2011全国中考数学真题解析120考点汇编 正方形的性质与判定

用心 爱心 专心1 2012 2012 年年 1 1 月最新最细 月最新最细 20112011 全国中考真题解析全国中考真题解析 120120 考点汇编考点汇编 正正 方形的性质与判定方形的性质与判定 一 选择题一 选择题 1 1 2011 天津 5 3 分 如图 将正方形纸片ABCD折叠 使边AB CB均落在对角线BD 上 得折痕BE BF 则 EBF的大小为 A 15 B 30 C 45 D 60 考点 翻折变换 折叠问题 正方形的性质 专题 计算题 分析 利用翻折变换的不变量 可以得到 EBF为直角的一半 解答 解 将正方形纸片ABCD折叠 使边AB CB均落在对角线BD上 得折痕 BE BF ABE DBD DBF FBC EBF 1 2 ABC 45 故选 C 点评 本题考查的是翻折变换及勾股定理 熟知折叠是一种对称变换 它属于轴对称 折 叠前后图形的形状和大小不变 位置变化 对应边和对应角相等是解答此题的关键 2 2 2011 山东济南 15 3 分 如图 ABC中 ACB 90 AC BC 分别以 ABC的 边AB BC CA为一边向 ABC外作正方形ABDE BCMN CAFG 连接EF GM ND 设 AEF BND CGM的面积分别为S1 S2 S3 则下列结论正确的是 A S1 S2 S3 B S1 S2 S3 C S1 S3 S2D S2 S3 S1 考点考点 解直角三角形 三角形的面积 分析 分析 设直角三角形的三边分别为a b c 分别表示出三角形的面积比较即可 解答 解答 解 设三角形的三边长分别为a b c 分别以 ABC的边AB BC CA为一边向 ABC外作正方形ABDE BCMN CAFG 用心 爱心 专心2 S1 S2 S3 1 2 ab 故选 A 点评 点评 本题考查了解直角三角形及三角形的面积的知识 解题的关键是了解三角形的三边 与正方形的边长的关系 3 3 2011 泰安 17 3 分 如图 边长为 6 的大正方形中有两个小正方形 若两个小正方 形的面积分别为S1 S2 则S1 S2的值为 A 16B 17 C 18D 19 考点 相似三角形的判定与性质 正方形的性质 专题 计算题 分析 由图可得 S1的边长为 3 由AC 2BC BC CE 2CD 可得 AC 2CD CD 2 EC 22 然后 分别算出S1 S2的面积 即可解答 解答 解 如图 设正方形S2的边长为x 根据等腰直角三角形的性质知 AC 2BC BC CE 2CD AC 2CD CD 3 6 2 EC2 22 22 即EC 22 S2的面积为2222 8 S1的边长为 3 S1的面积为 3 3 9 S1 S2 8 9 17 故选B 点评 本题考查了正方形的性质和等腰直角三角形的性质 考查了学生的读图能力 4 4 2011 山西 11 2 分 如图 ABC中 AB AC 点D E分别是边 ABAB ACAC 的中点 点 G F在BC边上 四边形DEFG是正方形 若DE 2cm 则AC的长为 用心 爱心 专心3 A 3 3cmB 4cmC 2 3cmD 2 5cm 考点 三角形中位线定理 等腰三角形的性质 勾股定理 正方形的性质 专题 计算题 分析 根据三角形的中位线定理可得出BC 4 由AB AC 可证明BG CF 1 由勾股定理求 出CE 即可得出AC的长 解答 解 点 D E 分别是边AB AC的中点 DE 1 2 BC DE 2cm BC 4cm AB AC 四边形DEFG是正方形 BDG CEF BG CF 1 EC 5 AC 2 5cm 故选 D 点评 本题考查了相似三角形的判定 勾股定理 等腰三角形的性质以及正方形的性质 是基础题 比较简单 5 5 2011 山东烟台 17 4 分 如图 三个边长均为 2 的正方形重叠在一起 O1 O2是其 中两个正方形的中心 则阴影部分的面积是 考点考点 正方形的性质 全等三角形的判定与性质 分析分析 根据题意作图 连接O1B O1C 可得 O1BF O1CG 那么可得阴影部分的面积 与正方形面积的关系 同理得出另两个正方形的阴影部分面积与正方形面积的关系 从而 得出答案 解答解答 解 连接O1B O1C 如图 第 17 题图 O2 O1 用心 爱心 专心4 BO1F FO1C 90 FO1C CO1G 90 BO1F CO1G O1B O1C O1BF O1CG 45 O1BF O1CG O1 O2两个正方形阴影部分的面积是 1 4 S正方形 同理另外两个正方形阴影部分的面积也是 1 4 S正方形 S阴影部分 1 4 S正方形 2 故答案为 2 点评点评 本题主要考查了正方形的性质及全等三角形的证明 把阴影部分进行合理转移是解 决本题的难点 难度适中 6 6 2011 山东淄博 17 4 分 如图 正方形 ABCD 的边长为 2 点 E 是 BC 边的中点 过点 B 作 BG AE 垂足为 G 延长 BG 交 AC 于点 F 则 CF 2 2 3 考点考点 正方形的性质 解直角三角形 分析 分析 延长 BF 交 CD 于 H 根据勾股定理求得 AC 的长 根据 ASA 可以证明 ABE BCH 则 CH BE 1 再根据相似三角形的性质解 解答 解答 解 延长 BF 交 CD 于 H 在正方形 ABCD 中 正方形的边长是 