2011届高三数学一轮巩固与练习：双曲线

用心 爱心 专心 1 巩固巩固 1 方程 ax2 by2 c 表示双曲线是 ab0 b 0 x2 a2 y2 b2 由渐近线方程 y x 得 4 3 b a 4 3 又焦点在圆 x2 y2 100 上 知 c 10 即 a2 b2 100 由 解得 a 6 b 8 所求双曲线方程为 1 x2 36 y2 64 2 当焦点在 y 轴上时 设双曲线方程为 1 a 0 b 0 y2 a2 x2 b2 则Error Error 所求双曲线方程为 1 y2 64 x2 36 综上 所求双曲线方程为 1 或 1 x2 36 y2 64 y2 64 x2 36 练习 用心 爱心 专心 3 1 2009 年高考全国卷 双曲线 1 的渐近线与圆 x 3 x2 6 y2 3 2 y2 r2 r 0 相切 则 r A B 2 3 C 3 D 6 解析 选 A 双曲线 1 的渐近线方程为 y x x2 6 y2 3 2 2 则圆心 3 0 到y x 0 的距离为 r 2 r 故选 A 3 33 2 2009 年高考江西卷 设 F1和 F2为双曲线 1 a 0 b 0 的两个焦点 若 F1 F2 P 0 2b 是正三角形 x2 a2 y2 b2 的三个顶点 则双曲线的离心率为 A B 2 3 2 C D 3 5 2 解析 选 B 由 令 b 得 c 2 a 1 e 2 2b c33 c a 3 设 P 是双曲线 1 上一点 双曲线的一条渐近线方程 x2 22 y2 b2 为 3x 2y 0 F1 F2分别是双曲线的左 右焦点 若 PF1 3 则 PF2 等于 A 1 或 5 B 6 C 7 D 9 解析 选 C 由渐近线方程 y x 且 a 2 得 b 3 3 2 PF1 3 2a 4 P 点在双曲线左支上 据定义有 PF2 PF1 4 PF2 7 4 2008 年高考山东卷 设椭圆 C1的离心率为 焦点在 x 轴上 5 13 且长轴长为 26 若曲线 C2上的点到椭圆 C1的两个焦点的距离的差 的绝对值等于 8 则曲线 C2的标准方程为 用心 爱心 专心 4 A 1 B 1 x2 42 y2 32 x2 132 y2 52 C 1 D 1 x2 32 y2 42 x2 132 y2 122 解析 选 A 在椭圆 C1中 由Error 得Error 椭圆 C1的焦点为 F1 5 0 F2 5 0 曲线 C2是以 F1 F2为焦点 实轴长为 8 的双曲线 故 C2的标准方程为 1 故选 A x2 42 y2 32 5 已知双曲线的两个焦点分别为 F1 0 F2 0 P 55 是双曲线上的一点 且 PF1 PF2 PF1 PF2 2 则双曲线方程是 A 1 B 1 x2 2 y2 3 x2 3 y2 2 C y2 1 D x2 1 x2 4 y2 4 解析 选 C PF1 PF2 PF1 2 PF2 2 F1F2 2 即 PF1 PF2 2 2 PF1 PF2 F1F2 2 又 PF1 PF2 2a F1F2 2c 2 PF1 PF2 2 5 2a 2 2 2 2 2 解得 a2 4 5 又 c2 5 b2 1 双曲线方程为 y2 1 x2 4 6 过双曲线 M x2 1 的左顶点 A 作斜率为 1 的直线 l y2 b2 若 l 与双曲线 M 的两条渐近线分别相交于点 B C 且 AB BC 则双曲线 M 的离心率是 A B 105 C D 10 3 5 2 解析 选 A 据题意可设 lAB y x 1 lOC y bx lOB y bx 由Error 解得 C 点纵坐标 为 B 点纵坐标为 因为 AB BC 所以 2 b b 1 b 1 b b b 1 b b 1 解得 b 3 所以 e c a10 7 已知圆 C x2 y2 6x 4y 8 0 以圆 C 与坐标轴的交点分 用心 爱心 专心 5 别作为双曲线的一个焦点和顶点 则适合上述条件的双曲线的标准 方程为 答案 1 x2 4 y2 12 8 2009 年高考湖南卷 过双曲线 C 1 a 0 b 0 的 x2 a2 y2 b2 一个焦点作圆 x2 y2 a2的两条切线 切点分别为 A B 若 AOB 120 O 是坐标原点 则双曲线 C 的离心率为 解析 如图 由题知 OA AF OB BF 且 AOB 120 AOF 60 又 OA a OF c cos 60 2 a c OA OF 1 2 c a 答案 2 9 2008 年高考海南 宁夏卷 设双曲线 1 的右顶点为 x2 9 y2 16 A 右焦点为 F 过点 F 平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线 交于点 B 则 AFB 的面积为 解析 a2 9 b2 16 故 c 5 A 3 0 F 5 0 不妨设 BF 的方程为 y x 5 4 3 代入双曲线方程解得 B 17 5 32 15 S AFB AF yB 2 1 2 1 2 32 15 32 15 答案 32 15 10 已知双曲线的一条渐近线方程是 x 2y 0 且过点 P 4 3 求双曲线的标准方程 解 法一 双曲线的一条渐近线方程为 x 2y 0 当 x 4 时 y 2 yP 3 用心 爱心 专心 6 双曲线的焦点在 y 轴上 从而有 b 2a a b 1 2 设双曲线方程为 1 y2 a2 x2 4a2 由于点 P 4 3 在此双曲线上 1 解得 a2 5 9 a2 16 4a2 双曲线方程为 1 y2 5 x2 20 法二 双曲线的一条渐近线方程为 x 2y 0 即 y 0 x 2 双曲线的渐近线方程为 y2 0 x2 4 设双曲线方程为 y2 0 x2 4 双曲线过点 P 4 3 32 即 5 42 4 所求双曲线方程为 y2 5 x2 4 即 1 y2 5 x2 20 11 如图所示 双曲线的中心在坐标原点 焦点在 x 轴上 F1 F2分别为左 右焦点 双 曲线的左支上有一点 P F1PF2 且 PF1F2的面积为 2 又 33 双曲线的离心率为 2 求该双曲线的方程 解 设双曲线方程为 1 a 0 b 0 x2 a2 y2 b2 F1 c 0 F2 c 0 P x0 y0 用心 爱心 专心 7 在 PF1F2中 由余弦定理 得 F1F2 2 PF1 2 PF2 2 2 PF1 PF2 cos 3 PF1 PF2 2 PF1 PF2 即 4c2 4a2 PF1 PF2 又 S PF1F2 2 3 PF1 PF2 sin 2 1 2 33 PF1 PF2 8 4c2 4a2 8 即 b2 2 又 e 2 a2 c a 2 3 双曲线的方程为 1 3x2 2 y2 2 12 已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 2 0 右顶点为 0 3 1 求双曲线 C 的方程 2 若直线 y kx m k 0 m 0 与双曲线 C 交于不同的两点 M N 且线段 MN 的垂直平分线过点 A 0 1 求实数 m 的取值 范围 解 1 设双曲线方程为 1 a 0 b 0 x2 a2 y2 b2 由已知得 a c 2 3 又 a2 b2 c2 得 b2 1 故双曲线 C 的方程为 y2 1 x2 3 2 联立Error 整理得 1 3k2 x2 6kmx 3m2 3 0 直线与双曲线有两个不同的交点 Error 可得 m2 3k2 1 且 k2 1 3 设 M x1 y1 N x2 y2 MN 的中点为 B x0 y0 则 x1 x2 x0 6km 1 3k2 x1 x2 2