全国各地名校2013年中考政治5月试卷分类汇编 19 二次函数额应用

1 二次函数的应用二次函数的应用 一 选择题 1 2013 北仑区一模 12 12 如图 四边形ABCD中 BAD ACB 90 AB AD AC 4BC 设CD的长为x 四边形ABCD的面积为y 则y与x之间的函数关系式是 A 2 2 5 yx B 2 4 25 yx C 2 2 25 yx D 2 4 5 yx 答案 A 二 填空题 三 解答题 1 2013 年湖北荆州模拟题 已知关于x的方程mx2 3m 1 x 2m 2 0 1 求证 无论m取任何实数时 方程恒有实数根 2 若关于x的二次函数 y mx2 3m 1 x 2m 2 的图象与x轴两交点间的距离为 2 时 求抛物线的解析式 解 1 分两种情况讨论 当m 0 时 方程为x 2 0 x 2 方程有实数根 当m 0 时 则一元二次方程的根的判别式 3m 1 2 4m 2m 2 m2 2m 1 m 1 2 0 不论m为何实数 0 成立 方程恒有实数根 综合 可知m取任何实数 方程mx2 3m 1 x 2m 2 0 恒有实数根 2 设x1 x2为抛物线 y mx2 3m 1 x 2m 2 与x轴交点的横坐标 则有x1 x2 31m m x1 x2 22m m 由 x1 x2 2 1212 4xxx x 2 314 22 mm mm 2 2 1 m m 1 m m 由 x1 x2 2 得 1 m m 2 1 2 m m 或 1 2 m m m 1 或m 1 3 所求抛物线的解析式为 y1 x2 2x或y2 1 3 x2 2x 8 3 2 2013 年安徽初中毕业考试模拟卷一 如图 在ABC 中 第 1 题图 A B C D 第 1 题 2 AC 6 BC 8 AB 10 点D E分别在AB AC上 且DE将ABC 的周长分成相等的两部分 设AE x AD y ADE 的面积为S 1 求出y与x的函数关系式 并写出x的取值范围 2 求出S关于x的函数关系式 并判断S是否有最大的值 若有 则求出其最大值 并指出此时ADE 的形状 若没有 请说明理由 答案 1 DE平分 ABC的周长 12 2 1086 AEAD 即y x 12 y关于x的函数关系式为 y 12 x 2 x 6 2 过点D作DF AC 垂足为F 222 1086 即 222 ABBCAC ABC是直角三角形 ACB 90 AD DF AB BC A sin 即 x DF 1210 8 5 448x DF xx x xDFAES 5 24 5 2 5 448 2 1 2 1 2 5 72 6 5 2 2 x 故当x 6 时 S取得最大值 5 72 此时 y 12 6 6 即AE AD 因此 ADE是等腰三角形 3 2013 年湖北荆州模拟 5 本题满分 10 分 我市一家电子计算器专卖店每只进价 13 元 售价 20 元 多买优惠 凡是一次买 10 只以上的 每多买 1 只 所买的全部计算器每只就 降低 0 10 元 例如 某人买 20 只计算器 于是每只降价 0 10 20 10 1 元 因此 所 买的全部 20 只计算器都按照每只 19 元计算 但是最低价为每只 16 元 1 求一次至少买多少只 才能以最低价购买 2 写出该专卖店当一次销售x 只 时 所获利润y 元 与x 只 之间的函数关系式 并写 出自变量x的取值范围 3 若店主一次卖的只数在 10 至 50 只之间 问一次卖多少只获得的利润最大 其最大利润 为多少 解 1 设一次购买x只 才能以最低价购买 则有 0 1 x 10 20 16 解这个方程得x 50 答一次至少买 50 只 才能以最低价购买 2 2 20137 050 1 2013 0 1 10 8 1050 10 1613 3 50 xxxx yxxxx xxx x 说明 因三段图象首尾相连 所以端点 10 50 包括在哪个区间均可 F 第 1 题图 3 3 将 2 1 8 10 yxx 配方得 2 1 40 160 10 yx 所以店主一次卖 40 只时可获得最高 利润 最高利润为 160 元 4 4 20132013 浙江东阳吴宇模拟题 浙江东阳吴宇模拟题 本题 10 分 许多桥梁都采用抛物线型设计 小明将他家 乡的彩虹桥按比例缩小后 绘成如下的示意图 图中的三条抛物线分别表示桥上的三条钢 梁 x 轴表示桥面 y 轴经过中间抛物线的最高点 左右两条抛物线关于 y 轴对称 经过测 算 中间抛物线的解析式为 y 40 1 x2 10 并且 BD 2 1 CD 1 求钢梁最高点离桥面的高度 OE 的长 2 求桥上三条钢梁的总跨度 AB 的长 3 若拉杆 DE 拉杆 BN 求右侧抛物线的解析式 答案 1 OE 10 2 AB 80 3 5 30 20 1 2 xy 5 5 20132013 浙江东阳吴宇模拟题 浙江东阳吴宇模拟题 本题 12 分 如图 平面直角坐标系中 点 A 0 4 B 3 0 D E 在 x 轴上 F 为平面上一点 且 EF x 轴 直线 DF 与直线 AB 互相垂直 垂足为 H AOB DEF 设 BD h 1 若 F 坐标 7 3 则 h 若 F 坐标 10 3 则 DH 2 如 h 7 37 则相对应的 F 点存在 个 并请求出恰好在抛物线 y 4 12 5 12 7 2 xx 上的点 F 的坐标 