章 曲线运动 第5节 第6节同步学案 新人教版必修2

用心 爱心 专心1 第第 5 5 节节 圆周运动圆周运动 要点一要点一 对匀速圆周运动的理解对匀速圆周运动的理解 1 1 匀速的含义 匀速的含义 1 速度的大小不变 即速率不变 2 转动快慢不变 即角速度不变 由 2 f 故周期或频率都不变 t 2 T 2 2 运动性质 运动性质 1 速度的方向时刻改变 所以匀速圆周运动是一种变速运动 2 速度的大小即速率不变 所以匀速圆周运动是匀速率运动 要点二要点二 公式公式 v v r r 中各量的关系中各量的关系 线速度 v 和角速度 都可以用来描述圆周运动的快慢 公式 v r 反映了它们和 半径之间的关系 1 r 一定时 v 举例 1 齿轮边缘处的质点随齿轮转速的增大 角速度和线速度都增大 2 骑自行车时行驶越快 车轮转得越快 角速度就越大 车轮边缘上各点的线速度就 越大 2 一定时 v r 举例 1 时钟上的分针转动时 其上各点的角速度相等 但分针上离圆心越远的点 r 越大 v 也就越大 2 地球上各点都在绕地轴做圆周运动 且角速度相同 但地球表面纬度越低的地方 到地轴的距离就越大 因此线速度就越大 赤道上各点的线速度最大 3 v 一定时 1 r 图 5 5 2 举例 如图 5 5 2 所示的皮带传动装置中 两轮边缘上各点的线速度大小相等 但 大轮的 r 较大 所以 较小 总之 v r 间的关系是瞬时对应的 分析 v r 之间的关系 一定要先确立 其中一个量不变 再讨论另外两个量的正比 反比关系 4 线速度 v 与角速度 的异同 v 与 都是描述做匀速圆周运动质点运动快慢的物理量 但两者都无法全面 准确地 反映质点的运动状态 它们都有一定的局限性 例如地球绕太阳运动的线速度是 3 104 m s 但它的角速度却很小 只有 2 10 7 rad s 两者的关系 v r 要准确理解 只有 r 一定时 v 与 才成正比 要点三要点三 常见的传动装置及其特点常见的传动装置及其特点 1 共轴传动 用心 爱心 专心2 图 5 5 3 A 点和 B 点在同轴的一个圆盘上 如图 5 5 3 所示 圆盘转动时 它们的线速度 角速度 周期存在以下定量关系 A B TA TB vA vB r R 并且转动方向相同 2 皮带传动 A 点和 B 点分别是两个轮子边缘的点 两个轮子用皮带连起来 图 5 5 4 并且皮带不打滑 如图 5 5 4 所示 轮子转动时 它们的线速度 角速度 周期存 在以下定量关系 vA vB A B r R TA TB R r 并且转动方向相同 3 齿轮传动 图 5 5 5 A 点和 B 点分别是两个齿轮边缘上的点 两个齿轮轮齿啮合 如图 5 5 5 所示 齿 轮转动时 它们的线速度 角速度 周期存在以下定量关系 vA vB TA TB r1 r2 n1 n2 A B r2 r1 n2 n1 式中 n1 n2分别表示两齿轮的齿数 两点转动方向相反 说明说明 在处理传动装置中各物理量间的关系时 关键是确定其相同的量 线速度或角速 度 再由描述圆周运动的各物理量间的关系 确定其他各量间的关系 1 1 匀速圆周运动和匀速直线运动的性质一样吗 匀速圆周运动和匀速直线运动的性质一样吗 研究物体的运动一般会涉及速度 速度是描述物体运动的一个重要的物理参量 速度 是矢量 不仅可以描述运动快慢 同时也描述运动方向 矢量是大小和方向的统一体 其 方向和大小同样重要 这两者是标志矢量变与不变的两个必要因素 这两个因素只要有一 个变化 就会导致矢量的变化 匀速圆周运动和匀速直线运动 这两种运动形式的共同点是运动快慢保持不变 这就 是所谓的匀速 即速度的大小保持不变 但仅仅以速度的大小来描述物体运动是不全面的 用心 爱心 专心3 我们还得研究速度的方向 匀速直线运动速度的方向是一直保持不变的 是一种速度保持 不变的运动 而匀速圆周运动的速度沿圆周的切线方向 在运动过程中时刻在变 是一种 变速运动 所以它们是两种截然不同的两种运动 2 2 为什么要用线速度和角速度两个物理量描述圆周运动的快慢 为什么要用线速度和角速度两个物理量描述圆周运动的快慢 线速度与角速度都是描述匀速圆周运动的质点运动快慢的物理量 线速度侧重于物体 通过弧长快慢的程度 而角速度侧重于质点转过角度的快慢程度 它们都有一定的局限性 任何一个速度 v 或 都无法全面 准确地反映出做匀速圆周运动的质点的运动状态 例 如地球围绕太阳运动的线速度是 3 104 m s 这个数值是较大的 但它的角速度却很小 其值为 2 10 7 