2010年东北四校高三数学第三次高考模拟联考 理 新人教版

用心 爱心 专心 数学试题 理工类 考试说明 本试卷分第 1 卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分 满分 150 分 考试时 间 120 分钟 1 答题前 务必先将自己的姓名 准考证号填写在答题卡上 认真 核对条形码上的姓 名 准考证号 并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上 2 答题时使用 0 5 毫米黑色签字笔或碳素笔书写 字体工整 笔变清楚 3 请按照题号在各题的答题区域 黑色线框 内作答 超出答题区域忆写的答案无效 4 保持卡面清洁 不折叠 不要弄破 弄皱 不准使用涂改液 刮纸刀 参考公式 锥体的体积公式 其中 S 为底面积 为高ShV 3 1 h 球的体积公式 其中 R 为球的半径 3 3 4 RV 相关指数其中 为相应点的 n i i n i ii yy yy R 1 2 2 12 1 n i i y n y 1 1 ii yy ii yx 残差 第 卷 选择题 共 60 分 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有 一项是符合题目要求 1 已知集合为 NMxxgyxNxyyM x 则 2 1 0 2 2 A 1 2 B C D 1 2 1 2 若的展开式中各项系数之和为 1024 则展开式中含的整数次幂的项共有 n x x 1 3 x A 3 项B 4 项C 5 项D 6 项 3 已知复数满足 z zii i z iz则是虚数单位 43 1 A B C D i 3i 34 i 32 i 3 哈尔滨三中 东北育才 大连育明 天津耀华 2010 年四校第三次高考模拟联考 用心 爱心 专心 4 设函数 3 0 00 2 3 0 xxfdxxfabaxxf则若 A B C D 21 23 5 从 1004 名学生中选取 50 名参加活动 若采用下面的方法选取 选用简单随机抽样从 1004 人中剔除 4 人 剩下的 1000 人再按系统抽样的方法进行抽样 则每人入选的概率 A 不全相等B 均不相等 C 都相等且为D 都相等且为 502 25 20 1 6 已知一个几何体是由上下两部分构成的组合体 其三视图如右图 若图中圆的半径为 等腰三 角形的腰长为 则该几何体的体积为 5 A B 3 2 3 4 C D 2 4 7 已知等差数列的前项和为 若 n an n S01 1 2 11 mmm aaam且 则等于 39 12 m Sm A 10B 19C 20D 39 8 已知 O 是内部一点 则ABC 60 2 0 BACACABOCOBOA且 的面积为 OBC A B 3 3 2 1 C D 2 3 3 2 9 一个算法的程序框图如图所示 若该程序输出的结果 为 则判断框内应填入的条件是 2010 2009 A 2008 i B 2009 i C 2010 i D 2012 i 10 过抛物线的焦点作一条直线与抛物线交于 A Bxy2 2 两点 它们的横坐标之和等于 2 则这样的直线 A 有且只有一条B 有且只有两条 C 有且只有三条D 有且只有四条 11 有 5 种颜色可供使用 将一个五棱锥的各侧面涂色 五个 用心 爱心 专心 1 2 2 3 4 3 4 7 7 4 5 11 14 11 5 6 16 25 25 16 6 侧面分别编有 1 2 3 4 5 号 而有公共边的两个面不 能涂同一种颜色 则不同的涂色方法数为 A 420B 720 C 1020D 1620 12 定义在 R 上的函数 是增函数 且函数的图像关于 3 0 成中 xfy 3 xfy 心对称 若满足不等式的取值范围ts ststtfssf 3 41 2 2 22 时则当 是 A B 4 16 10 2 C D 10 4 16 2 第 卷 非选择题 共 90 分 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 将答案填在题后的横线上 13 如图为一三角形数阵 它满足 第行首尾n 两数均为 表中的递推关系类似杨辉三角n 三角形数阵中的数为其肩上两数之和 则 