O A BD E F H x y 4 3 请求出 4 个 h 值 满足以 A H F E 为顶点的四边 形是梯形 答案 1 0 5 36 2 4 求抛物线与 x 轴 y 轴交点坐标 刚好过 A B D 三点 可求得 F 7 12 3 在抛物线上 3 6 13525 6 251095 3 37 3 13 6 2013 浙江锦绣浙江锦绣 育才教育集团一模育才教育集团一模 本小题满分 12 分 如图 在等腰三角形ABC 中 AB AC 以底边BC的垂直平分线和BC所在的直线建立平面直角坐标系 抛物线 2 17 yxx4 22 经过A B两点 1 直接写出点A 点B的坐标 2 若一条与y轴重合的直线l以每秒 2 个单位长度的速度向右平移 分别交线段 OA CA和抛物线于点E M和点P 连结PA PB 设直线l移动的时间为t 0 t 4 秒 求四边形PBCA的面积S 面积单位 与t 秒 的函数关系式 并求出四边形PBCA的最大 面积 3 在 2 的条件下 抛物线上是否存在一点P 使得 PAM是直角三角形 若存在 请求出点P的坐标 若不存在 请说明理由 答案 本小题满分 12 分 解 1 A 8 0 B 0 4 2 AB AC OB OC C 0 4 设直线AC y kx b 由A 8 0 C 0 4 得 5 8k b 0 b 4 解得 1 k 2 b 4 直线AC 1 y x4 2 直线l移动的速度为 2 时间为t OE 2t 设P 2 2t2t7t4 形 在 1 y x4 2 中 令x 2t 得y t4 M 2t t4 BC 8 PM 22 2t7t4t4 2t6t8 OE 2t EA 42t 22 PMABCMP 11 SSS2t6t882t42t2t6t8 22 形形 2 4t20t16 四边形PBCA的面积S与t的函数关系式为 2 S 4t20t16 0 t 4 2 2 5 S 4t20t16 4 t41 2 四边形PBCA的最大面积为 41 个平方单位 3 存在 由 2 在 0 t 4 即 0 t 8 时 AMP和 APM不可能为直角 若 PAM为直角 则PA CA AOC PEA OCOA EAEP 设P p 2 17 pp4 22 则OC 4 OA 8 EA 8 p EP 2 17 pp4 22 2 48 17 8p pp4 22 整理得 2 p11p24 0 解得 12 p 3p 8 舍 去 当p 3时 EP 2 17 pp4 22 10 P 3 10 当P 3 10 时 PAM是直角三角形 7 2013 盐城市景山中学模拟题盐城市景山中学模拟题 本题满分 12 分 抛物线 22 15 32 44 mm yxxmm 与x轴的交点分别为原点O和点A 点B 2 n 在这 条抛物线上 6 1 求点B的坐标 2 点P在线段OA上 从点O出发向点A运动 过点P作x轴的垂线 与直线OB 交于点E 以PE为边在PE右侧作正方形PEDC 当点P运动时 点C D也随之运动 当正方形PEDC顶点D落在此抛物线上时 求OP的长 若点P从点O出发向点A作匀速运动 速度为每秒 1 个单位 同时线段OA上另一 个点Q从点A出发向点O作匀速运动 速度为每秒 2 个单位 当点Q到达点O时停止运 动 点P也停止运动 过Q作x轴的垂线 与直线AB交于点F 在QF的左侧作正方 形QFMN 当点Q运动时 点M N也随之运动 若点P运动到t秒时 两个正方形分 别有一条边恰好落在同一条直线上 求此刻t的值 答案 1 点B的坐标为 2 4 2 设OP的长为t 那么PE 2t ED 2t 点D的坐标为 3t 2t 当点D落在 抛物线上时 2 15 2 3 3 42 ttt 解得 22 9 tOP 当两条边CD与MN在同一条直线上时 点C N重合 此时 6t 10 解得 t 6 10 当两条边CD与QF在同一条直线上时 点C Q重合 此时 5t 10 解得t 2 当两条边PE与MN在同一条直线上时 点P N重合 此时 4t 10 解得 t 2 5 当两条边PE与QF在同一条直线上时 点P Q重合 此时 3t 10 解得 t 3 10 8 2013 盐城市景山中学模拟题盐城市景山中学模拟题 本题满分 12 分 某厂销售一种专利产品 现准备从专 7 卖店销售和电视直销两种销售方案中选择一种进行销售 若只是专卖店销售 销售价格 y 元 件 与月销量x 件 的函数关系式为y 100 1 x 150 成本为 40 元 件 无论销 售多少 每月还需支出房租费 52500 元 设月利润为w专 元 利润 销售额 成本 广告费 若只是电视直销 销售价格为150 元 件 受各种不确定因素影响 成本为a 元 件 a为常数 40 a 80 当月销量为x 件 时 每月还需缴纳 100 1 x2 元的广告 费 设月利润为w电 元 利润 销售额 成本 附加费 1 当x 1000 时 y 元 件 w内 元 2 分别求出w专 w电与x间的函数关系式 不必写x的取值范围 3 当x为何值时 在专卖店销售的月利润最大 若是电视直销月利润的最大值与在 专卖店销售月利润的最大值相同 求a的值 4 如果某月要将 5000 件产品全部销售完 请你通过分析帮公司决策 选择在专卖 店还是电视直销才能使所获月利润较大 答案 1 140 47500 2 w专 x y 40 52500 100 1 x2 110 x 