rad s 我们不能从它的线速度大就得出它做圆周运动快的结论 同样也不 能从它的角速度小就得出它做圆周运动慢的结论 事实上是因为地球绕太阳做圆周运动的 轨道半径很大 所以线速度较大 但由于一年才转一周 角速度很小 因此 为了全面 准确地描述质点做圆周运动的状态 必须同时用线速度和角速度进行描述 3 3 描述圆周运动的各物理量之间的关系是怎样的 它们是如何描述圆周运动的 描述圆周运动的各物理量之间的关系是怎样的 它们是如何描述圆周运动的 1 线速度和角速度间的关系 如果物体沿半径为 r 的圆周做匀速圆周运动 在时间 t 内通过的弧长是 l 半径 转过的角度是 由数学知识知 l r 于是有 v r 即 v r l t r t 上式表示 r 一定时 v 与 成正比 一定时 v 与 r 成正比 v 一定时 与 r 成反比 2 线速度与周期的关系 由于做匀速圆周运动的物体 在一个周期内通过的弧长为 2 r 所以有 v 2 r T 上式表明 只有当半径相同时 周期小的线速度大 当半径不同时 周期小的线速度 不一定大 所以 周期与线速度描述的快慢是不一样的 若比较物体沿圆周运动的快慢看 线速度 若比较物体绕圆心运动的快慢看周期 角速度 3 角速度与周期的关系 由于做匀速圆周运动的物体 在一个周期内半径转过的角度为 2 则有 2 T 上式表明 角速度与周期一定成反比 周期大的角速度一定小 4 考虑频率 f 则有 2 f v 2 fr 5 而频率 f 与 n 的关系为 f n 以上各物理量关系有 v r r 2 fr 2 nr 2 T 一 描述圆周运动的物理量的理解一 描述圆周运动的物理量的理解 例例 1 1 关于做匀速圆周运动的物体的线速度 角速度 周期的关系 下面说法中正确 的是 A 线速度大的角速度一定大 B 线速度大的周期一定小 C 角速度大的半径一定小 D 角速度大的周期一定小 解析解析 解决这类题目的方法是 确定哪个量不变 寻找各物理量之间的联系 灵活选 用心 爱心 专心4 取公式进行分析 由 v r 知 r 一定时 v 与 成正比 v 一定时 与 r 成反比 故 A C 均错 由 v 知 r 一定时 v 越大 T 越小 B 错 而 可知 越大 2 r T 2 T T 越小 故 D 对 答案答案 D 方法总结方法总结 公式 v r 在半径不确定的情况下 不能由角速度大小判断线速度大小 也不能由 线速度大小判断角速度的大小 但由 可看出 角速度越大 周期越小 2 T 二 传动装置中各物理量间的关系问题二 传动装置中各物理量间的关系问题 例例 2 2 如图 5 5 6 所示的传动装置中 B C 两轮固定在一起绕同一转轴转动 A B 两轮用皮带转动 三轮半径关系是 rA rC 2rB 若皮带不打滑 求 A B C 轮边缘的 a b c 三质点的角速度之比和线速度之比 图 5 5 6 解析解析 A B 两轮通过皮带转动 且皮带不打滑 则 A B 两轮边缘的线速度大小相等 即 va vb或 va vb 1 1 由 v r 得 a b rB rA 1 2 B C 两轮固定在一起绕同一轴转动 则 B C 两轮的角速度相同 即 b c或 b c 1 1 由 v r 得 vb vc rB rC 1 2 由 得 a b c 1 2 2 由 得 va vb vc 1 1 2 答案答案 1 2 2 1 1 2 方法总结方法总结 1 要熟悉传动装置的特点 1 皮带传动 线速度大小相等 2 同轴传动 角速度相等 3 齿轮传动 线速度大小相等 4 摩擦传动 线速度大小相等 2 要弄清哪些物理量相等 再联立 v r 去分析 三 与圆周运动结合的综合三 与圆周运动结合的综合问题问题 例例 3 3 如图 5 5 7 所示 用心 爱心 专心5 图 5 5 7 直径为 d 的纸制圆筒以角速度 绕垂直纸面的轴 O 匀速转动 图示为截面 从枪口发 射的子弹沿直径穿过圆筒 若子弹在圆筒旋转不到半周时 在圆周上先后留下 a b 两个弹 孔 已知 aO 与 bO 夹角为 求子弹的速度 解析解析 通过圆周运动转过的角度求出运动的时间 该运动时间也是直线运动的时间 再根据直线运动的位移 即可求出直线运动的速度 子弹射出后沿直线运动 从 a 点射入 从 b 点射出 该过程中圆筒转过的角度为 设子弹速度为 v 则子弹穿过圆筒的时间 t d v 此时间内圆筒转过的角度 据 t 得 则子弹速度 v d v d 答案答案 d 方法总结方法总结 解决此类问题关键要抓住物体做直线运动的时间与圆周运动的时间相等 若无角度的 限 制 