2 根据勾股定理 得 AC 22 AB BC ABE BCH 90 BAE CBH ABE BCH CH BE 1 AB CD ABF CHF AFAB CFCH 2 CF 1 3 AC 2 2 3 故答案为 2 2 3 用心 爱心 专心5 点评 点评 此题综合运用了正方形的性质 全等三角形的判定及性质 相似三角形的判定及性 质 综合性较强 7 7 2011 福建省三明市 10 4 分 如图 在正方形纸片ABCD中 E F分别是AD BC的 中点 沿过点B的直线折叠 使点C落在EF上 落点为N 折痕交CD边于点M BM与EF 交于点P 再展开 则下列结论中 CM DM ABN 30 AB2 3CM2 PMN是等 边三角形 正确的有 A 1 个B 2 个 C 3 个D 4 个 考点考点 翻折变换 折叠问题 正方形的性质 专题专题 证明题 分析分析 根据题给条件 证不出 CM DM BMN是由 BMC翻折得到的 故BN BC 又点F 为BC的中点 可知 sin BNF BF BN 1 2 求出 BNF 30 继而可求出 ABN 30 在Rt BCM 中 CBM 30 继而可知BC 3CM 可以证出 AB2 3CM2 求出 NPM NMP 60 继而可证出 PMN是等边三角形 解答解答 解 BMN是由 BMC翻折得到的 BN BC 又点F为BC的中点 在Rt BNF中 sin BNF 1 2 BF BN BNF 30 FBN 60 ABN 90 FBN 30 故 正确 在Rt BCM 中 CBM 1 2 FBN 30 tan CBM tan30 3 3 CM BC BC 3CM AB2 3CM2故 正确 NPM BPF 90 MBC 60 NMP 90 MBN 60 PMN是等边三角形 故 正确 用心 爱心 专心6 由题给条件 证不出CM DM 故 错误 故正确的有 共 3 个 故选 C 点评点评 本题考查翻折变换的知识 有一定难度 注意掌握折叠是一种对称变换 它属于轴 对称 折叠前后图形的形状和大小不变 位置变化 对应边和对应角相等 8 8 2010 广东佛山 6 3 分 依次连接菱形的各边中点 得到的四边形是 A 矩形B 菱形C 正方形D 梯形 考点考点矩形的判定 三角形中位线定理 菱形的性质 分析分析先连接AC BD 由于E H是AB AD中点 利用三角形中位线定理可知EH BD 同理 易得FG BD 那么有EH FG 同理也有EF HG 易证四边形EFGH是平行四边形 而四边 形ABCD是菱形 利用其性质有AC BD 就有 AOB 90 再利用 EF AC以及EH BD 两次利用平行线的性质可得 HEF BME 90 即可得证 解答解答证明 如右图所示 四边形ABCD是菱形 顺次连接个边中点E F G H 连接 AC BD E H是AB AD中点 EH BD 同理有FG BD EH FG 同理EF HG 四边形EFGH是平行四边形 四边形ABCD是菱形 AC BD AOB 90 又 EF AC BME 90 EH BD HEF BME 90 四边形EFGH是矩形 故选A 点评点评本题考查了三角形中位线定理 平行四边形的判定 矩形的判定 平行线的性质 菱 形的性质 解题的关键是证明四边形EFGH是平行四边形以及 HEF BME 90 9 9 2011 广东省茂名 10 3 分 如图 正方形ABCD内接于 O O 的直径为2分米 若在这个圆面上随意抛一粒豆子 则豆子落在正方形ABCD内的概率是 A 2 B 2 C 1 2 D 2 考点考点 几何概率 正多边形和圆 分析 分析 在这个圆面上随意抛一粒豆子 落在圆内每一个地方是均等的 因此计算出正方形 和圆的面积 利用几何概率的计算方法解答即可 解答 解答 解 因为 O 的直径为2分米 则半径为 2 2 分米 O 的面积为 2 2 2 2 平方分米 用心 爱心 专心7 正方形的边长为 22 22 22 1 分米 面积为 1 平方分米 因为豆子落在圆内每一个地方是均等的 所以P 豆子落在正方形ABCD内 故选 A 点评 点评 此题主要考查几何概率的意义 一般地 对于古典概型 如果试验的基本事件为 n 随机事件A所包含的基本事件数为m 我们就用来描述事件A出现的可能性大小 称它 为事件 A 的概率 记作P A 即有 P A m n 10 10 2011 湖北武汉 9 3 分 在直角坐标系中 我们把横 纵坐标都为整数的点叫做整 点 且规定 正方形的内部不包含边界上的点 观察如图所示的中心在原点 一边平行于 x轴的正方形 边长为 1 的正方形内部有 1 个整点 边长为 3 的正方形内部有 9 个整点 则边长为 8 的正方形内部整点个数为 A 64B 49 C 36D 2S 考点 考点 正方形的性质 坐标与图形性质 专题 专题 计算题 规律型 分析 分析 求出边长为 1 2 3 4 5 6 7 的正方形的整点的个数 得到边长为 1 和 2 的 正方形内部有 1 个整点 边长为 3 和 4 的正方形内部有 9 个整点 边长为 5 和 6 的正方形 内部有 25 个整点 推出边长为 7 和 8 的正方形内部有 49 个整点 即可得出答案 解答 解答 解 边长为 1 的正方形内部有 1 个整点 1 边长为 2 的正方形内部有 1 个整点 1 边长为 3 的正方形内部有 9 个整点 1 4 2 边长为 4 的正方形内部有 9 