2011年全国各地中考数学压轴题专集 4二次函数（无答案）

用心 爱心 专心1 20112011 年全国各地中考数学压轴题专集 年全国各地中考数学压轴题专集 4 4 二次函数二次函数 1 设函数y kx 2 2k 1 x 1 k为实数 1 写出其中的两个特殊函数 使它们的图象不全是抛物线 并在同一直角坐标系中 用 描点法画出这两个函数的图象 2 根据所画图象 猜想出 对任意实数k 函数的图象都具有的特征 并给予证明 3 对任意负实数k 当x m时 y随着x的增大而增大 试求出m的一个值 2 在平面直角坐标系xOy中 二次函数y mx 2 m 3 x 3 m 0 的图象与x轴交于 A B两点 点A在点B左侧 与y轴交于点C 1 求点A的坐标 2 当 ABC 45 时 求m的值 3 已知一次函数y kx b 点P n 0 是x轴上的一个动点 在 2 的条件下 过点P垂直于x轴的直线交这个一次函数的图象于点M 交二次函数y mx 2 m 3 x 3 m 0 的图象于N 若只有当 2 n 2 时 点M位于点N的上方 求这个一次函数的解析式 3 已知平面直角坐标系xOy 一次函数y x 3 的图象与y轴交于点A 点M在正比例 3 4 函数y x的图象上 且MO MA 二次函数y x 2 bx c 的图象 3 2 经过点A M 1 求线段AM的长 2 求这个二次函数的解析式 3 若点B在y轴上 点C在上述二次函数的图象上 点D在一次 函数y x 3 的图象上 且四边形ABCD是菱形 求点C的坐标 3 4 4 已知二次函数y ax 2 bx c 和一次函数y bx 其中实数a b c满足 a b c a b c 0 1 求证 这两个函数的图象交于不同的两点 2 设这两个函数的图象交于A B两点 作AA1 x轴于A1 BB1 x轴于B1 求线段 A1B1长的取值范围 5 已知二次函数y ax 2 4bx 4c a 0 有两个实数根x1 x2 且 2 x1 x2 3 1 求证 存在以a b c为边长的三角形 2 求证 c b c a a c b b a Ox y 1 2 3 1 3 2 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 Ox y 1 1 用心 爱心 专心2 6 已知二次函数y x 2 bx c c 0 的图象与 x轴交于点A B 与y轴交于点C ABC的外接圆的圆心为点P 1 证明 P与y轴的另一个交点为定点 2 如果AB恰好为 P的直径且S ABC 2 求b和c的值 7 已知关于x的二次函数y1 m 2 x 2 2x 1 和y2 m 2 x 2 mx m 1 的图象都 经过x轴上的点 n 0 1 求m的值 2 将二次函数y1 m 2 x 2 2x 1 的图象先沿x轴翻折 再向下平移 3 个单位 得 到一个新的二次函数y3的图象 求y3的解析式 在所给的坐标系中画出y2和y3的大致图象 并结合函数的图象回答 当x取何值时 y3 y2 8 已知关于x的方程 a 1 0 有一个增根为b 另一根为c x 2 a x 2 1 求a c的值 2 若二次函数y ax 2 bx c 7 x 图象与x轴交于E F两点 在此二 3 2 3 2 次函数的图象上求一点P 使 PEF的面积最大 求点P的坐标 9 已知 二次函数y x 2 bx 3 的图象经过点P 2 5 1 求b的值 并写出当 1 x 3 时y的取值范围 2 设P1 m y1 P2 m 1 y2 P3 m 2 y3 在这个二次函数的图象上 当m 4 时 y1 y2 y3能否作为同一个三角形三边的长 请说明理由 当m取不小于 5 的任意实数时 y1 y2 y3一定能作为同一个三角形三边的长 请说 明理由 10 已知A 1 0 B 0 1 C 1 2 D 2 1 E 4 2 五个点 抛物线 y a x 1 2 k a 0 经过其中的三个点 1 求证 C E两点不可能同时在抛物线y a x 1 2 k a 0 2 点A在抛物线y a x 1 2 k a 0 上吗 为什么 3 求a与k的值 1 x y O 1 用心 爱心 专心3 11 已知二次函数y x 2 2m 1 x 4m 6 1 试说明不论m取任何实数 