转过的角度应加上 2 n n 1 2 3 注意题目给出的条件 1 对于匀速圆周运动 下列说法中错误的是 A 线速度不变 B 角速度不变 C 周期不变 D 转速不变 答案答案 A 2 下列物理量是矢量的有 A 线速度 B 周期 C 频率 D 转速 答案答案 A 3 机械手表中的时针与分针可视为匀速转动 时针与分针从第一次重合到第二次重合 中间经历的时间为 A 1 h B h C h D h 11 12 12 12 12 11 答案答案 D 4 关于匀速圆周运动的角速度和线速度 下列说法正确的是 A 半径一定 角速度与线速度成反比 B 半径一定 角速度与线速度成正比 C 线速度一定 角速度与半径成正比 D 角速度一定 线速度与半径成反比 答案答案 B 用心 爱心 专心6 解析解析 由 v r 可知 r 一定时 v 故 A 错 而 B 正确 v 一定时 1 r 故 C 错 一定时 v r 故 D 错 5 由 嫦娥奔月 到 万户飞天 由 东方红 乐曲响彻寰宇到航天员杨利伟遨游 太空 中华民族载人航天的梦想已变成现实 神舟 五号飞船升空后 先运行在近地点高 度 200 千米 远地点高度 350 千米的椭圆轨道上 实施变轨后 进入 343 千米的圆轨 道 假设 神舟 五号实施变轨后做匀速圆周运动 共运行了 n 周 起始时刻为 t1 结束 时刻为 t2 运行速度为 v 半径为 r 则计算其运行周期可用 A T B T t2 t1 n t1 t2 n C T D T 2 r v 2 v r 答案答案 AC 解析 由题意可知飞船做匀速圆周运动 n 周所需时间 t t2 t1 故其周期 T 故选项 A 正确 由周期公式有 T 故选项 C 正确 t n t2 t1 n 2 r v 6 如图 5 5 8 所示 图 5 5 8 竖直薄壁圆筒内壁光滑 其半径为 R 上部侧面 A 处开有小口 在小口 A 的正下方 h 处亦开有与 A 大小相同的小口 B 小球从小口 A 沿切线方向水平射入筒内 使小球紧贴筒 内壁运动 要使小球从 B 口处飞出 小球进入 A 口的最小速率 v0为 A R B R g 2h 2g h C R D 2 R 2h g g h 答案答案 B 解析解析 小球在竖直方向上做自由落体运动 则 h gt2 又由于圆筒内壁光滑 故小 1 2 球沿水平方向做匀速圆周运动 若小球恰能从 B 点飞出 则水平方向做圆周运动的最短路 程 s 2 R 所以小球刚进入入口时的速度为 v 2 R R 故 B 选项正确 s t g 2h 2g h 7 如图 5 5 9 所示为一皮带传送装置 图 5 5 9 a b 分别是两轮边缘上的两点 c 处在 O1轮上 且有 ra 2rb 2rc 下列关系正确的 有 A va vb 用心 爱心 专心7 B a b C va vc D a c 答案答案 AD 解析解析 由皮带传动特点可知 va vb 所以 A 正确 再由 v r 可知 B 错 a b rb ra 1 2 误 由共轴传动特点可知 a c D 正确 再由 v r 可知 所以 C 错 va vc ra rc 2 1 误 8 如图 5 5 10 所示的传动装置中 A B C 三个轮子的半径 rA rC 2rB A B 两 轮共轴 在皮带不打滑时 三个轮子转动的角速度之比 A B C 三个轮 子边缘上各点的线速度之比 vA vB vC 三个轮子边缘上各点的周期之比 TA TB TC 图 5 5 10 答案答案 2 2 1 2 1 1 1 1 2 解析解析 因同一轮子上各点的角速度都相等 皮带传动 皮带 不打滑 中与皮带接触的轮缘上各点的线速度大小都相等 因各点在相等的时间内转过 的圆弧长度相等 故 A B B C 轮缘上点的线速度相等 即 vB vC 由于 v r 所 以 B C rC rB 2 1 故 vB rB vC rC A B C 2 2 1 vA vB vC ArA BrB CrC 2 1 1 由于 T 故 2 TA TB TC 1 1 2 题型题型 基本物理量的理解与应用基本物理量的理解与应用 地球半径 R 6 400 km 站在赤道上的人和站在北纬 60 上的人随地球转动 的角速度多大 它们的线速度多大 答案答案 两人的角速度相同 为 7 3 10 5 rad s 线速度分别为 467 2 m s 和 233 6 m s 解析解析 站在地球上的人随地球做匀速圆周运动 其周期相同 用心 爱心 专心8 如右图所示 作出地球自转示意图 设赤道上的人站在 A 点 北纬 60 上的人站在 B 点 