52500 W电 100 1 x2 150 a x 3 当x 5500 时 w专最大 为 250000 由题意得 W电最大时解得a1 50 a2 250 不合题意 舍去 所以 a 50 4 当x 5000 时 w专 247500 w外 500000 5000a 若w专 W电 则a 50 5 若w专 W电 则a 50 5 若w专 W电 则a 50 5 所以 当 40 a 50 5 时 选择在电视直销销售 当a 50 5 时 在专卖店和电视直销销售都一样 当 50 5 a 80 时 选择在专卖店销售 9 2013 沈阳一模 12 分 企业的污水处理有两种方式 一种是输送到污水厂进行集中 处理 另一种是通过企业的自身设备进行处理 某企业去年每月的污水量均为 12000 吨 8 由于污水厂处于调试阶段 污水处理能力有限 该企业投资自建设备处理污水 两种处理 方式同时进行 1 至 6 月 该企业向污水厂输送的污水量y1 吨 与月份x 1 x 6 且x取整数 之间 满足的函数关系如下表 7 至 12 月 该企业自身处理的污水量y2 吨 与月份x 7 x 12 且x取整数 之间 满足二次函数关系式为y2 ax2 c a 0 其图象如图所示 1 至 6 月 污水厂处理每吨污 水 的费用 z1 元 与月份x之间满足函数关系式 1 1 zx 2 该企业自身处理每吨污水的 费用 z2 元 与月份x之间满足函数关系式 2 2 31 z x x 412 7 至 12 月 污水厂处 理每吨污水的费用均为 2 元 该企业自身处理每吨污水的费用均为 1 5 元 1 请观察题中的表格和图象 用所学过的一次函数 反比例函数或二次函数的有关知 识 分别直接写出y1 y2与x之间的函数关系式 2 请你求出该企业去年哪个月用于污水处理的费用W 元 最多 并求出这个最多费 用 3 今年以来 由于自建污水处理设备的全面运行 该企业决定扩大产能并将所有污水 全部自身处理 估计扩大产能后今年每月的污水量都将在去年每月的基础上增加a 同时 每吨污水处理的费用将在去年 12 月份的基础上增加 a 30 为鼓励节能降耗 减轻 企业负担 财政对企业处理污水的费用进行 50 的补助 若该企业每月的污水处理费用为 18 000 元 请计算出a的整数值 参考数据 15 2 20 5 28 4 答案 解 1 根据表格中数据可以得出xy 定值 9 则y1与x之间的函数关系为反比例函数关系 1 k y x 将 1 12000 代入得 k 1 12000 12000 1 12000 y x 1 x 6 且x取整数 根据图象可以得出 图象过 7 10049 12 10144 点 代入y2 ax2 c得 49a c 10049 144a c 10144 解得 a 1 c 10000 y2 x2 10000 7 x 12 且x取整数 2 当 1 x 6 且x取整数时 2 1112 12000 11200031 W yz 12000yz x 12000 x x x2x412 1000 x2 10000 x 3000 1000 x 5 2 2200 a 1000 0 1 x 6 当x 5 时 W最大 22000 元 当 7 x 12 时 且x取整数时 W 2 12000 y1 1 5y2 2 12000 x2 10000 1 5 x2 10000 1 2 x2 1900 a 1 2 0 对称轴为x 0 当 7 x 12 时 W随x的增大而减小 当x 7 时 W最大 18975 5 元 22000 18975 5 去年 5 月用于污水处理的费用最多 最多费用是 22000 元 3 由题意得 12000 1 a 1 5 1 a 30 1 50 18000 设t a 整理得 10t2 17t 13 0 解得 17809 t 20 809 28 4 t1 0 57 t2 2 27 舍去 a 57 答 a整数值是 57 10 2013 沈阳一模 14 分 如图 抛物线 0 2 acbxaxy的顶点坐标为 1 2 并且与y轴交于点C 3 0 与x轴交于两点A B 1 求抛物线的表达式 10 2 设抛物线的对称轴与直线BC交于点D 连结AC AD 求 ACD的面积 3 点E位直线BC上一动点 过点E作y轴的平行线EF 与抛物线交于点F 问是否存 在点E 使得以D E F为顶点的三角形与 BCO相似 若存在 求出点E的坐标 若不存 在 请说明理由 答案 1 由题意可设抛物线的表达式为 12 2 xay 点C 3 0在抛物线上 3120 2 a 解得1 a 抛物线的表达式为 12 2 xy 即34 2 xxy 2 令0 y 即034 2 xx 解得3 1 21 xx 0 3 0 1BA 设BC的解析式为 b kxy 将 3 0 0 3CB代入得 3 03 b bk 解得 3 1 b k 来 源 当租出的车辆每减少 1 辆 每辆车的日租金将增加 50 元 另公司平均每日的各 项支出共 4800 元 设公司每日租出x x 20 辆车时 日收益为y元 日收益 日租金 收入 平均每日各项支出 1 公司每日租出 x x 20 辆车时 每辆车的日租金增加为 元 此时每辆车的 A ED BC 18 日租金为 元 用含x的代数式表示 2 当每日租出多少辆时 租赁公司日收益最大 是多少元 解 1 50 20 x 1400 50 x 4 分 2 y