函数图象都经过x轴上的一个定点A 2 设函数图象与x轴的另一个交点为B A与B不重合 顶点为C 当 ABC为直角三 角形时 求m的值 3 在 2 的条件下 若点B在点A的右侧 点D的坐标为 0 3 点E是函数图象上 一点 问 在x轴上是否存在点F 使得以D E F为顶点的三角形是等腰直角三角形 若存在 求出F点坐标 若不存在 请说明理由 12 已知二次函数y x 2 bx c 其中函数值y与自变量x的部分对应值如下表 x 1 0123 y 0 5 8 9 8 1 求该二次函数的关系式 并在给定的坐标系中画出函数的图象 2 若A m y1 B m 4 y2 两点都在该函数的图象上 试比较y1与y2的大小 若A B两点位于x轴的下方 点P为函数图象的对称轴与x轴的交点 点Q为函数图 象上的一点 解答下列问题 求实数m的取值范围 是否存在实数m 使得以P A B Q四点为顶点的四边形为平行四边形 若存在 求出m的值 若不存在 请说明理由 13 已知二次函数y x 2 2a 1 x 2a 1 若函数图象与x轴有两个不同交点 且分别位于点 2 0 的两侧 求实数a的取值 范围 2 若函数图象不经过第三象限 且当x 2 时 函数值y随x的增大而增大 求实数a 的取值范围 14 已知关于x的一元二次方程x 2 4x c 0 有实数根 且c为正整数 1 求c的值 2 若此方程的两根均为整数 在平面直角坐标系中 抛物线y x 2 4x c 与x轴交于 A B两点 A在B左侧 与y轴交于点C 点P为对称轴上一点 且四边形OBPC为直角 梯形 求PC的长 2 642 2 2 4 10 8 y M O M x M 6 用心 爱心 专心4 3 将 2 中得到的抛物线沿水平方向平移 设顶点D的坐标为 m n 当抛物线与直 角梯形OBPC只有两个交点 且一个交点在PC边上时 直接写出m的取值范围 15 已知一次函数y1 2 x 二次函数y2 mx 2 3 m 1 x 2m 1 的图象关于y轴对称 y2 的顶点为A 1 求二次函数y2的解析式 2 将y2左右平移得到y3 y3交y2于点P 过P点作直线l x轴交y3于点Q 若 PAQ 为等腰三角形 求P点坐标和函数y3的解析式 3 是否存在二次函数y4 ax 2 bx c 其图象经过点 5 2 且对于任意一个实数 x y1 y4 y2均成立 若存在 求出函数y4的解析式 若不存在 请说明理由 16 已知二次函数y ax 2 bx c a 0 图象经过点 C 0 1 且与x轴交于不同的两 点A B 点A的坐标为 1 0 1 求c的值 2 求a的取值范围 3 该二次函数的图象与直线y 1 交于C D两点 设A B C D四点构成的四边形的 对角线相交于点P 记 PCD的面积为S1 PAB的面积为S2 当 0 a 1 时 求证 S1 S2为常数 并求出该常数 17 已知二次函数y ax 2 bx c图象的顶点坐标为 2 4 1 试用含a的代数式分别表示b c 2 若一次函数y kx 4 k 0 图象与y轴及二次函数y ax 2 bx c 图象的交点依 次为D E F 且 其中O为坐标原点 试用含a的代数式表示k S ODE S OEF 1 3 3 在 2 的条件下 若线段EF的长m满足 3 m 3 试确定a的取值范围 25 18 已知二次函数y x 2 bx c 的图象与x轴交于A x1 0 B x2 0 两点 A在 B的左侧 且x1 x2 4 1 求b的值及c的取值范围 2 若AB 2 求二次函数的表达式 3 设该二次函数的图象与y轴交于点C 顶点为D 对称轴与x轴交于点E 问是否存 在这样的二次函数 使 AOC BED 若存在 求二次函数的表达式 若不存在 请说明 理由 19 已知二次函数y x 2 mx m 2 m 0 的图象与x轴交于A B两点 3 4 1 求证 该函数图象的对称轴在y轴的左侧 2 若 O为坐标原点 求二次函数的表达式 1 OB 1 OA 2 3 3 设函数图象与y轴交于点C 若 ABC是直角三角形 求 ABC的面积 20 已知二次函数y x 2 x的图象如图所示 1 4 3 2 1 求它的对称轴与x轴交点D的坐标 用心 爱心 专心5 2 将该函数图象沿它的对称轴向上平移 