地球自转角速度不变 A B 两点的角速度相同 有 A B rad s 7 3 10 5 rad s 2 T 2 3 14 24 3 600 依题意可知 A B 两处站立的人随地球自转做匀速圆周运动的半径分别为 RA R RB Rcos 60 则由 v r 可知 A B 两点的线速度分别为 vA ARA 7 3 10 5 6 400 103 m s 467 2 m s vB BRB 7 3 10 5 6 400 103 cos 60 m s 233 6 m s 拓展探究拓展探究 静止在地球上的物体都要随地球一起转动 下列说法正确的是 A 它们的运动周期都是相同的 B 它们的线速度都是相同的 C 它们的线速度大小都是相同的 D 它们的角速度是不同的 答案答案 A 解析解析 如右图所示 地球绕自转轴转动时 地球上各点的运动周期及角速度都是相同的 地球表面上的物 体 随地球做圆周运动的平面是物体所在纬度线平面 其圆心分布在整条自转轴上 不同 纬度处物体圆周运动的半径是不同的 只有同一纬度处的物体转动半径相等 线速度的大 小才相等 但即使物体的线速度大小相同 方向也各不相同 归纳总结归纳总结 分析质点做圆周运动的物理量 要先确定质点做圆周运动的轨迹所在的平面 以及圆 周运动圆心的位置 从而确定圆周的半径 然后由 v 的定义式及 v R 的关系式 来计算或讨论 题型题型 传动装置的问题传动装置的问题 如图 1 是自行车传动机构的示意图 其中 是半径为 r1的大齿轮 是半径 为 r2的小齿轮 是半径为 r3的后轮 假设脚踏板的转速为 n r s 则自行车前进的速度 为 图 1 A B nr1r3 r2 nr2r3 r1 用心 爱心 专心9 C D 2 nr1r3 r2 2 nr2r3 r1 答案答案 C 解析解析 前进速度即为 轮的线速度 由同一个轮上的角速度相等 同一条线上的线速 度相等可以得 1r1 2r2 3 2 再有 1 2 n v r 所以 v 2 nr1r3 r2 拓展探究拓展探究 如图 2 所示 图 2 两轮通过边缘接触 形成摩擦传动装置 设接触处无打 滑现象 已知大轮 B 的半径是 小轮 A 的半径的 2 倍 设主动轮 A 转动时其边缘的角速度为 线速度为 v 求 1 A B 两轮的转动周期之比 2 B 轮转动的角速度 答案答案 1 1 2 2 1 2 解析解析 A B 两轮的边缘点线速度大小相等 1 由于两轮边缘线速度大小相等 由公式 v 可得 两轮周期之比 2 r T TA TB rA rB 1 2 2 由公式 v r 可得 两轮的角速度之比 2 B A A B rB rA 1 2 1 2 归纳总结归纳总结 分析传动问题 要抓住不等量和相等量的关系 要特别注意以下两点 1 同轴的各点角速度 转速 周期相等 线速度与半径成正比 2 在不考虑皮带打滑的情况下 皮带上各点与传动轮上各点线速度大小相等 而角速 度与半径成反比 题型题型 圆周运动与其他运动的结合问题圆周运动与其他运动的结合问题 如图 3 所示 图 3 小球 A 在光滑的半径为 R 的圆形槽内做匀速圆周运动 当它运动到图中的 a 点时 在 圆形槽中心 O 点正上方 h 处 有一小球 B 沿 Oa 方向以某一初速度水平抛出 结果恰好在 a 点与 A 球相碰 求 1 B 球抛出时的水平初速度 2 A 球运动的线速度最小值 答案答案 1 R 2 2 R g 2h g 2h 解析解析 1 小球 B 做平抛运动 其在水平方向上做匀速直线运动 则 R v0t 用心 爱心 专心10 在竖直方向上做自由落体运动 则 h gt2 1 2 由 得 v0 R R t g 2h 2 A 球的线速度 vA 2 Rn 2 R T 2 R t n g 2h 当 n 1 时 其线速度最小 即 vmin 2 R g 2h 归纳总结归纳总结 与圆周运动相结合的综合问题 解决的关键要抓住物体运动与圆周运动的时间相等 还 要注意圆周运动的周期性 1 关于匀速圆周运动的说法中正确的是 A 匀速圆周运动是匀速运动 B 匀速圆周运动是变速运动 C 匀速圆周运动的线速度不变 D 匀速圆周运动的角速度不变 答案答案 BD 2 甲沿着半径为 R 的圆周跑道匀速跑步 乙沿着半径为 2R 的圆周跑道匀速跑步 在 相同的时间内 甲 乙各自跑了一圈 他们的角速度和线速度分别为 1 2和 v1 v2 则 A 1 2 v1 v2 B 1 2 v1 v2 C 1 2 v1v2 答案答案 C 解析解析 由 知 甲 乙两人角速度相同 又由 v 知 v1 v2 故 C 正确 2 