上海市封浜中学高三数学二轮专题复习：第4讲应用能力型问题（8）泸科版

用心 爱心 专心 上海市封浜中学高三数学二轮专题复习 上海市封浜中学高三数学二轮专题复习 第第 4 讲讲 应用能力型问题应用能力型问题 8 10 2002 年 某商场在促销期间规定 商场内所有商品按标价的 80 出售 同时 当顾 客在该商场内消费满一定金额后 按如下方案获得相应金额的奖券 消费金额 元 的范 围 200 400 400 500 500 700 700 900 获得奖券的金额 元 3060100130 根据上述促销方法 顾客在该商场购物可以获得双重优惠 例如 购买标价为 400 元的商 品 则消费金额为 320 元 获得的优惠额为 400 0 2 30 110 元 设购买商品 得到的优惠率 商品的标价 购买商品获得的优惠额 试问 1 若购买一件标价为 1000 元的商品 顾客得到的优惠率是多少 2 对于标价在 500 800 元 内的商品 顾客购买标价为多少元的商品 可得到不 小于3 1 的优惠率 解 33 1000 1302 01000 设商品的标价为 x 元 则 500 x 800 消费额 00 0 8x 640 由已知得 5008 0400 3 1602 0 x x x 或 6408 0500 3 11002 0 x x x 不等式组 无解 不等式组 的解为 625 x 750 因此 当顾客购买标价在 625 750 元内的商品时 可得到不小于3 1 的优惠率 11 2003 年春 在一次人才招聘会上 有 A B 两家公司分别开出它们的工资标准 A 公司允诺第一年月工资为 1500 元 以后每年月工资比上一年月工资增加 230 元 B 公司允 诺第一年月工资为 2000 元 以后每年月工资在上一年的月工资基础上递增 5 设某人年 初被 A B 两家公司同时录取 试问 1 若该人分别在 A 公司或 B 公司连续工作 n 年 则他在第 n 年的月工资收入分别是多 少 2 该人打算连续在一家公司工作 10 年 仅从工资收入总量较多作为应聘的标准 不计 其他因素 该人应该选择哪家公司 为什么 3 在 A 公司工作比在 B 公司工作的月工资收入最多可以多多少元 精确到 1 元 并 用心 爱心 专心 说明理由 解 1 此人在 A B 公司第 n 年的月工资数分别为 an 1500 230 n 1 n N bn 2000 1 5 n 1 n N 2 若该人在 A 公司连续工作 10 年 则他的工资收入总量为 12 a1 a2 a10 304200 元 若该人在 B 公司连续工作 10 年 则他的工资收入总量为 12 b1 b2 b10 301869 元 因为在 A 公司收入的总量高些 因此该人应该选择 A 公司 3 问题等价于求 Cn an bn 1270 230n 2000 1 05n 1 n N 的最大值 当 n 2 时 Cn Cn 1 230 100 1 05n 2 当 Cn Cn 1 0 即 230 100 1 05n 2 0 时 1 05n 2 2 3 得 n 19 1 因此 当 2 n 19 时 Cn 1 Cn 于是当 n 20 时 Cn Cn 1 C19 a19 b19 827 元 即在 A 公司工作比在 B 公司工作的月工资收入最多可以多 827 元 12 2003 年 如图 某隧道设计为双向四车道 车道总宽 22 米 要求通行车辆限高 4 5 米 隧道全长 2 5 千米 隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状 1 若最大拱高 h 为 6 米 则隧道设计的拱 宽 l 是多少 2 若最大拱高 h 不小于 6 米 则应如何设 计拱高 h 和拱宽 l 才能使半个椭圆形隧 道的土方工程量最最小 半个椭圆的面积公式为 lhS 4 柱体体积为 底面积乘以高 本题结果精确到 0 1 米 解 1 如图建立直角坐标系 则点 P 11 4 5 椭圆方程为 1 2 2 2 2 b y a x 将 b h 6 与点 P 坐标代入椭圆方程 得 3 33 7 788 2 7 744 ala此时 因此隧道 的拱宽约为 33 3 米 2 解法一 由椭圆方程 1 2 2 2 2 b y a x 得 1 5 411 2 2 2 2 ba 用心 爱心 专心 4 6 1 312222 2 29 211 2 15 411 2 99 24 2 99 5 41125 411 2 2 2 2 2 2 2 2 bhal ba ba S ab lhS bhalab abba 此时 得有取最小值时当 所以 且即因为 故当拱高约为 6 4 米 拱宽约为 31 1 米时 土方工程量最小 解法二 由椭圆方程 1 2 2 2 2 b y a x 得 1 5 411 2 2 2 2 ba 于是 1214 81 2 2 2 a a b 121 121 121 99 12181 2421212 4 81 242 121 121 121 4 81 2 2 2 2 2 2 222 a aSab a aba 有取最小值时当即 得 2 29 211 ba 以下同解法一 13 2004 年春 某市 2003 年共有 1 万辆燃油型公交车 有关部门计划于 2004 年投入 128 辆电力型公交车 随后电力型公交车每年的投入比上一年增加 50 试问 1 该市在 2010 年应该投入多少辆电力型公交车 2 到哪一年底 电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的3 1 解 1 该市逐年投入的电力型公交车的数量组成等比数列 n a 其中 128 1 a 5 1 q 则在 2010 年应该投入的电力型公交车为 14585 1128 66 17 qaa 辆 2 记 nn aaaS 21 依据题意 得 3 1 10000 n n S S 于是 n S 5000 5 11 5 11128 n 辆 即 32 657 5 1 n 则有 5 7 5 1lg 32 657 lg n 因此 8 n 所以 到 