个整点 1 4 2 边长为 5 的正方形内部有 25 个整点 1 4 6 边长为 6 的正方形内部有 25 个整点 1 4 6 边长为 7 的正方形内部有 49 个整点 1 4 12 则边长为 8 的正方形内部整点个数为 1 4 12 49 故选 B 点评 点评 本题主要考查对正方形的性质 坐标与图形的性质等知识点的理解和掌握 根据已 知总结出规律是解此题的关键 11 11 2011 海南 7 3 分 正方形是轴对称图形 它的对称轴共有 A 1 条B 2 条C 3 条D 4 条 用心 爱心 专心8 考点考点 正方形的性质 轴对称图形 专题专题 计算题 分析 分析 正方形既是矩形 又是菱形 具有矩形和菱形的轴对称性 由此可知其对称轴 解答 解答 解 正方形的对称轴是两对角线所在的直线 两对边中点所在的直线 对称轴共 4 条 故选故选 D D 点评 点评 本题考查了正方形的轴对称性 关键是明确正方形既具有矩形的轴对称性 又具有 菱形的轴对称性 12 12 2011 海南 7 3 分 正方形是轴对称图形 它的对称轴共有 A 1 条B 2 条C 3 条D 4 条 考点考点 正方形的性质 轴对称图形 专题专题 计算题 分析 分析 正方形既是矩形 又是菱形 具有矩形和菱形的轴对称性 由此可知其对称轴 解答 解答 解 正方形的对称轴是两对角线所在的直线 两对边中点所在的直线 对称轴共 4 条 故选故选 D D 点评 点评 本题考查了正方形的轴对称性 关键是明确正方形既具有矩形的轴对称性 又具有 菱形的轴对称性 13 13 2011 浙江宁波 11 3 如图 O1的半径为 1 正方形 ABCD 的边长为 6 点 O2为 正方形 ABCD 的中心 O1O2垂直 AB 于 P 点 O1O2 8 若将 O1绕点 P 按顺时针方向旋转 360 在旋转过程中 O1与正方形 ABCD 的边只有一个公共点的情况一共出现 A 3 次B 5 次 C 6 次D 7 次 考点 直线与圆的位置关系 正方形的性质 专题 作图题 分析 根据 O1的半径为 1 正方形 ABCD 的边长为 6 点 O2为正方形 ABCD 的中心 O1O2 垂直 AB 于 P 点 设 O1O2交圆 O1于 M 求出 PM 4 得出圆 O1与以 P 为圆心 以 4 为半径 的圆相外切 即可得到答案 解答 解 O1的半径为 1 正方形 ABCD 的边长为 6 点 O2为正方形 ABCD 的中心 O1O2垂直 AB 于 P 点 设 O1O2交圆 O1于 M 用心 爱心 专心9 PM 8 3 1 4 圆 O1与以 P 为圆心 以 4 为半径的圆相外切 有 5 次 故选 B 点评 本题主要考查对直线与圆的位置关系 正方形的性质等知识点的理解和掌握 能求 出圆的运动路线是解此题的关键 14 14 如图 O 是正方形 ABCD 的对角线 BD 上一点 O 与边 AB BC 都相切 点 E F 分别在 AD DC 上 现将 DEF 沿着 EF 对折 折痕 EF 与 O 相切 此时点 D 恰好落在圆心 O 处 若 DE 2 则正方形 ABCD 的边长是 A 3 B 4 C D 答案 C 考点 切线的性质 勾股定理 正方形的性质 翻折变换 折叠问题 专题 计算题 分析 延长 FO 交 AB 于点 G 根据折叠对称可以知道 OF CD 所以 OG AB 即点 G 是切 点 OD 交 EF 于点 H 点 H 是切点 结合图形可知 OG OH HD EH 等于 O 的半径 先求出 半径 然后求出正方形的边长 用心 爱心 专心10 解答 解 如图 延长 FO 角 AB 与点 G 则点 G 是切点 OD 交 EF 于点 H 则点 H 是切点 ABCD 是正方形 点 O 在对角线 BD 上 OG OH HD HE AE 且都等于圆的半径 在等腰直角三角形 DEH 中 DE 2 EH DH 2 AE AD AE DE 2 2 故选 C 点评 本题考查的是切线的性质 利用切线的性质 结合正方形的特点求出正方形的边 长 二 填空题二 填空题 1 1 2011 江苏南京 14 2 分 如图 E F分别是正方形ABCD的边BC CD上的点 BE CF 连接AE BF 将 ABE绕正方形的中心按逆时针方向旋转到 BCF 旋转角为 0 180 则 90 考点考点 旋转的性质 全等三角形的判定与性质 正方形的性质 分析 分析 首先作出旋转中心 根据多边形的性质即可求解 解答 解答 解 四边形ABCD是正方形 AOB 90 故 90 故答案是 90 点评 点评 本题主要考查了旋转的性质 以及正多边形的性质 正确理解正多边形的性质以及 旋转角是解题的关键 用心 爱心 专心11 2 2 2011 南通 已知 如图 1 O为正方形ABCD的中心 分别延长OA到点F OD到点 E 使OF 2OA OE 2OD 连结EF 将 FOE绕点O逆时针旋转 角得到 F OE 如 图 2 1 探究AE 与BF 的数量关系 并给予证明 2 当 30 时 求证 AOE 为直角三角形 考点 旋转的性质 全等三角形的判定与性质 正方形的性质 专题 综合题 分析 1 利用旋转不变量找到相等的角和线段 证得 E1AO F1BO 后即可证得 结论 2 利用 30 的角和等腰直角三角形求得 60 的角 从而证明直角三角形 解答 1 AE BF 证明 如图 2 在正方形ABCD中 AC BD F OE