T 2 r T 3 如图 4 所示 图 4 静止在地球上的物体都要随地球一起转动 a 是位于赤道上的一点 b 是位于北纬 30 的一点 则下列说法正确的是 A a b 两点的运动周期都相同 B 它们的角速度是不同的 C a b 两点的线速度大小相同 D a b 两点线速度大小之比为 2 3 用心 爱心 专心11 答案答案 AD 解析解析 如题图所示 地球绕自转轴转动时 地球上各点的周期及角速度都是相同 的 地球表面物体做圆周运动的平面是物体所在纬度线平面 其圆心分布在整条自转轴上 不同纬度处物体圆周运动的半径是不同的 b 点半径 rb ra 由 v r 可得 3 2 va vb 2 3 4 如图 5 所示为某一皮带传动装置 主动轮的半径为 r1 从动轮的半径为 r2 已知主 动轮做顺时针转动 转速为 n 转动过程中皮带不打滑 下列说法正确的是 图 5 A 从动轮做顺时针转动 B 从动轮做逆时针转动 C 从动轮的转速为n r1 r2 D 从动轮的转速为n r2 r1 答案答案 BC 解析解析 因为皮带不打滑 两轮缘上各点的线速度等大 各点做圆周运动的速度方向为 切线方向 则皮带上的 M N 点均沿 MN 方向运动 从动轮沿逆时针方向转动 A 错 B 对 根据线速度与角速度的关系式 v r 2 n 所以 n n2 r2 r1 n2 n C 对 D 错 r1 r2 5 正常走动的钟表 其时针和分针都在做匀速圆周运动 下列说法中正确的有 A 时针和分针角速度相同 B 分针的角速度是时针角速度的 12 倍 C 时针和分针的周期相同 D 分针的周期是时针周期的 12 倍 答案答案 B 6 甲 乙两个做圆周运动的质点 它们的角速度之比为 3 1 线速度之比为 2 3 那么下列说法正确的是 A 它们的半径之比为 2 9 B 它们的半径之比为 1 2 C 它们的周期之比为 2 3 D 它们的周期之比为 1 3 答案答案 AD 解析解析 由 v r 所以 r r甲 r乙 A 对 B 错 由 T v v甲 甲 v乙 乙 2 9 2 所以 T甲 T乙 D 对 C 错 1 甲 1 乙 1 3 7 半径为 R 的大圆盘以角速度 旋转 如图 6 所示 用心 爱心 专心12 图 6 有人站在盘边 P 点上随盘转动 他想用枪击中在圆盘中心的目标 O 若子弹的速度为 v0 则 A 枪应瞄准目标 O 射去 B 枪应向 PO 的右方偏过 角射去 而 cos R v0 C 枪应向 PO 的左方偏过 角射去 而 tan R v0 D 枪应向 PO 的左方偏过 角射去 而 sin R v0 答案答案 D 解析解析 若枪瞄准目标 O 射去 则子弹参与的两个分运动如图甲所示 显然 子弹的合 运动方向 即实际运动方向 偏向 PO 右侧 因此枪应向 PO 左方射去 如图乙所示 当合速 度方向沿 PO 方向时 sin R v0 8 一般的转动机械上都标有 转速 r min 该数值是转动机械正常工作时的转 速 不同的转动机械上标有的转速一般是不同的 下列有关转速的说法正确的是 A 转速越大 说明该转动机械正常工作时转动的线速度一定越大 B 转速越大 说明该转动机械正常工作时转动的角速度一定越大 C 转速越大 说明该转动机械正常工作时转动的周期一定越大 D 转速越大 说明该转动机械正常工作时转动的频率一定越大 答案答案 BD 9 如图 7 所示 图 7 A B 两个齿轮的齿数分别是 z1 z2 各自固定在过 O1 O2的轴上 其中过 O1的轴与电 动机相连接 此轴每分钟转速为 n1 求 1 B 齿轮的转速 n2 2 A B 两齿轮的半径之比 3 在时间 t 内 A B 两齿轮转过的角度之比 以及 B 齿轮外缘上一点通过的路程 用心 爱心 专心13 答案答案 1 n1 2 z1 z2 3 z2 z1 z1 z2 2 z1n1r2t z2 解析解析 在齿轮传动装置中 各齿轮的 齿 是相同的 齿轮的齿数对应齿轮的周长 在齿轮传动进行转速变换时 单位时间内每个齿轮转过的齿数相等 相当于每个接合的齿 轮边缘处线速度大小相等 因此齿轮传动满足的关系是齿轮转速与齿数成反比 即 z1 z2 n2 n1 2 1 1 齿轮的转速与齿数成反比 所以 B 齿轮的转速 n2 n1 z1 z2 2 齿轮 A 边缘的线速度 v1 1r1 2 n1r1 齿轮 B 边缘的线速度 v2 2r2 2 n2r2 因两齿轮边缘上点的线速度大小相等 即 v1 v2 所以 2 n1r1 2 n2r2 即两齿轮半径之比 r1 r2 n2 n1 z1 z2 3 在时间 