第行 第 2 个数是 n 2 n 14 给定下列四个命题 2cossin 000 xxRx 2 0 0 x 0 0 cos 2 2cos1 x x 已知随机变量越小 则 X 集中在周围的概率越大 2 NX 用相关指数来刻画回归的效果就越好 取值越大 则残差平方和越小 模型拟 2 R 2 R 合的效果就越好 其中为真命题的是 15 已知双曲线的右焦点为 F 过 F 做双曲线 C 的一条渐近线 0 0 1 2 2 2 2 ba b y a x C 的垂线 与双曲线交于 M 垂足为 N 若 M 为线段 FN 的中点 则双曲线 C 的离心率为 16 已知的矩形 ABCD 沿对角形 BD 将折起得到三棱锥 C ABD 且1 2 BCABBDC 三棱锥的体积为则异面直线 BC 与 AD 所成角的余弦值为 15 52 三 解答题 本大题共 6 小题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 用心 爱心 专心 17 本小题满分 12 分 2009 年 11 月 30 时 3 时许 位于哈尔滨市南岗区东大直街 323 号的大世界商城发生火灾 为扑灭某着火点 现场安排了两支水枪 如图 D 是着火点 A B 分别是水枪位置 已 知米 在 A 处看到着火点的仰角为 60 215 AB 105 30BACABC 求两支水枪的喷射距离至少是多少 18 本小题满分 12 分 单位为 30 元 件的日用品上市以后供不应求 为满足更多的消费者 某商场在销售的过 程中要求购买这种产品的顾客必须参加如下活动 摇动如图所示的游戏转盘 上面扇形 的圆心角都相等 按照指针所指区域的数字购买商品的件数 在摇动转盘之前 顾客可 以购买 20 元 张的代金券 限每人至多买 12 张 每张可以换一件该产品 如果不能按 照指针所指区域的数字将代金券用完 那么余下的不能再用 但商场会以 6 元 张的价格 回收代金券 每人只能参加一次这个活动 并且不能代替别人购买 1 如果某顾客购买 12 张代金券 最好的结果是什么 出现这种结果的概率是多少 2 求需要这种产品的顾客 能够购买到该产品件数的分布列及均值 3 如果某顾客购买 8 张代金券 求该顾客得到优惠的钱数的均值 19 本小题满分 12 分 如图 三棱柱 ABC A1B1C1中 侧棱底面 ABC 为边长为 2 的正三角形 1 AAABC 点 P 在 A1B 上 且 ABCP 1 证明 P 为 A1B 中点 2 若 A1BAC1 求二面角 B1 PC B 的余弦值 用心 爱心 专心 20 本小题满分 12 分 已知定点 B 是圆 C 为圆心 上的动点 AB 的垂 0 3 A16 3 22 yxC 直平分线与 BC 交于点 E 1 求动点 E 的轨迹方程 2 设直线与 E 的轨迹交于 P Q 两点 且以 PQ 为对角线 0 0 mkmnkxyl 的菱形的一顶点为 1 0 求 OPQ 面积的最大值及此时直线 的方程 l 21 本小题满分 12 分 已知对任意的恒有成立 0 x 1 1 xbnxa 1 求正数与的关系 ab 2 若 1 1 1 xbxfnxRnmnxmxfa若设 对恒成立 求函数的解析式 0 x xf 3 证明 2 42 1 nNnnnnn 请考生在第 22 23 24 三题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题记分 22 本小题满分 10 分 选修 4 1 几何证明选讲 在中 AB AC 过点 A 的直线与其外接圆交于点 P 交 BC 延长线于点 D ABC 1 求证 BD PD AC PC 2 若 AC 3 求的值 ADAP 用心 爱心 专心 23 本小题满分 10 分 选修 4 4 坐标系与参数方程 已知曲线 C 的极坐标方程 是 1 以极点为原点 极轴为轴的正半轴建立平面直角 x 坐标系 直线 的参数方程为为参数 lt ty t x 2 3 2 2 1 1 写出直线 与曲线 C 的直角坐标方程 l 2 设曲线 C 经过伸缩变换得到曲线 设曲线上任一点为 求 yy xx 2 C C yxM 的最小值 yx32 24 本小题满分 10 分 选修 4 5 不等式选讲 已知对于任意非零实数 不等式恒成立 m 32 1 