AOD AOB 90 即 AOE AOF BOF AOF AOE BOF 又 OA OB OD OE 2OD OF 2OA OE OF OAE OBF AE BF 2 作 AOE 的中线AM 如图 3 则OE 2OM 2OD 2OA OA OM 30 AOM 60 AOM为等边三角形 MA MO ME AE M E AM 又 AE M E AM AMO 即 2 AE M 60 AE M 30 AE M AOE 30 60 90 AOE 为直角三角形 点评 本题考查了正方形的性质 利用正方形的特殊性质求解 结合了三角形全等的问题 并且涉及到探求性的问题 属于综合性比较强的问题 要求解此类问题就要对基本的知识 点有很清楚的认识 熟练掌握 3 3 2011 江苏宿迁 27 12 如图 在边长为 2 的正方形 ABCD 中 P 为 AB 的中点 Q 为 边 CD 上一动点 设 DQ t 0 t 2 线段 PQ 的垂直平分线分别交边 AD BC 于点 M N 过 Q 作 QE AB 于点 E 过 M 作 MF BC 于点 F 用心 爱心 专心12 1 当 t 1 时 求证 PEQ NFM 2 顺次连接 P M Q N 设四边形 PMQN 的面积为 S 求出 S 与自变量 t 之间的函数关 系式 并求 S 的最小值 考点 正方形的性质 二次函数的最值 全等三角形的判定与性质 线段垂直平分线的性 质 勾股定理 专题 代数几何综合题 分析 1 由四边形 ABCD 是正方形得到 A B D 90 AD AB 又由 EQP FMN 而证得 2 由点 P 是边 AB 的中点 AB 2 DQ AE t 又由勾股定理求得 PQ 由 PEQ NFM 得 到 PQ 的值 又 PQ MN 求得面积 S 由 t 范围得到 S 的最小值 解答 证明 1 四边形 ABCD 是正方形 A B D 90 AD AB QE AB MF BC AEQ MFB 90 四边形 ABFM AEQD 都是矩形 MF AB QE AD MF QE 又 PQ MN EQP FMN 又 QEP MFN 90 PEQ NFM 2 点P是边AB的中点 AB 2 DQ AE t PA 1 PE 1 t QE 2 由勾股定理 得PQ 22 PEQE 4 1 2 t PEQ NFM MN PQ 4 1 2 t 又 PQ MN S MNPQ 2 1 4 1 2 1 2 t 2 1 t2 t 2 5 0 t 2 当t 1 时 S最小值 2 综上 S 2 1 t2 t 2 5 S的最小值为 2 点评 本题考查了正方形的性质 1 由四边形 ABCD 是正方形得到 A B D 90 AD AB 又由 EQP FMN 而证得 2 由勾股定理求得 PQ 由 PEQ NFM 得到 PQ 的 用心 爱心 专心13 值 又 PQ MN 求得面积 S 由 t 范围得到答案 4 4 2011 山东日照 16 4 分 正方形 ABCD 的边长为 4 M N 分别是 BC CD 上的两个动 点 且始终保持 AM MN 当 BM 2 时 四边形 ABCN 的面积最大 考点 二次函数的最值 正方形的性质 相似三角形的判定与性质 专题 应用题 分析 设 BM x 则 MC 4x 当 AM MN 时 利用互余关系可证 ABM MCN 利用相似比 求 CN 根据梯形的面积公式表示四边形 ABCN 的面积 用二次函数的性质求面积的最大 值 解答 解 设 BM x 则 MC 4x AMN 90 AMB 90 NMC MNC ABM MCN 则 CN BM MC AB 即 CN x x 4 4 解得 CN 4 4 xx S四边形 ABCN 2 1 4 4 4 4 xx 2 1 x2 2x 8 2 1 0 当 x 2 1 2 2 2 时 S四边形 ABCN最大 故答案为 2 点评 本题考查了二次函数的性质的运用 关键是根据已知条件判断相似三角形 利用相 似比求函数关系式 5 5 2011 陕西 18 6 分 如图 在正方形ABCD中 点G为BC上任意一点 连接AG 过B D两点分别作BE AG DF AG 垂足分别为E F两点 求证 ADF BAE 考点 正方形的性质 全等三角形的判定 专题 证明题 分析 如图 根据正方形的性质 可以证得 DA AB 再根据同角的余角相等即可证得 2 3 1 4 根据 ASA 即可证得两个三角形全等 解答 证明 四边形 ABCD 是正方形 用心 爱心 专心14 DA AB 1 2 90 又 BE AG DF AG 1 3 90 2 4 90 2 3 1 4 ADF BAE 点评 本题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的证明 正确证明 2 3 1 4 是证明的关键 6 6 2011 山东济南 23 7 分 1 如图 1 ABC中 A 60 B C 1 5 求 B的度数 2 如图 2 点M为正方形ABCD对角线BD上一点 分别连接AM CM 求证 AM CM 考点考点 正方形的性质 三角形内角和定理 全等三角形的判定与性质 专题专题 证明题 分析 分析 1 由三角形的内角和定理以及已知条件可求得 B 2 根据正方形的性质 得AB CB ABM CBM 则 ABM CBM 则AM CM 解答 解答 解 1 A B C 180 A 60 B C 180 60 120 