x 50 x 1400 4800 50 x2 1400 x 4800 50 x 14 2 5000 10 分 当x 14 时 在 0 x 20 范围内 y有最大值 5000 当日租出 14 辆时 租赁公司的日收益最大 为 5000 元 21 已知矩形 ABCD 的周长为 12 E F G H 为矩形 ABCD 的各边中点 若 AB x 四边形 EFGH 的面积为 y 1 请直接写出 y 与 x 的函数关系式 2 根据 1 中的函数关系式 计算当 x 为何值时 y 最大 并求出最大值 参考公式 当 x a b 2 时 二次函数 y ax bx c a o 有最小 大 值 a bac 4 4 2 解 1 y x2 3x 2 分 2 a 0 y 有最大值 当 x 3 时 2 分 y 有最大值为 4 5 2 分 22 2013 杭州江干区模拟 本小题 10 分 3 月 17 日 新成立的中国铁路总公司已在 北京正式挂牌 这标志着今后铁路将会进行一系列的客票改革 现某市铁路局拟实施淡 季火车票打折销售制度 已知某班次列车一节车厢定员 120 人 原定票价为 100 元 人 淡季时上座率仅为 20 据调查 该列车票价每降低 5 元 单节车厢乘客人数将增加 6 人 1 该列车票价打几折时 单节车厢售票收入为 4200 元 2 该列车票价打几折时 单节车厢售票收入最高 并求出这个最高值 答案 解 1 设降低 5x元 增加 6x人 得 42005100624 xx 2 分 解得x1 6 x2 10 2 分 所以打 7 折或 5 折 1 分 2 设收入W xx5100624 4320830 2 x 3 分 19 当x 8 即打 6 折时 收入最高为 4320 元 2 分 23 2013 河南南阳市模拟 11 分 如图 在平面直角坐标系中 已知矩形 ABCD 的三个顶 点 B 1 0 C 3 0 D 3 4 以 A 为顶点的抛物线 y ax2 bx c 过点 C 动点 P 从点 A 出发 沿线段 AB 向点 B 运动 同时动点 Q 从点 C 出发 沿线段 CD 向点 D 运动 点 P Q 的运动速度均为每秒 1 个单位 运动时间为 t 秒 过点 P 作 PE AB 交 AC 于点 E 1 直接写出点 A 的坐标 并求出抛物线的解析式 2 过点 E 作 EF AD 于 F 交抛物线于点 G 当 t 为何值时 ACG 的面积最大 最大值 为多少 3 在动点 P Q 运动的过程中 当 t 为何值时 在矩形 ABCD 内 包括边界 存在点 H 使以 C Q E H 为顶点的四边形为菱形 请直接写出 t 的值 第 23 题图 答案 23 解 1 A 1 4 1 分 由题意知 可设抛物线解析式为 y a x 1 2 4 抛物线过点 C 3 0 0 a 3 1 2 4 解得 a 1 抛物线的解析式为 y x 1 2 4 即 y x2 2x 3 2 A 1 4 C 3 0 可求直线 AC 的解析式为 y 2x 6 点 P 1 4 t 将 y 4 t 代入 y 2x 6 中 解得点 E 的横坐标为 x 1 点 G 的横坐标为 1 代入抛物线的解析式中 可求点 G 的纵坐标为 4 GE 4 4 t t 又点 A 到 GE 的距离为 C 到 GE 的距离为 2 即 S ACG S AEG S CEG EG EG 2 2 t t 2 2 1 当 t 2 时 S ACG的最大值为 1 3 t 或 t 20 8 24 2013 云南勐捧中学二模 本小题 本小题 9 9 分 分 如图 11 在直角梯形OABC中 CB OA 90OAB 点O为坐标原点 点A在x轴的正半轴上 对角线OB AC相交 y x M C B OA 23 题 20 于点M 4OAAB 2OACB 1 线段OB的长为 点C的坐标为 2 求 OCM的面积 3 求过O A C三点的抛物线的解析式 4 若点E在 3 的抛物线的对称轴上 点F为该 抛物线上的点 且以A O F E四点为顶点的四边形 为平行四边形 求点F的坐标 答案 解 1 42 2 4 2 在直角梯形OABC中 OA AB 4 90OAB CB OA OAM BCM 又 OA 2BC AM 2CM CM 3 1 AC 所以 1118 4 4 3323 OCMOAC SS 注 另有其它解法同样可得结果 3 设抛物线的解析式为 2 0yaxbxc a 由抛物线的图象经过点 0 0O 4 0A 2 4C 所以 424 0416 0 cba cba c 解这个方程组 得1a 4b 0c 所以抛物线的解析式为 2 4yxx 4 抛物线 2 4yxx 的对称轴是CD 2x 当点E在x轴的下方时 CE和OA互相平分则可知四边形OEAC为平行四边形 此时点F和点C重合 点F的坐标即为点 2 4C 当点E在x轴的下方 点F在对称轴2x 的右侧 存在平行四边形AOEF OA EF 且OAEF 此时点F的横坐标为 6 将6x 代入 2 4yxx 可得 12y 所以 6 12F 同理 点F在对称轴2x 的左侧 存在平行四边形OAEF OA FE 且 21 OAFE 此时点F的横坐标为2 将2x 代入 2 4yxx 可得12y 所以 2 12F 综上所述 点F的坐标为 2 4 6 12 2 12 25 2013 年广东省佛山市模拟 原创 原创 如图 在平面直角坐标系中 