设平移后的图象与x轴 y轴的交点分别为 A B C三点 若 ACB 90 求此时函数的解析式 3 设 2 中平移后的函数图象的顶点为M 以D为圆心 AB为直径作 D 试判断直线 CM与 D的位置关系 并说明理由 21 已知二次函数的图象经过点A 1 0 和点B 2 1 且与y轴交点的纵坐标为m 1 若m为定值 求此二次函数的解析式 2 若二次函数的图象与x轴还有异于点A的另一个交点 求m的取值范围 3 若二次函数的图象截直线y x 1 所得线段的长为 2 求m的值 2 22 已知二次函数y 3ax 2 2bx c 1 若a b 1 c 1 求函数图象与x轴交点的坐标 2 若a b 1 且当 1 x 1 时 函数图象与x轴有且只有一个交点 求c的取值范 围 3 若a b c 0 且当x 0 和x 1 时 对应的函数值y均大于 0 试判断当 0 x 1 时 函数图象与x轴是否有交点 请说明理由 23 在平面直角坐标系xOy中 过点P 0 2 作一直线与二次函数y ax 2 a 0 图象 交于A B两点 且使 AOB 90 1 判断A B两点纵坐标的乘积是否为定值 并说明理由 2 求a的值 3 当 AOB的面积为 4 时 求直线AB的解析式 2 24 已知二次函数y x 2 4x m m 为常数 的图象经过点 0 4 将该函数图象先向 右 再向下平移得到一新的函数图象 已知平移后的函数图象满足下述两个条件 它的对 称轴 设为直线l2 与平移前的函数图象的对称轴 设为直线l1 关于y轴对称 它所对 应的函数的最小值为 8 1 求平移后的二次函数的表达式 2 试问在平移后的函数图象上是否存在点P 使得以 3 为半径的 P既与x轴相切 又 与直线l2相交 若存在 请求出点P的坐标 并求出直线l2被 P所截得的弦AB的长度 若不存在 请说明理由 25 使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点 例如 对于函数y x 1 令y 0 可得x 1 则 1 就是函数y x 1 的零点 己知函数y x 2 2mx 2 m 3 m为常数 O C AD M y xBO C AD M y xB 备用图 用心 爱心 专心6 1 当m 0 时 求该函数的零点 2 证明 无论m取何值 该函数总有两个零点 3 设函数的两个零点分别为x1和x2 且 此时函数图象与x轴的交点 1 x1 1 x2 1 4 分别为A B 点A在点B左侧 点M在直线y x 10 上 当MA MB最小时 求直线AM 的函数解析式 26 已知二次函数y x 2 2mx m 2 4 的图象与x轴交于A B两点 点A在点B的左边 且与y轴交于点D 1 当点D在y轴正半轴时 是否存在实数m 使得 BOD为等腰三角形 若存在 求出 m的值 若不存在 请说明理由 2 当m 1 时 将函数y x 2 2mx m 2 4 的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折 图 象的其余部分保持不变 得到一个新的图象 当直线y x b与这个新的图象有两个公 1 2 共点时 求实数b的取值范围 27 已知二次函数y x 2 2mx 4m 8 1 当x 2 时 函数值y随x的增大而减小 求m的取值范围 2 以抛物线y x 2 2mx 4m 8 的顶点 A为一个顶点作该抛物线的内接正三角形 AMN M N两点在拋物线上 请问 AMN的面积是与m无关的定值吗 若是 请求出这 个定值 若不是 请说明理由 3 若抛物线y x 2 2mx 4m 8 与x轴交点的横坐标均为整数 求整数m的值 28 已知二次函数y ax 2 bx c 图象与一次函数y mx n图象相交于 0 和 1 2 m b m 2 mb n 两点 a b c m n均为实数 且a m不为 0 O y x A Ox y 用心 爱心 专心7 1 求c的值 2 设二次函数图象与x轴的两个交点是 x1 0 和 x2 0 求x1x2的值 3 当 1 x 1 时 设二次函数图象上与x轴距离最大的点为P x0 y0 求此时 y0 的最小值 29 已知二次函数y ax 2 bx c的图象的顶点坐标为 0 且ac