B C 1 5 B 5 B 120 B 20 2 四边形ABCD是正方形 AB CB ABM CBM BM是公共边 ABM CBM AM CM 点评 点评 本题考查了全等三角形的判定和性质 正方形的性质以及三角形的内角和定理 是 基础知识要熟练掌握 7 7 2011 山东省潍坊 18 8 分 已知正方形 ABCD 的边长为a 两条对角线 AC BD 交于点 O P 是射线 AB 上任意一 点 过 P 点分别作直线 AC BD 的垂线 PE PF 垂足为 E F 1 如图 l 当 P 点在线段 AB 上时 求 PE PF 的值 2 如图 2 当 P 点在线段 AB 的延长线上时 求 PE PF 的值 用心 爱心 专心15 考点 正方形的性质 矩形的判定与性质 解直角三角形 专题 几何图形问题 分析 1 因为 ABCD 是正方形 所以对角线互相垂直 又因为过 P 点分别作直线 AC BD 的垂线 PE PF 垂足为 E F 所以可证明四边形 PFOE 是矩形 从而求出解 2 因为 ABCD 是正方形 所以对角线互相垂直 又因为过 P 点分别作直线 AC BD 的 垂线 PE PF 垂足为 E F 所以可证明四边形 PFOE 是矩形 从而求出解 解答 解 1 ABCD 是正方形 AC BD PF BD PF AC 同理 PE BD 四边形 PFOE 为矩形 故 PE OF 又 PBF 45 PF BF PE PF OF FB OB acos45 2 2 a 2 ABCD 是正方形 AC BD PF BD PF AC 同理 PE BD 四边形 PFOE 为矩形 故 PE OF 又 PBF OBA 45 PF BF PE PF OF BF OB acos45 2 2 a 点评 本题考查正方形的性质 正方形的对角线互相垂直且平分每一组对角 四边相等 四个角都是直角 以及矩形的判定和性质解直角三角形等 8 8 2011 湖北孝感 16 3 分 已知正方形ABCD 以CD为边作等边 CDE 则 AED的度 数是 考点 考点 正方形的性质 三角形内角和定理 等腰三角形的性质 等边三角形的性质 专题 专题 计算题 分析 分析 当E在正方形ABCD内时 根据正方形ABCD 得到AD CD ADC 90 根据等边 CDE 得到CD DE CDE 60 推出AD DE 得出 DAE AED 根据三角形的内角和定理 求出即可 当E在正方形ABCD外时 根据等边三角形CDE 推出 ADE 150 求出即可 用心 爱心 专心16 解答 解答 解 有两种情况 当E在正方形ABCD内时 正方形ABCD AD CD ADC 90 等边 CDE CD DE CDE 60 ADE 90 60 30 AD DE DAE AED 1 2 180 ADE 75 当E在正方形ABCD外时 等边三角形CDE EDC 60 ADE 90 60 150 AED DAE 1 2 180 ADE 15 故答案为 15 或 75 点评 点评 本题主要考查对正方形的性质 等边三角形的性质 等腰三角形的性质 三角形的 内角和定理等知识点的理解和掌握 能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键 9 9 将边长分别为 2 2 2 3 2 4 2 的正方形的面积记作 S1 S2 S3 S4 计 算 S2 S1 S3 S2 S4 S3 若边长为2n n 为正整数 的正方形面积记作 Sn 根据你的 计算结果 猜想 Sn 1 Sn 4n 2 考点 正方形的性质 专题 规律型 分析 根据角平分线的性质以及平行线的性质即可得出 PM PE 2 PE PN 2 即可得出答 案 解答 根据题意计算出所给边长对应的正方形的面积 根据面积差得出规律 S2 S1 6 S3 S2 10 S4 S3 14 总结出规律即可得出答案 解答 解 S1 2 S2 8 S3 18 S4 32 S2 S1 6 S3 S2 10 S4 S3 14 据上可得出 Sn 1 Sn 2 n 1 n 4n 2 故答案为 4n 2 点评 本题主要考查了正方形面积公式及面积差规律解题 需要细心找出规律 难度适 中 10 10 2011 辽宁沈阳 16 4 如图 正方形 ABCD 中 点 E F 分别在边 BC CD 上 且 AE EF FA 下列结 ABE ADF CE CF AEB 75 BE DF EF S ABE S ADF S CEF 其中正确的是 只填写序号 用心 爱心 专心17 考点 正方形的性质 全等三角形的判定与性质 分析 由已知得 AB AD AE AF 利用 HL 可证 ABE ADF 利用全等的性质判断 正确 在 AD 上取一点 G 连接 FG 使 AG GF 由正方形 等边三角形的性质可知 DAF 15 从而得 DGF 30 设 DF 1 则 AG GF 2 DG 3 分别表示 AD CF EF 的长 判断 的正确性 解答 解 AB AD AE AF EF ABE ADF HL AEF 为等边三角形 BE DF 又 BC CD CE CF BAE 2 1 BAD EAF 2 1 90 60 15 AEB 90 BAE 75 正确 在 AD 上取一点 G 连接 FG 使 AG GF 则 DAF BAE 15 DGF 2 DAF 30 设 DF 1 则 AG GF 2 DG 3 AD