抛物线4 2 2 xxy 与直线xy 交于点A B M是 抛物线上一个动点 连接OM 1 当M为抛物线的顶点时 求 OMB的面积 2 当点M在抛物线上 OMB的面积为 10 时 求点M的坐标 3 当点M在直线AB的下方且在抛物线对称轴的右侧 M运动到何处时 OMB的 面积最大 M A B O x y 26 2013 北仑区一模 26 本题 14 分 如图 Rt ABO的两直角边OA OB分别在x轴的 负半轴和y轴的正半轴上 O为坐标原点 A B两点的坐标分别为 3 0 0 4 抛 物线y 2 3 x2 bx c经过点B 且顶点在直线x 5 2 上 1 求抛物线对应的函数关系式 22 2 若把 ABO沿x轴向右平移得到 DCE 点A B O的对应点分别是D C E 当四边 形ABCD是菱形时 试判断点C和点D是否在该抛物线上 并说明理由 3 在 2 的条件下 连接BD 已知对称轴上存在一点P使得 PBD 的周长最小 求出P点的坐标 4 在 2 3 的条件下 若点M是线段OB上的一个动点 点M 与 点O B不重合 过点M作 BD交x轴于点N 连接 PM PN 设OM的长为t PMN的面积为S 求S和t的函数关 系式 并写出自变量t的取值范围 S是否存在最大值 若存在 求出最大值和此时M点的坐标 若不存在 说明理由 答案 解 1 抛物线y 2 3 x2 bx c经过点B 0 4 c 4 1 分 顶点在直线x 5 2 上 b5 2 2 2 3 解得 10 b 3 2 分 所求函数关系式为 2 210 y xx 4 33 3 分 2 在Rt ABO中 OA 3 OB 4 22 ABOAOB5 四边形ABCD是菱形 BC CD DA AB 5 5 分 C D两点的坐标分别是 5 4 2 0 当x 5 时 2 210 y 55 4 4 33 当x 2 时 2 210 y 22 4 0 33 点C和点D都在所求抛物线上 7 分 3 设CD与对称轴交于点P 则P为所求的点 设直线CD对应的函数关系式为y kx b 23 则 5k b 4 2k b 0 解得 4 k 3 8 b 3 直线CD对应的函数关系式为 48 y x 33 9 分 当x 5 2 时 4582 y 3233 P 52 23 形 10 分 4 MN BD OMN OBD OMON OBOD 即 tON 42 得 t ON 2 设对称轴交x于点F 则 PFOM 112555 SPFOMOF t t 223246 形形 2 MON 1111 SOM ON tt t 2224 PME 1151215 SNF PF t t 2222366 MONPMEPFOM S SSS 形形 22 55115117 t tt t t 46466412 0 t 4 12 分 2 2 117117289 S t t t 41246144 1 0 4 0 秒 1 求线段AC的长度 2 当点Q从B点向A点运动时 未到达A点 求 APQ的面积S关于t的函数关系 式 并写出t的取值范围 3 伴随着P Q两点的运动 线段PQ的垂直平分线为l 当l经过点A时 射线QP交AD于点E 求AE的长 当l经过点B时 求t的值 答案 解 1 在矩形ABCD中 22 5ACABBC 2 分 2 如图 过点P作PH AB于点H AP t AQ 3 t 由 AHP ABC 得 BC PH AB AP PH 4 5 t 2 分 ttttS 5 6 5 2 5 4 3 2 1 2 2 分 30 t 1 分 3 如图 线段PQ的垂直平分线为l经过点A 则AP AQ 即 3 t t t 1 5 AP AQ 1 5 1 分 图 27 延长QP交AD于点E 过点Q作QO AD交AC于点O 则 BC QO AB AQ AC AO 2 5 AC AB AQ AO 2 BC AB AQ OQ PO AO AP 1 由 APE OPQ 得3 OQ OP AP AE OP AP OQ AE 2 分 如图 当点Q从B向A运动时l经过点B BQ CP AP t QBP QAP QBP PBC 90 QAP PCB 90 PBC PCB CP BP AP t CP AP 2 1 AC 2 1 5 2 5 t 2 5 2 分 如图 当点Q从A向B运动时l经过点B BP BQ 3 t 3 6 t AP t PC 5 t 过点P作PG CB于点G由 PGC ABC 得 tAB AC PC PG BC GC AB PG AC PC 5 5 3 tBC AC PC CG 5 5 4 BG 4 t 5 5 4 t 5 4 由勾股定理得 222 PGBGBP 即 2 22 5 5 3 5 4 6 ttt 解得 14 45 t 2 分 31 2013 重庆一中一模 26 已知矩形纸片 ABCD 中 6 2 3ABBC 将该矩形纸 片沿对角线 AC 剪开 得到两张三角形纸片 如图 1 再将这两张三角形纸片摆成 如图 2 的形状 使得点 B C F D 在同一直线上 且点 C 与点 F 重合 此时将 ABC 以每秒 1 个单位长度的速度沿直线 BD 向左平移 直至点 B 与点 D 重合时停止运 动 设 ABC 运动的时间为 t 1 当 t 为何值时 点 E 落在线段 AC 上 2 设在平移的过程中 ABC 与 DEF 重叠部分的面积为 S 请直接写出 S 与 t 之间 的函数关系式 