t 内 A B 转过的角度分别为 1 1t 2 n1t 2 2t 2 n2t 转 过的角度之比 1 2 n1 n2 z2 z1 B 齿轮外缘一点在时间 t 内通过的路程为 s2 v2t 2r2t 2 n2r2t 2 z1n1r2t z2 10 如图 8 所示 图 8 半径为 R 的圆轮在竖直面内绕 O 轴匀速转动 轮上 a b 两点与 O 的连线相互垂直 a b 两点均粘有一个小物体 当 a 点转至最低位置时 a b 两点处的小物体同时脱落 经 过相同时间落到水平地面上 1 试判断圆轮的转动方向 说明判断理由 2 求圆轮转动的角速度大小 答案答案 1 逆时针转动 理由见解析 2 g 2R 解析解析 1 由题意知 a 物体做平抛运动 若与 b 点物体下落的时间相同 则 b 物体必须 做竖直下抛运动 故知圆轮转动方向为逆时针转动 2 a 平抛 R gt2 1 2 得 t 2R g b 竖直下抛 2R v0t gt2 1 2 由 得 v0 gR 2 又因 v0 R 用心 爱心 专心14 所以 g 2R 11 如图 9 所示 图 9 一质点做半径为 R 的匀速圆周运动 经过时间 t 质点从 A 点第一次运动到同一直径 上的 B 点 求 1 质点做匀速圆周运动的线速度 2 质点在时间 t 内的平均速度 答案答案 1 2 R t 2R t 解析解析 1 由线速度的定义 得 v l t R t 2 质点在时间 t 内的平均速度由 得 v x tv 2R t 第第 6 6 节节 向心加速度向心加速度 要点一要点一 对向心加速度的理解对向心加速度的理解 1 加速度定义公式 a a 的方向与 v 的方向一致 v t 2 速度的变化量 v v2 v1是矢量式 其运算规律符合平行四边形定则 3 方向 总是沿着圆周运动的半径指向圆心 即方向始终与运动方向垂直 1 匀速圆周运动虽然线速度的大小不变 但速度方向时刻改变 v 就是由于速度方 向的变化产生的 0 时 v 指向圆心 所以加速度指向圆心 0 时 v 指向圆心 所以加速度指向圆心 4 物理意义 描述线速度方向改变的快慢 5 圆周运动的性质 不论加速度 an 的大小是否变化 an 的方向是时刻改变的 所以 圆周运动一定是变加速运动 要点二要点二 向心加速度的几种表达式向心加速度的几种表达式 1 不同形式的各种表达式 1 对应线速度 an v2 r 2 对应角速度 an r 2 用心 爱心 专心15 3 对应周期 an r 4 2 T2 4 对应转速 an 4 2n2r 5 推导公式 an v 2 理解 1 当半径一定时 向心加速度的大小与角速度的平方成正比 也与线速度的平方成正 比 随频率的增加或周期的减小而增大 2 当角速度一定时 向心加速度与运动半径成正比 3 当线速度一定时 向心加速度与运动半径成反比 an 与 r 的关系图象 如图 5 6 2 所示 图 5 6 2 由 an r 图象可以看出 an 与 r 成正比还是反比 要看 恒定还是 v 恒定 3 向心加速度公式也适用于非匀速圆周运动 1 向心加速度不一定是物体做圆周运动的实际加速度 对于匀速圆周运动 其所受的合外力就是向心力 其只产生向心加速度 因而匀速 圆周运动的向心加速度是其实际加速度 图 5 6 3 而对于非匀速圆周运动 例如竖直平面内的圆周运动 如图 5 6 3 所示 小球的合 力不指向圆心 因而其实际加速度也不指向圆心 此时的向心加速度只是它的一个分加速 度 还有切向加速度 向心加速度表达速度方向改变的快慢 切向加速度表达速度大小改 变的快慢 2 an r 2 v 适用于匀速圆周运动和变速圆周运动 要注意的是变速圆周 v2 r 运动的线速度和角速度都是变化的 利用向心加速度公式只能求某时刻的向心加速度 要 求某一时 刻的向心加速度 必须用该时刻的线速度或角速度代入进行计算 如何理解向心加速度的含义 如何理解向心加速度的含义 分析 速度矢量的方向应当用它与空间某一确定方向 如坐标轴 之间的夹角来描 述 做匀速圆周运动的物体的速度方向 圆周的切线方向 时刻在变化 在 t 时间内速度 方向变化的角度 等于半径在相同时间内转过的角度 如做匀速圆周运动的物体在一个 周期 T 内半径转过 2 弧度 速度方向变化的角度也是 2 弧度 因此 确切描述速度方 用心 爱心 专心16 向变化快慢的 应该是角速度 即 t 2 T 上式表示了单位时间内速度方向变化的角度 即速度方向变化的快慢 角速度相等 速度方向变化的快慢相同 由向心加速度公式 an 2r v 可知 向心加速度的大小除与角速度有关外 