CD 2 3 CF CE CD DF 1 3 EF 2CF 62 而 BE DF 2 错误 ABE S ADF 2 AD DF 2 3 S CEF CE CF 2 31 2 2 3 正确 故答案为 点评 本题考查了正方形的性质 全等三角形的判定与性质 勾股定理的运用 关键是利 用全等三角形的性质 把条件集中到直角三角形中 运用勾股定理求解 11 11 2011 辽宁沈阳 16 4 分 图 正方形ABCD中 点E F分别在边BC CD上 且 AE EF FA 下列结 ABE ADF CE CF AEB 75 BE DF EF S ABE S ADF S CEF 其中正确的是 只填写序号 考点考点 正方形的性质 全等三角形的判定与性质 分析 分析 由已知得AB AD AE AF 利用 HL 可证 ABE ADF 利用全等的性质判断 用心 爱心 专心18 正确 在AD上取一点G 连接FG 使AG GF 由正方形 等边三角形的性质可知 DAF 15 从而得 DGF 30 设DF 1 则AG GF 2 DG 3 分别表示AD CF EF 的长 判断 的正确性 解答解答 解 AB AD AE AF EF ABE ADF HL AEF为等边三角形 BE DF 又BC CD CE CF BAE 1 2 BAD EAF 1 2 90 60 15 AEB 90 BAE 75 正确 在AD上取一点G 连接FG 使AG GF 则 DAF BAE 15 DGF 2 DAF 30 设DF 1 则AG GF 2 DG 3 AD CD 2 3 CF CE CD DF 1 3 EF 2CF 2 6 而BE DF 2 错误 ABE S ADF 2 AD DF 2 3 S CEF CE CF 2 1 3 2 3 2 正确 故答案为 点评 点评 本题考查了正方形的性质 全等三角形的判定与性质 勾股定理的运用 关键是利 用全等三角形的性质 把条件集中到直角三角形中 运用勾股定理求解 12 12 2011 安徽省芜湖市 16 5 分 如图 在正方形ABCD内有一折线段 其中AE丄 EF EF丄FC 并且AE 6 EF 8 FC 10 则正方形与其外接圆之间形成的阴影部分的面积 为 80 160 用心 爱心 专心19 考点考点 相似三角形的判定与性质 勾股定理 正方形的性质 分析分析 首先连接AC 则可证得 AEM CFM 根据相似三角形的对应边成比例 即可求得 EM与FM的长 然后由勾股定理求得AM与CM的长 则可求得正方形与圆的面积 则问题 得解 解答解答 解 连接AC AE丄EF EF丄FC E F 90 AME CMF AEM CFM AEEM CFFM AE 6 EF 8 FC 10 63 105 EM FM EM 3 FM 5 在 Rt AEM中 AM 22 AEEM 35 在 Rt FCM中 CM 22 CFEM 55 AC 85 在 Rt ABC中 AB AC sin45 85 2 2 410 S正方形ABCD AB2 160 圆的面积为 8 5 2 2 80 正方形与其外接圆之间形成的阴影部分的面积为 80 160 故答案为 80 160 用心 爱心 专心20 点评点评 此题考查了相似三角形的判定与性质 正方形与圆的面积的求解方法 以及勾股定 理的应用 此题综合性较强 解题时要注意数形结合思想的应用 三 解答题三 解答题 1 1 2011 贵 18 如图 点 E 是正方形 ABCD 内一点 CDE 是等边三角形 连接 EB EA 延长 BE 交边 AD 于点 F 1 求证 ADE BCE 2 求 AFB 的度数 考点 正方形的性质 全等三角形的判定与性质 等边三角形的性质 专题 证明题 几何综合题 分析 1 由题意正方形 ABCD 的边 AD BC 在等边三角形 CDE 中 CE DE EDC 等于 ECD 即能证其全等 2 根据等边三角形 等腰三角形 平行线的角度关系 可以求得 AFB 的度数 解答 1 证明 ABCD 是正方形 AD BC ADC BCD 90 又 三角形 CDE 是等边三角形 CE CD EDC ECD 60 ADE ECB ADE BCE 2 解 CDE 是等边三角形 CE CD BC CBE 为等腰三角形 且顶角 ECB 90 60 30 EBC 2 1 180 30 75 AD BC AFB EBC 75 点评 本题考查了正方形 等边三角形 等腰三角形性质的综合运用 是涉及几何证明与 计算的综合题 难度不大 2 2 如图 正方形 ABCD 的四个顶点分别在四条平行线 l1 l2 l3 l4上 这四条直线中相 邻两条之间的距离依次为 h1 h2 h3 h1 0 h2 0 h3 0 1 求证 h1 h3 用心 爱心 专心21 2 设正方形 ABCD 的面积为 S 求证 S h2 h3 2 h12 3 若 12 3 1 2 hh 当 h1变化时 说明正方形 ABCD 的面积为 S 随 h1的变化情况 考点 二次函数综合题 全等三角形的判定与性质 勾股定理 正方形的性质 专题 综合题 分析 1 过 A 点作 AF l3分别交 l2 l3于点 E F 过 C 点作 CH l2分别交 l2 l3于 点 H G 根据正方形的性质和平行线的性质 证 ABE CDG 即可 2 易证 ABE BCH CDG DAF 且两直角边长分别为 h1 h1 h2 四边形 EFGH 