p 2 1 4 1 若该函数的图象过点 1 1 求使y 0 成立的x的取值范围 若圆心在该函数的图象上的圆与x轴 y轴都相切 求圆心的坐标 2 过点A 0 p 的直线与该函数的图象相交于M N两点 过M N作x轴的垂线 垂 足分别为M1 N1 设 MAM1 AM1N1 ANN1的面积分别为S1 S2 S3 是否存在m 使 得对任意实数p 0 都有S22 mS1S3 成立 若存在 求出m的值 若不存在 请说明理由 30 在平面直角坐标系中 已知点A的坐标为 3 0 第一象限内的点P在直线y 2x上 且 PAO 45 1 求点P的坐标 2 若二次函数的图象经过P O A三点 求该二次函数的解析式 3 设 2 中的二次函数图象的顶点为M 将该二次函数图象向上或向下平移 使它的 顶点落在直线y 2x上的点Q处 求 APM与 APQ的面积之比 31 已知二次函数y x 2 2 a 1 x a 2 2a 的图象与x轴交于点 333 A x1 0 B x2 0 且x1 1 x2 1 求A B两点的坐标 用a表示 2 设二次函数图象的顶点为C 求 ABC的面积 Ox y 11 1Ox y 23 3 2 1 用心 爱心 专心8 3 若a是整数 P是线段AB上的一个动点 不与点A B重合 在x轴上方作等边 APM和等边 BPN 记线段MN的中点为Q 求二次函数的解析式及线段PQ的长的取值范 围 32 已知二次函数y a a 1 x 2 2a 1 x 1 a是正整数 1 求该函数图象与x轴相交所截得的线段的长 2 当a依次取 1 2 3 n时 该函数图象与x轴相交所截得的n条线段的长分别 为L1 L2 L3 Ln 求L1 L2 L3 Ln的值 33 已知a b c 且 2a 3b 4c 0 1 求证 a b c 0 2 若抛物线y ax 2 bx c在x轴上截得的线段长为 求该抛物线的对称轴 34 已知关于x的方程 a 2 x 2 2ax a 0 有两个不相等的实数根 x1和x2 且抛物线 y x 2 2a 1 x 2a 5 与x轴的两个交点分别位于点 2 0 的两侧 1 求实数a的取值范围 2 当 x1 x2 2时 求a的值 2 35 已知二次函数y1 ax 2 x c的图象与x轴交于点A x1 0 B x2 0 x1 0 x2 0 与y轴的交点C在y轴的负半轴上 且 tan ACO S ABC 3 2 3 1 求该二次函数的解析式 2 若该二次函数的图象与反比例函数y2 k 0 的图象在第二象限内的交点的横坐 k x 标x0满足 3 x0 2 求k的取值范围 36 已知方程ax 2 bx 1 x a 0 的两个实数根为x1 x2 1 若x1 2 x2 4 二次函数y ax 2 bx 1 图象的对称轴为x x0 求证 x0 1 2 若 x1 2 x2 x1 2 求b的取值范围 37 已知二次函数y ax 2 bx c a 0 且方程ax 2 bx c x的两个根x1 x2满足 0 x1 x2 1 a 1 求证 当0 x x1时 x ax 2 bx c x1 2 若二次函数y ax 2 bx c的图象关于直线x x0对称 求证 x0 x1 2 38 已知关于x的二次方程x 2 ax b 0 有两个实数根x1 x2 1 若 x1 2 x2 2 求证 2 a 4 b且 b 4 2 若 2 a 4 b且 b 4 求证 x1 2 x2 2 用心 爱心 专心9 39 已知二次函数的图象与x轴交于A B两点 与y轴交于点C 0 4 且 AB 2 图象的对称轴为x 1 3 1 求二次函数的表达式 2 若二次函数的图象都在直线y x m的下方 求m的取值范围 40 已知二次函数y ax 2 4ax b b 0 的图象开口向上 与 x轴的两个交点分别为 A B 且 O为坐标原点 与y轴的交点为C 0 t 顶点的纵坐标为k 且 OA OB 1 5 k 9 53 24 53 1 求A B两点的坐标 2 求t的取值范围 3 当t取最小值时 求该二次函数的表达式 41 已知a b为常数 当k取任意实数时 函数y k 2 k 1 x 2 2 a k 2x k 2 3ak b 的图象与 x轴都交于点A 1 0 1 求a b的值 2 若函数图象与x轴的另一个交点为B 