并写出相对应 t 的取值范围 3 当点 B 与点 D 重合时如图 3 将 ABC 绕点 B 旋转得到 A1BC1 直线 EF 分别与 直线 A1B 直线 A1C1交于点 M N 是否存在这样的点 M N 使得 A1MN 为等腰 三角形 若存在 请求出此时线段 EM 的长度 若不存在 请说明理由 28 答案 32 解 1 由题意知 Rt ABC 与 Rt DEF 中 CAB DFE 30 当点 E 落在 AC 上时 6 2 3 CDtDE DCE 60 3CD DE 即3 6 2 3t 8t 2 分 2 2 2 2 2 3 02 3 8 3 22 3 2 36 24 13 3 6 32 20 3 68 24 3 24 3 862 3 6 tt ttt S ttt ttt 8 分 3 存在这样的点 M N 理由如下 如下图 由题意得 A1MN FMB 即当 A1MN 为等腰三角形时 FMB 也为等腰三角形 3 当 A1M A1N 时 即 FB FM 6 若点 M 在线段 EF 上时 EM 4 36 若点 M 在线段 EF 的延长线上时 EM 4 36 29 4 当 MA1 MN 时 即 MB MF 则点 M 在线段 BF 的中垂线上 过 M 作 MT BF 于点 T 则 BT FT 3 MT 3 MF 2 3 EM EF MF 4 32 3 2 3 当 NA1 NM 时 即 BM BF 6 此时点 M 在线段 FE 的延长线上 BMF BFM 30 可得 MF 6 3 则 EM MF EF 6 34 32 3 综上所述 存在这样的点 M N 使得 A1MN 为等腰三角形 此时线段 EM 的长度为 4 36 或2 3 12 分 33 20132013 上海黄浦二摸 上海黄浦二摸 本题满分 12 分 第 1 小题满分 4 分 第 2 小题满分 8 分 已知二次函数cbxxy 2 的图像经过点P 0 1 与Q 2 3 1 求此二次函数的解析式 2 若点A是第一象限内该二次函数图像上一点 过点A作x轴的平行线交二次函数图 像于点B 分别过点B A作x轴的垂线 垂足分别为C D 且所得四边形ABCD恰为正方形 求正方形ABCD的面积 联结PA PD PD交AB于点E 求证 PAD PEA 答案 24 解 1 由题意知 1 342 c bc 2 分 解得 0 1 b c 1 分 所以二次函数解析式是 2 1yx 1 分 2 设 2 1A aa 则 2 1Baa 1 分 由四边形ABCD为正方形 得 2 21aa 1 分 解得 12a 舍负 1 分 所以正方形ABCD的面积为 2 2128 2Sa 1 分 设AB交y轴于点H 30 则21 1 DOa PO 1 2 21 PHa AHa 所以 DOPH POAH DOP AHP 所以 DOP AHP 2 分 则 DPO HAP 又 DPO PDA 所以 PDA HAP 又 DPA APE 所以 PAD PEA 2 分 34 2013 年上海静安区二摸 本题满分 14 分 每小题满分 7 分 如图 点A 2 6 和点B 点B在点A的右侧 在反比例函数的图像上 点C在 y轴上 BC x轴 2tan ACB 二次函数的图像经过A B C三点 1 求反比例函数和二次函数的解析式 2 如果点D在x轴的正半轴上 点E在反比例函数的图像上 四边形ACDE是平行 四边形 求边CD的长 答案 35 解 1 设反比例函数的解析式为kxy 点A 2 6 在反比例函数的图像上 6 2 k 1 分 A C B Ox y 第 25 题图 31 12 k 反比例函数的解析式为 x y 12 1 分 作AM BC 垂足为M 交y轴于N CM 2 在 Rt ACM中 422tan ACBCMAM 1 分 BC x轴 OC MNAN AM 6 4 2 点C的坐标 0 2 1 分 当2 x时 6 y 点B的坐标 6 2 1 分 设二次函数的解析式为2 2 bxaxy 26362 2246 ba ba 1 分 3 2 1 b a 二次函数的解析式为23 2 1 2 xxy 1 分 2 延长AC交x轴于G 作EH x轴 垂足为H 1 分 在 ACDE中 AC DE AGO EDH 1 分 BC x轴 ACM AGO ACM EDH 1 分 AMC EHD 90 AC ED ACM EDH 1 分 EH AM 4 DH CM 2 点E 3 4 1 分 OE 3 OD OE DH 1 1 分 CD 512 2222 ODOC 1 分 3636 2013 年上海闵行区二摸 本题共 3 3 小题 满分 1212 分 其中第 1 1 小题 4 4 分 第 2 2 小题 3 3 分 第 3 3 小题 5 5 分 已知 在平面直角坐标系中 一次函数3yx 的图像与y轴相交于点A 二次函数 2 yxbxc 的图像经过点A B 1 0 D为顶点 32 1 求这个二次函数的解析式 并写出顶 点D的坐标 2 将上述二次函数的图像沿y轴向上或 向下平移 使点D的对应点C在一次函数 3yx 的图像上 求平移后所得图像的表达式 3 设点P在一次函数3yx 的图像上 且2 ABPABC SS 求点P的坐标 答案 2424 解 1 由 0 x 得 3y 点A的坐标为 A 0 3 1 分 二次函数 2 yxbxc 的图像经过点A 0 3 B 1 0 3 10 c