是 边长为 h2的正方形 所以 3 根据题意用 h2关于 h1的表达式代入 S 即可求出 h1取何范围是 S 的变化 解答 解 1 过 A 点作 AF l3分别交 l2 l3于点 E F 过 C 点作 CH l2分别交 l2 l3于点 H G 正方形 ABCD l1 l2 l3 l4 AB CD ABE BCH BCH CDG ABE CDG AEB CGD ABE CDG AE CG 即 h1 h3 2 正方形 ABCD AB BC CD DA AEB DAF BCH CGD 90 ABE FAD BCH CDF AEB DAF BCH CGD 且两直角边长分别为 h1 h1 h2 用心 爱心 专心22 四边形 EFGH 是边长为 h2的正方形 3 由题意 得 21 3 1 2 hh 所以 又 1 1 0 3 10 2 h h 解得 0 h1 2 3 当 0 h1 2 5 时 S 随 h1的增大而减小 当 h1 2 5 时 S 取得最小值 4 5 当 2 5 h1 2 3 时 S 随 h1的增大而增大 点评 本题主要考查全等三角形的判定和性质 平行线的性质 直角三角形的性质 本 题的关键在于做好辅助线 根据已知找到全等三角形即可 3 3 2011 泰州 28 12 分 在平面直角坐标系 xOy 中 边长为 a a 为大于 0 的常数 的正方形 ABCD 的对角线 AC BD 相交于点 P 顶点 A 在 x 轴正半轴上运动 顶点 B 在 y 轴 正半轴上运动 x 轴的正半轴 y 轴的正半轴都不包含原点 O 顶点 C D 都在第一象 限 1 当 BAO 45 时 求点 P 的坐标 2 求证 无论点 A 在 x 轴正半轴上 点 B 在 y 轴正半轴上怎样运动 点 P 都在 AOB 的 平分线上 3 设点 P 到 x 轴的距离为 h 试确定 h 的取值范围 并说明理由 考点 正方形的性质 坐标与图形性质 全等三角形的判定与性质 解直角三角形 专题 几何动点问题 几何综合题 分析 1 当 BAO 45 时 因为四边形 ABCD 是正方形 P 是 AC BD 对角线的交点 能 证明 OAPB 是正方形 从而求出 P 点的坐标 2 过 P 点做 x 轴和 y 轴的垂线 可通过三角形全等 证明是角平分线 3 因为点 P 在 AOB 的平分线上 所以 h 0 解答 解 1 BPA 90 PA PB PAB 45 BAO 45 用心 爱心 专心23 PAO 90 四边形 OAPB 是正方形 P 点的坐标为 2 2 a 2 2 a 2 作 PE x 轴交 x 轴于 E 点 作 PF y 轴交 y 轴于 F 点 BPE EPA 90 EPB FPB 90 FPB EPA PFB PEA BP AP PBF PAE PE PF 点 P 都在 AOB 的平分线上 3 因为点 P 在 AOB 的平分线上 所以 h 0 点评 本题考查里正方形的性质 四边相等 四角相等 对角线互相垂直平分 且平分每 一组对角 以及坐标与图形的性质 全等三角形的判定和性质 解直角三角形等知识点 4 4 2011 内蒙古呼和浩特 20 7 如图所示 四边形 ABCD 是正方形 点 E 是边 BC 的中 点且 AEF 90 EF 交正方形外角平分线 CF 于点 F 取边 AB 的中点 G 连接 EG 1 求证 EG CF 2 将 ECF 绕点 E 逆时针旋转 90 请在图中直接画出旋转后的图形 并指出旋转后 CF 与 EG 的位置关系 考点 旋转的性质 全等三角形的判定与性质 正方形的性质 专题 证明题 分析 1 G E 分别为 AB BC 的中点 由正方形的性质可知 AG EC BEG 为等腰直角 三角形 则 AGE 180 45 135 而 ECF 90 45 135 得 AGE ECF 再利 用互余关系 得 GAE 90 AEB CEF 可证 AGE ECF 得出结论 2 旋转后 C AE CFE GEA 根据内错角相等 两直线平行 可判断旋转后 CF 与 EG 平行 解答 1 证明 正方形 ABCD 点 G E 为边 AB BC 中点 AG EC BEG 为等腰直角三角形 用心 爱心 专心24 AGE 180 45 135 又 CF 为正方形外角平分线 ECF 90 45 135 AGE ECF AEF 90 GAE 90 AEB CEF AGE ECF EG CF 2 画图如图所示 旋转后 CF 与 EG 平行 点评 本题考查了旋转的性质 正方形的性质 全等三角形的判定与性质 关键是根据正 方形的性质寻找判定三角形全等的条件 5 5 2011 湖北咸宁 22 10 分 1 如图 在正方形ABCD中 AEF的顶点E F分 别在BC CD边上 高AG与正方形的边长相等 求 EAF的度数 2 如图 在Rt ABD中 BAD 90 AB AD 点M N是BD边上的任意两点 且 MAN 45 将 ABM绕点A逆时针旋转 90 至 ADH位置 连接NH 试判断 MN ND DH之间的数量关系 并说明理由 3 在图 中 连接BD分别交AE AF于点M N 若EG 4 GF 6 BM 3 求 2 AG MN的长 考点 正方形的性质 全等三角形的判定与性质 勾股定理 分析 1 根据高AG与正方形的边长相等 证明三角形相等 进而证明角相等 从 而求出解 2 用三角形全等和正方形的对角线平分每一组对角的知识可证明结论 