v2 r 还与半径或线速度的大小有关 从 a v 看 向心加速度等于线速度与角速度的乘积 图 5 6 4 例如 在绕固定轴转动的圆盘上 半径不同的 A B C 三点 它们有相同的角速度 但线速度不同 vA rA vB rB vC rC 如图 5 6 4 所示 因此它们的速度 方向变化快慢是相同的 但向心加速度的大小却不相等 aA aBr M 点为 O 轮边缘上的一点 N 点为 O1轮上的任意一点 当皮带轮转动时 设转动过 程中不打滑 则 图 5 6 6 A M 点的向心加速度一定大于 N 点的向心加速度 B M 点的向心加速度一定等于 N 点的向心加速度 C M 点的向心加速度可能小于 N 点的向心加速度 D M 点的向心加速度可能等于 N 点的向心加速度 解析解析 因为两轮的转动是通过皮带传动的 又因皮带在传动过程中不打滑 故两轮边 缘各点的线速度大小一定相等 在 O1轮边缘上任取一点 Q 因为 R r 所以由 an 可知 v2 r aQRN 则由 an 2r 可知 aQ aN 综上可见 aM aN 选项 A 正确 答案答案 A 方法总结方法总结 分析传动问题关键有两点 其一是同一轮上的各点角速度相同 其二是皮带不打滑时 与皮带接触的各点线速度相同 再正确的选择 an 2r 或 an 进行求解 v2 r 1 关于质点做匀速圆周运动 下列说法正确的是 A 由 an 知 an 与 r 成反比 v2 r B 由 an 2r 知 an 与 r 成正比 C 由 知 与 r 成反比 v r D 由 2 n 知 与转速 n 成正比 答案答案 D 解析解析 由关系式 y kx 知 y 与 x 成正比的前提条件是 k 为定值 只有当 v 一定时 才有 an 与 r 成反比 只有当 一定时 才有 an 与 r 成正比 2 在匀速圆周运动中 下列物理量中不变的是 A 角速度 B 线速度 C 向心加速度 D 转速 答案答案 AD 解析解析 线速度和向心加速度都是矢量 方向时刻改变 是变量 故只有 A D 正确 3 关于北京和广州随地球自转的向心加速度 下列说法中正确的是 A 它们的方向都是沿半径指向地心 B 它们的方向都在平行于赤道的平面内指向地轴 C 北京的向心加速度比广州的向心加速度大 D 北京的向心加速度比广州的向心加速度小 答案答案 BD 解析解析 如右图所示 地球表面各点的向心加速度方向都在平行于赤道的平面内指向地轴 选项 B 正确 A 错误 设地球半径为 R0 在地面上纬度为 的 P 点 做圆周运动的轨道半径 r R0cos 其向心加速度为 an 2r 2R0cos 由于北京的地理纬度比广州的大 cos 小 两地随地球自转的角速度相同 因此北京随地球自转的向心加速度比广州的小 选项 D 正 确 选项 C 错误 4 一物体以 4 m s 的线速度做匀速圆周运动 转动周期为 2 s 则物体在运动过程中 用心 爱心 专心19 的任一时刻 速度变化率的大小为 A 2 m s2 B 4 m s2 C 0 D 4 m s2 答案答案 D 5 甲乙两球均在水平面上做匀速圆周运动 甲球的轨道半径是乙球轨道半径的 2 倍 甲球的转速是 30 r min 乙球的转速是 15 r min 则两小球的向心加速度之比为 A 1 1 B 2 1 C 8 1 D 4 1 答案答案 C 解析解析 2 n an 2r 故 2 8 1 C 项正确 a甲 a乙 n甲 n乙 r甲 r乙 6 如图 5 6 7 所示 图 5 6 7 压路机前后轮半径之比是 1 3 A B 分别是前后轮边缘上的点 C 为后轮上的一点 它到后轮轴心的距离是后轮半径的一半 则当压路机运动后三点 A B C 的角速度之比为 向心加速度之比为 答案答案 3 1 1 6 2 1 解析解析 压路机在地面上行驶 不打滑时 两轮边缘的线速度大小相等 这里的地面好 像是连接两轮的皮带 因压路机前后轮在相等时间内都滚过相同的距离 则前 后轮边缘上的 A B 线速度大 小相等 而同一轮上的 B C 点具有相同的角速度 根据 vA vB B C和 v r 可得 A B 3 1 vA rA vB rB 1 rA 1 rB 所以 A B C 3 1 1 根据 an 2r 可得 aA rA aB rB aC rC 2 A2 B2 C 所以 aA aB aC 3 C 2rA 3rA rA 9 3 6 2 1 2 C2 C 3 2 3 2 题型题型 对向心加速度的认识对向心加速度的认识 关于匀速圆周运动 下列说法正确的是 A 由 an 知 匀速圆周运动的向心加速度恒定 