bc 1 分 解得 2 3 b c 所求二次函数的解析式为 2 23yxx 1 分 顶点D的坐标为D 1 4 1 分 2 设平移后的图像解析式为 2 1 yxk 根据题意 可知点C 1 k 在一次函数3yx 的图像上 13k 1 分 解得 2k 1 分 所求图像的表达式为 2 1 2yx 或 2 21yxx 1 分 3 设直线1x 与x轴交于点E 由 2 得 C 1 2 又由 A 0 3 得 22 10 23 2AC 根据题意 设点P的坐标为P m m 3 ABP与 ABC同高 于是 当 2 ABPABC SS 时 得 22 2APAC 1 分 此时 有两种不同的情况 当点P在线段CA的延长线上时 得 3 3CPCAAP 且0m 过点P作PQ1垂直于x轴 垂足为点Q1 易得 1 EOAP CAOQ 1 22 2 m 解得 2m 即得 35m P1 2 5 2 分 当点P在线段AC的延长线上时 得 2CPAPAC 且0m 过点P作PQ2垂直于x轴 垂足为点Q2 易得 2 EQOE ACPC 11 22 m 解得 2m 即得 31m P2 2 1 2 分 综上所述 点P的坐标为 2 5 或 2 1 A x y 1 3 3 O 第 24 题图 33 另解 3 由 2 得 C 1 2 又由 A 0 3 得 22 10 23 2AC 根据题意 设点P的坐标为P m m 3 ABP与 ABC同高 于是 当 2 ABPABC SS 时 得 22 2APAC 1 分 2 8AP 即得 22 33 8mm 1 分 解得 1 2m 2 2m 1 分 m 3 5 或 1 1 分 点P的坐标为 2 5 或 2 1 1 分 37 2013 年上海徐汇区二摸 本题满分 12 分 抛物线bxaxy 2 0 a 经过点 4 9 1 A 对称轴是直线2 x 顶点是D 与 x 轴正半轴的交点为点B 1 求抛物线bxaxy 2 0 a 的解析式和顶点D的坐标 6 分 2 过点D作y轴的垂线交y轴于点C 点M在射线BO上 当以DC为直径的 N和 以MB为半径的 M相切时 求点M的坐标 6 分 答案 24 解 1 由题意 得 2 2 4 9 a b ba 2 分 解得 3 4 3 b a 2 分 xxy3 4 3 2 1 分 顶点 3 2 D 1 分 34 2 设 M的半径为r 由题意 可得 3 0 C 3 1 N N的半径为 0 4 B 2 分 当 M和 N相切时 分下列两种情况 1 当 M和 N外切时 此时点M在线段BO上 可得 222 1 14 3 rr 解得 8 17 r 0 8 15 M 2 分 2 当 M和 N外切时 此时点M在线段BO的延长线上 可得 222 1 21 3 rr 解得 4 17 r 0 4 1 M 2 分 综合 21 当 M和 N相切时 0 8 15 M或 0 4 1 M 38 2013 辽宁葫芦岛一模 某工厂生产一种合金薄板 其厚度忽略不计 这些薄 板的形状均为等腰直角三角形 直角边长 单位 cm 在 10 60 之间 每张薄板的成本价 单位 元 与它的面积 单位 cm2 成正比例 每张薄板的出厂价 单位 元 由基础 价和浮动价两部分组成 其中基础价与薄板的大小无关 是固定不变的 浮动价与薄板的 直角边长成正比例 在营销过程中得到了下面表格中的数据 1 求一张薄板的出厂价与直角边长之间满 足的函数关系式 2 已知出厂一张直角边长为 20cm的薄板 获得的利润是 80 元 利润 出厂价 成本价 求一张薄板的利润与直角边长之间满足的 函数关系式 当直角边长为多少时 出厂一张薄板获得的利润最大 最大利润是多少 参考公式 抛物线 2 0 yaxbxc a 的顶点坐标是 2 4 24 bacb aa 解 解 依题意 设等腰直角三角形薄板的直角边长为x 则 2 2 1 mxy 成本价 nkxy 出厂价 10 x 60 则yyy 利润出厂价成本价 3 分 1 1 在nkxy 出厂价 10 x 60 中 20 x时 100 y 50 x时 220 y 薄板的直角边长 cm 2050 出厂价 元 张 100220 35 22050 10020 nk nk 20 4 n k 204 xy出厂价 10 x 60 5 分 2 2 2 2 1 204mxxyyy 成本出厂价利润 且20 x时 80 y 8020 2 1 20204 2 m 解得 10 1 m 204 20 1 2 xxy利润 7 分 3 3 在204 20 1 2 xxy利润中 由参考公式 40 20 1 2 4 x 且 10 40 60 所以 出厂一张直角边长为 40cm 的薄板获得的利润最大 最大利润是 1002040440 20 1 2 最大利润 y 元 10 分 39 2013 山东德州特长展示 本小题满分 12 分 已知 如图 在Rt ABC中 ACB 90 BC 3 tan BAC 4 3 将 ABC对折 使 点C的对应点H恰好落在直线AB上 折痕交AC于点O 以点O为坐标原点 AC所在直线 为x轴建立平面直角坐标系 1 求过A B O三点的抛物线解析式 2 若在线段AB上有一动点P 过P点作x轴的垂线 交抛物线于M 设PM的长度等 于d 试探究d有无最大值 如果有 请求出最大值 如果没有 请说明理由 3 若在抛物线上有一点E 在对称轴上有一点F 且以O A E F为顶点的四边形 