当k变化时 求 AB 的取值范围 42 已知二次函数y x 2 mx m 2 1 若该二次函数图象与x轴的两个交点A B分别在原点的两侧 并且AB 求m 5 的值 2 设该二次函数图象与y轴的交点为C 二次函数图象上存在关于原点对称的两点 M N 且S MNC 27 求m的值 43 已知两个二次函数y1 y2 当x m m 0 时 y1取最小值 6 且y2 5 又y2最小值 为 y1 y2 2x 2 3x 9 5 6 1 求m的值 2 求二次函数y1 y2的表达式 44 已知ab 0 且函数y1 x 2 2ax 4b 与y2 x 2 4ax 2b 有相同的最小值m 函数 y3 x 2 2bx 4a与y4 x 2 4bx 2a有相同的最大值n 求证 m n 0 45 对于x的二次三项式ax 2 bx c a 0 1 当c 0 时 求函数y 2 ax 2 bx c 1 的最大值 2 若不论k为任何实数 直线y k x 1 与抛物线y ax 2 bx c 有且只有一 k 2 4 个公共点 求a b c的值 46 已知二次函数y 3 ax 2 2bx c 若 a b c 0 且当x 0 和x 1 时 函数值y均 大于 0 1 求证 a 0 且 2 1 b a 2 求证 方程 3ax 2 2bx c 0 有两个实数根且都大于 0 小于 1 用心 爱心 专心10 47 已知二次函数y ax 2 bx c 的图象经过点 0 3 顶点在直线y x 1 上且在 第四象限 顶点与原点的距离为 5 1 求该二次函数的表达式 2 设该二次函数的图象与x轴交于A B两点 点A在点B的左侧 顶点为C 直线 y x 1 交y轴于点D 在y轴上是否存在点P 使得以P O C为顶点的三角形与 BCD相似 若存在 求出P点的坐标 若不存在 请说明理由 48 已知y ax 2 x a 1 x 1 1 若 a 1 求证 y 5 4 2 若y的最大值为 求a的值 17 8 49 已知抛物线y x 2 mx n上有一点P x0 y0 位于x轴下方 1 求证 此抛物线与x轴交于两点 2 设此抛物线与x轴的交点为A x1 0 B x2 0 且x1 x2 求证 x1 x0 x2 3 当点P坐标为 1 2011 时 求整数x1 x2的值 50 已知在 Rt ABC中 C 90 BC a AC b 且 cotB AB cosA 1 求证 a b 2 2 若b 2 抛物线y m x b 2 a与直线y x 4 交于M x1 y1 N x2 y2 两点 且 MON的面积为 6 求m的值 3 若a b 2n 2 p q 3 抛物线 y n x 2 px 3q 与 x轴交于不同的两点 其中 1 4 一个交点在原点右侧 试判断抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴还是负半轴 说明理 由 51 已知二次函数y ax 2 bx c a 0 的图象经过 A 1 0 B 0 l 两点 它的顶点在第一象限 它的一部分图象如图所示 1 试确定b的符号 2 当b变化时 求a b c的取值范围 3 是否存在实数a 使得 ABC 120 若存在 求a的值 若不存在 请说明理由 y xO y x 1 y OA B x 用心 爱心 专心11 52 如图 Rt ABC的斜边AB在x轴上 点A在点B的左侧 直角顶点C在x轴的上方 且A tanA 0 B tanB 0 二次函数y x 2 mx 2 2m m 2 x为自变量 5 2 的图象经过A B两点 1 求该二次函数的表达式 2 判断直角顶点C是否在该二次函数的图象上 请说明理由 53 已知抛物线F1 y ax 2 2amx am 2 2m 1 a 0 m 0 的顶点为A 抛物线F2的 顶点B在y轴上 且抛物线F1和F2关于点M 1 3 成中心对称 1 求m的值和抛物线F2的解析式 2 设抛物线F2与x轴正半轴的交点为C 当 ABC为等腰三角形时 求a的值 54 已知二次函数y x 2 m 2 x 3 m 1 1 求证 无论m为任何实数 函数图象与x轴总有交点 2 设函数图象与y轴交于点C 当函数图象与x轴有两个交点A B 点A在点B的左侧 且 ABC为钝角