2011 年底 电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的3 1 用心 爱心 专心 14 2004 年 某单位用木料制作如图所示的框架 框架 的下部是边长分别为 x y 单位 m 的矩形 上部是等腰直 角三角形 要求框架围成的总面积 8cm2 问 x y 分别为多 少 精确到 0 001m 时用料最省 解 由题意得 xy 4 1 x2 8 y x x 4 8 2 4 8x x 0 x 4 2 于定 框架用料长度为 l 2x 2y 2 x 2 2 2 3 2 x x 16 4 246 当 2 3 2 x x 16 即 x 8 4 2时等号成立 此时 x 2 343 y 2 2 2 828 故当 x 为 2 343m y 为 2 828m 时 用料最省 15 2005 年春 某市 2004 年底有住房面积 1200 万平方米 计划从 2005 年起 每年拆除 20 万平方米的旧住房 假定该市每年新建住房面积是上年年底住房面积的 5 1 分别求 2005 年底和 2006 年底的住房面积 2 求 2024 年底的住房面积 计算结果以万平方米为单位 且精确到 0 01 解 1 2005 年底的住房面积为 124020 51 1200 万平方米 2006 年底的住房面积为 128220 51 20 51 1200 2 万平方米 2005 年底的住房面积为 1240 万平方米 2006 年底的住房面积约为 1282 万平方米 2 2024 年底的住房面积为 20 51 20 51 20 51 20 51 1200 181920 64 2522 05 0 105 1 20 51 1200 20 20 万平方米 2024 年底的住房面积约为 2522 64 万平方米 16 2005 年 假设某市 2004 年新建住房 400 万平方米 其中有 250 万平方米是中低价房 预计在今后的若干年内 该市每年新建住房面积平均比上一年增长 8 另外 每年新建住房中 中 低价房的面积均比上一年增加 50 万平方米 那么 到哪一年底 1 该市历年所建中低价房的累计面积 以 2004 年为累计的第一年 将首次不少于 4750 万平 方米 用心 爱心 专心 2 当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于 85 解 1 设中低价房面积形成数列 n a 由题意可知 n a 是等差数列 其中 1 250a 50d 则 2252550 2 1 250 2 nn nn nSn 令 475022525 2 nn 即 10 01909 2 nnnn是正整数而 到 2013 年底 该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于 4750 万平方米 2 设新建住房面积形成数列 n b 由题意可知 n b 是等比数列 其中 1 400b 1 08q 则 1 400 1 08n n b 由题意可知 nn ba85 0 有 1 2501 50400 1 080 85 n n 即 1 46 8 1 08nn 由计算器解得满足上述不等式的最小正整数 6n 所以 到 2009 年底 当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于 85 17 2006 年春 学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验 设计方案如图 航天 器运行 按顺时针方向 的轨迹方程为 1 25100 22 yx 变轨 即航天器运行轨迹由椭圆变 为抛物线 后返回的轨迹是以 y 轴为对称轴 7 64 0M 为顶点的抛物线的实线部分 降落点为 0 8 D 观测点 0 6 0 4 BA 同时跟踪航天器 1 求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程 2 试问 当航天器在x轴上方时 观测点 BA 测得离航天器的距离分别为多少时 应 向航天器发出变轨指令 解 1 设曲线方程为 7 64 2 axy 由题意可知 7 64 640 a 7 1 a 曲线方程为7 64 7 1 2 xy 2 设变轨点为 yxC 根据题意可知 用心 爱心 专心 2 7 64 7 1 1 1 25100 2 22 xy yx 得 03674 2 yy 4 y 或 4 9 y 不合题意 舍去 4 y 得 6 x 或 6 x 不合题意 舍去 C 点的坐标为 4 6 4 52 BCAC 答 当观测点 BA 测得 BCAC 距离分别为 452 时 应向航天器发出变轨指令 18 2006 年 如图 当甲船位于 A 处时获 悉 在其正东方向相距20海里的 B 处有一 艘渔船遇险等待营救 甲船立即前往救援 同时把消息告知在甲船的南偏西 0 30 相距 10海里 C 处的乙船 试问乙船应朝北偏东 多少度的方向沿直线前往 B 处救援 角度 精确到 0 1 解 连接 BC 由余弦定理得 700120cos102021020 0222 BC 于是 710 BC 710 120sin 20 sin ACB 7 3 sin ACB 0 90 ACB 0 41 ACB ACB 41 C A 20 B 10 0 30 北 用心 爱心 专心 图 1 图 2 图 2 所以 乙船应朝北偏东 0 71 方向沿直线前往B处救援 19 2007 春 某人定制了一批地砖 每块地砖 如图 1 所示 是边长为 4 0 米的正方形 ABCD 点 E F 分别在边 BC 和 CD 上 CFE ABE和四边形AEFD均由单一材 料制成 制成 CFE ABE和四边形AEFD的三种材料的每平方米价格之比依次为 3 2 1 若将此种地砖按图 2 所示的形式铺设 能使中间的深色阴影 部分成四边形EFGH 1 求证 四边形EFGH是正方形 2 FE 在什么位置时 定制这批地砖所需的材料费用最省 证明 1 图 2 是由四块图 1 所示地砖绕点