为平行四边形 试求出点E的坐标 解 1 在Rt ABC 中 BC 3 tan BAC 4 3 B AC O H x y 36 AC 4 AB 543 2222 ACBC 设OC m 连接OH 如图 由对称性知 OH OC m BH BC 3 BHO BCO 90 AH AB BH 2 OA 4 m 在Rt AOH 中 OH2 AH2 OA2 即m2 22 4 m 2 得 m 2 3 OC 2 3 OA AC OC 2 5 O 0 0 A 2 5 0 B 2 3 3 2 分 设过A B O三点的抛物线的解析式为 y ax x 2 5 把x 2 3 y 3 代入解析式 得a 2 1 y 2 1 x x 2 5 xx 4 5 2 1 2 即过A B O三点的抛物线的解析式为y xx 4 5 2 1 2 4 分 2 设直线AB的解析式为y kx b 根据题意得 3 2 3 bk 5 0 2 kb 解之得 k 4 3 b 8 15 直线AB的解析式为y 8 15 4 3 x 6 分 设动点P t 8 15 4 3 t 则M t tt 4 5 2 1 2 7 分 d 8 15 4 3 t tt 4 5 2 1 2 2 1115 228 tt 2 11 2 22 t 当t 1 2 时 d有最大值 最大值为 2 8 分 3 设抛物线y xx 4 5 2 1 2 的顶点为D y B AC O H x E2 E1 E3 D 37 y xx 4 5 2 1 2 32 25 4 5 2 1 2 x 抛物线的对称轴x 4 5 顶点D 4 5 32 25 根据抛物线的对称性 A O两点关于对称轴对称 当AO为平行四边形的对角线时 抛物线的顶点D以及点D关于x轴对称的点F与 A O四点为顶点的四边形一定是平行四边形 这时点D即为点E 所以E点坐标为 525 432 10 分 当AO为平行四边形的边时 由OA 5 2 知抛物线存在点E的横坐标为 55 42 或 55 42 即 15 4 或 5 4 分别把x 15 4 和x 5 4 代入二次函数解析式y xx 4 5 2 1 2 中 得点 E 15 4 32 75 或E 4 5 75 32 所以在抛物线上存在三个点 E1 4 5 32 25 E2 15 4 32 75 E3 4 5 32 75 使 以O A E F为顶点的四边形为平行四边形 12 分 40 2013 凤阳县县直义教教研中心 如图 已知 直线y x 3 交x轴于点A 交y轴 于点B 抛物线y ax2 bx c经过A B C 1 0 三点 1 求抛物线的解析式 2 若点D的坐标为 1 0 在直线y x 3 上有一点P 使 ABO与 ADP相似 求 出点P的坐标 3 在 2 的条件下 在x轴下方的抛物线上 是否存在点E 使 ADE的面积等于四 边形APCE的面积 如果存在 请求出点E的坐标 如果不存在 请说明理由 38 解 1 由题意得 A 3 0 B 0 3 抛物线经过A B C三点 把A 3 0 B 0 3 C 1 0 三点分别代入 2 yaxbxc 得方程组 0 3 039 cba c cba 解得 3 4 1 c b a 抛物线的解析式为 2 43yxx 4 分 2 由题意可得 ABO为等腰三角形 如图所示 若 ABO AP1D 则 1 DP OB AD AO DP1 AD 4 P1 1 4 若 ABO ADP2 过点P2 作P2 M x轴于M AD 4 ABO为等腰三角形 ADP2 是等腰三角形 由三线合一 可得 DM AM 2 P2M 即点M与点C重合 P2 1 2 8 分 3 如图设点E x y 则 2 2 1 yyADS ADE 当P1 1 4 时 S四边形AP1CE S三角形ACP1 S三角形ACE 2 2 1 42 2 1 y 4y 39 24yy 4y 点E在x轴下方 4y 代入得 2 434xx 即 074 2 xx 4 2 4 7 12 0 此方程无解 当P2 1 2 时 S四边形AP2CE S三角形ACP2 S三角形ACE 2y 22yy 2y 点E在x轴下方 2y 代入得 2 432xx 即 054 2 xx 4 2 4 5 4 0 此方程无解 综上所述 在x轴下方的抛物线上不存在这样的点E 14 分 41 2013 年福州市初中毕业班质量检查 12 分 如图 Rt ABC中 C 90 AC BC 8 DE 2 线段DE在AC边上运动 端点D从点A开始 速度为每秒 1 个单 位 当端点E到达点C时运动停止 F为DE中点 MF DE交AB于点M MN AC交BC 于点N 连接DM ME EN 设运动时间为t秒 1 求证 四边形MFCN是矩形 2 设四边形DENM的面积为S 求S关于t的函数解析式 当S取最大值时 求t的 值 3 在运动过程中 若以E M N为顶点的三角形与 DEM相似 求t的值 A B C DE M F N 第 21 题图 备用图 40 1 证明 MF AC MFC 90 1 分 MN AC MFC FMN 180 FMN 90 2 分 C 90 四边形MFCN是矩形 3 分 若先证明四边形MFCN是平行四边形 得 2 分 再证明它是矩形 得 3 分 2 解 当运动时间为t秒时 AD t F为DE的中点 DE 2 DF EF DE 1 1 2 AF t 1 FC 8 t 1 7 t 四边形MFCN是矩形 M