v2 r B 向心加速度只改变线速度的方向 不改变线速度的大小 C 匀速圆周运动不属于匀速运动 D 向心加速度越大 物体速率变化越快 答案答案 BC 用心 爱心 专心20 解析解析 向心加速度是矢量 且方向始终指向圆心 因此为变量 所以 A 错 由向心加 速度的意义可知 B 对 D 错 匀速运动是匀速直线运动的简称 匀速圆周运动其实是匀速 率圆周运动 属于曲线运动 很显然 C 正确 拓展探究拓展探究 下列关于匀速圆周运动中向心加速度的说法正确的是 A 向心加速度越大 物体速率变化越快 B 向心加速度越大 物体速度变化越大 C 向心加速度越大 物体速度方向变化越快 D 在匀速圆周运动中向心加速度是恒量 答案答案 C 归纳总结归纳总结 深刻理解向心加速度的物理意义及矢量性 是做对的前提 题型题型 向心加速度的表达式的应用向心加速度的表达式的应用 如图 1 所示 图 1 一球体绕轴 O1O2以角速度 旋转 A B 为球体上两点 下列几种说法中正确的是 A A B 两点具有相同的角速度 B A B 两点具有相同的线速度 C A B 两点的向心加速度方向都指向球心 D A B 两点的向心加速度数值相同 答案答案 A 解析解析 A B 为球体上两点 因此 A B 两点的角速度与球体绕轴 O1O2旋转的角速度相同 A 对 如右图所示 A 以 P 为圆心做圆周运动 B 以 Q 为圆心做圆周运动 因此 A B 两点 的向心加速度方向分别指向 P Q C 错 设球的半径为 R 则 A 运动的轨道半径 rA Rsin 60 B 运动的轨道半径 rB Rsin 30 B 错 vA vB rA rB sin 60 sin 30 3 aA aB 2rA 2rB D 错 3 拓展探究拓展探究 关于匀速圆周运动的向心加速度 下列说法中正确的是 A 由于 an 所以线速度大的物体向心加速度大 v2 r B 由于 an 所以旋转半径大的物体向心加速度小 v2 r C 由于 an 2r 所以角速度大的物体向心加速度大 用心 爱心 专心21 D 以上结论都不正确 答案答案 D 归纳总结归纳总结 分析此类问题 要理解线速度 角速度 向心加速度的概念和定义式及 v an r 之间的关系 并能正确选择关系式 题型题型 传动装置的向心加速度的计算传动装置的向心加速度的计算 如图 2 所示 图 2 O1为皮带传动的主动轮的轴心 轮半径为 r1 O2为从动轮的轴心 轮半径为 r2 r3为 固定在从动轮上的小轮半径 已知 r2 2r1 r3 1 5r1 A B C 分别是三个轮边缘上的点 则质点 A B C 的向心加速度之比是 假设皮带不打滑 A 1 2 3 B 2 4 3 C 8 4 3 D 3 6 2 答案答案 C 解析解析 因为皮带不打滑 A 点与 B 点的线速度大小相同 都等于皮带运动的速率 根 据向心加速度公式 an 可得 aA aB r2 r1 2 1 v2 r 由于 B C 是固定在同一个轮上的两点 所以它们的角速度相同 根据向心加速度公式 an r 2 可得 aB aC r2 r3 2 1 5 由此得 aA aB aC 8 4 3 故选 C 归纳总结归纳总结 讨论圆周运动的向心加速度与线速度 角速度 半径的关系 可以分为两类问题 1 皮带传动问题 两轮边缘线速度相等 常选择公式 an v2 r 2 同轴转动问题 各点角速度相等 常选择公式 an 2r 1 匀速圆周运动的向心加速度 A 总是指向圆心且大小不变 B 总是跟速度的方向垂直 方向时刻在改变 C 与线速度成正比 D 与角速度成正比 答案答案 AB 2 关于做匀速圆周运动物体的向心加速度方向 下列说法正确的是 A 与线速度方向始终相同 B 与线速度方向始终相反 C 始终指向圆心 D 始终保持不变 用心 爱心 专心22 答案答案 C 3 一小球被细线拴着做匀速圆周运动 其半径为 R 向心加速度为 an 则 A 小球相对于圆心的位移不变 B 小球的线速度为 Ran C 小球在时间 t 内通过的路程 x an Rt D 小球做圆周运动的周期 T 2 R an 答案答案 BD 解析解析 小球做匀速圆周运动 各时刻相对圆心的位移大小不变 但方向时刻在变 由 an 得 v2 Ran 所以 v v2 rRan 在时间 t 内通过的路程 x vt t Ran 做圆周运动的周期 T 2 2 2 R v 2 R Ran R an 4 做匀速圆周运动的两物体甲和乙 它们的向心加速度 分别为 a1和 a2 且 a1 a2 下 列判断正确的是 A 甲的线速