3 设出线段的长 结合方程思想 用数形结合得到结果 解答 1 在 Rt ABE和 Rt AGE中 AGAB AEAE ABE AGE GAEBAE 同理 DAFGAF 45 2 1 BADEAF 2 222 DHNDMN DAHBAM 45DANBAM 45DANDAHHAN MANHAN 又 AHAM ANAN AMN AHN HNMN 用心 爱心 专心25 90BAD ADAB 45ADBABD 90ADBHDAHDN 222 DHNDNH 222 DHNDMN 3 由 1 知 EGBE FGDF 设xAG 则4 xCE 6 xCF 222 EFCFCE 222 10 6 4 xx 解这个方程 得12 1 x 2 2 x 舍去负根 12 AG 2122 222 AGADABBD 在 2 中 222 DHNDMN DHBM 222 BMNDMN 设aMN 则 222 23 23212 aa 25 a 即25 MN 点评 本题考查里正方形的性质 四边相等 对角线平分每一组对角 以及全等三角形的 判定和性质 勾股定理的知识点等 6 6 2011 浙江嘉兴 23 10 分 以四边形ABCD的边AB BC CD DA为斜边分别向外侧作 等腰直角三角形 直角顶点分别为E F G H 顺次连接这四个点 得四边形EFGH 1 如图 1 当四边形ABCD为正方形时 我们发现四边形EFGH是正方形 如图 2 当四 边形ABCD为矩形时 请判断 四边形EFGH的形状 不要求证明 2 如图 3 当四边形ABCD为一般平行四边形时 设 ADC 0 90 试用含 的代数式表示 HAE 求证 HE HG 四边形EFGH是什么四边形 并说明理由 考点考点 正方形的判定 全等三角形的判定与性质 等腰直角三角形 菱形的判定与性质 专题专题 证明题 分析 分析 1 根据等腰直角三角形得到角都是直角 且边都相等即可判断答案 2 HAE 90 a 根据平行四边形的性质得出 BAD 180 a 根据 HAD 和 EAB是等腰直角三角形 得到 HAD EAB 45 求出 HAE即可 根据 AEB和 DGC是等腰直角三角形 得出AE 2 2 AB DC 2 2 CD 平行四边形的性 质得出AB CD 求出 HDG 90 a HAE 证 HAE HDC 即可得出HE HG A B C F D E G 图 MN 用心 爱心 专心26 由 同理可得 GH GF FG FE 推出GH GF EF HE 得出菱形EFGH 证 HAE HDG 求出 AHD 90 EHG 90 即可推出结论 解答 解答 1 答 四边形EFGH的形状是正方形 2 解 HAE 90 a 在平行四边形ABCD中AB CD BAD 180 ADC 180 a HAD和 EAB是等腰直角三角形 HAD EAB 45 HAE 360 HAD EAB BAD 360 45 45 180 a 90 a 答 用含 的代数式表示 HAE是 90 a 证明 AEB和 DGC是等腰直角三角形 AE 2 2 AB DC 2 2 CD 在平行四边形ABCD中 AB CD AE DG HAD和 GDC是等腰直角三角形 HDA CDG 45 HDG HDA ADC CDG 90 a HAE HAD是等腰直角三角形 HA HD HAE HDC HE HG 答 四边形EFGH是正方形 理由是 由 同理可得 GH GF FG FE HE HG GH GF EF HE 四边形EFGH是菱形 HAE HDG DHG AHE AHD AHG DHG 90 EHG AHG AHE 90 四边形EFGH是正方形 点评 点评 本题主要考查对正方形的判定 等腰直角三角形的性质 菱形的判定和性质 全等 三角形的性质和判定 平行线的性质等知识点的理解和掌握 综合运用性质进行推理是解 此题的关键 6 6 7 7 2011 浙江衢州 23 10 分 ABC是一张等腰直角三角形纸板 C Rt AC BC 2 用心 爱心 专心27 1 要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形 有甲 乙两种剪法 如图 1 比较甲 乙两种剪法 哪种剪法所得的正方形面积大 请说明理由 2 图 1 中甲种剪法称为第 1 次剪取 记所得正方形面积为 s1 按照甲种剪法 在余下 的 ADE和 BDF中 分别剪取正方形 得到两个相同的正方形 称为第 2 次剪取 并记这 两个正方形面积和为 s2 如图 2 则 s2 1 2 再在余下的四个三角形中 用同样方法分别 剪取正方形 得到四个相同的正方形 称为第 3 次剪取 并记这四个正方形面积和为 s3 继续操作下去 则第 10 次剪取时 s10 1 2 3 求第 10 次剪取后 余下的所有小三角形的面积之和 考点 考点 正方形的性质 勾股定理 等腰直角三角形 专题 专题 规律型 分析 分析 1 分别求出甲 乙两种剪法所得的正方形面积 进行比较即可 2 按图 1 中甲种剪法 可知后一个三角形的面积是前一个三角形的面积的 1 2 依此可 知结果 3 探索规律可知 1 1 2 n n S 依此规律可得第 10 次剪取后 余下的所有小三角形的面 积之和 解答 解答 解 1 解法 1 如图甲 由题意 得AE DE EC 即EC 1 S正方形CFDE 12 1 如图乙 设MN x 则由题意 得AM MQ PN