1 12 xxmmm 求实数的取值范围 x 参考答案 一 选择题 1 5AADCC 6 10BCABB 11 12CD 二 填空题 13 2 2 2 nn 14 15 2 16 5 1 三 解答题 17 解 在中 可知 ABC 45ACB 由正弦定得得 ABC AC ACB AB sinsin 解得 AC 15 又 6 分 315 30 60 CDADCAD 4 26 6045sin 105sin 由正弦定得得 BAC BC ACB AB sinsin 解得 9 分 2 26 15 BC 由勾股定理可得3515 22 CDBCBD 综上可知两支水枪的喷射距离至少分别为 30 米 米 12 分 3515 18 解 1 最好的结果是 摇动游戏转盘 指针指有 12 的区域 概率为 2 分 12 1 2 可能的取值为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 且取其中每个值的概率为 12 1 的分布列为 123456789101112 P 12 1 12 1 12 1 12 1 12 1 12 1 12 1 12 1 12 1 12 1 12 1 12 1 5 分 5 6 12 1 1221 E 3 设指针所指数字为 得到优惠的钱数为 Y 元 购买 8 张代金券 8 8 1410 8 80 Y 即 9 分 8 11224 8 80 Y 12 分 24580 12 1 12 1 7112 721 24 EY 12 分 19 解 证明 取 AB 中点 Q ABCQ 又平面 CPO ABCPAB PQAB P 为 A1B 的中点 4 分 方法一 连接 AB1 取 AC 中点 R 连接 A1R 则平面 A1C1CA 由已知 A1BAC1 BR 1 ACBR CACACRA 111 RAA1 6 分 AAAC AA AC AC CC 1 1 1 2 2 1 则 则 AC 22 1 AA 连 B1A B1R BR 平面 B1BR AC 平面 B1AC平面 B1BR 平面平面 B1BR B1R 过 B 做 BHB1R 垂足为 H ACB1 则 BH平面 B1PC 过 B 做 BGPC 连接 GH 那么为二面角 B1 PC B 的平面角 8 分 BGH 在中 在中 10 分 BRB1 5 30 BHPBC 21 03 BG 5 21 sin BGH 12 分 5 2 cos BGH 方法二 建立如图所示的坐标系 设 bAAaAB 1 2 则 0 0 0 1 baCaA 3 2 0 11 baaBAbaAC 6 分 abba2 02 22 不妨设2 2 1 CCAB 2 1 3 0 1 3 2 2 2 1 2 3 1 CBBCPC 设平面 PB1C 的一个法向量 1 zyxn 则 8 分 23 3 3 1 n 设平面 PBC 的一个法向量 2 zyxn 则 10 分 3 0 2 2 n 因为二面角 B1 PC B 为锐二面角 5 2 cos 21 nn 二面角 B1 PC B 的余弦值为 12 分 5 2 20 解 1 由题知 EBEA 2 分 4 ECEBECEA 又432 AC 点 E 的轨迹是以 A C 为焦点 长轴长为 4 的椭圆 E 的轨迹方程为 4 分 1 4 2 2 y x 2 设 PQ 的中点为 2211 yxQyxP 00 yx 将直线与 mkxy 1 4 2 2 y x 联立得 0448 41 222 mkmxxk 即 0 14 16 22 mk 22 14mk 又 2 21 0 2 21 0 412 41 4 2k myy y k kmxx x 依题意有 kx y1 1 0 0 0 整理得 6 分 143 2 kkm 由 可得 5 1 2 k 0 0 km 7 分 5 5 k 设 O 到直线 的距离为 则ld 2 222 2 41 14 161 1 2 1 2 1 k mkk k m PQdS OPQ 10 分 422 22 11 20 9 2 9 15 14 2 kkk kk 当时 的面积取最大值 1 2 11 2 k OPQ 此时 2 23 2 mk 直线方程为 12 分 2 23 2 xy 21 解 1 设 1 ln xbxaxf 易知 由已知恒成立 0 1 f0 xf 所以函数在处取得最大值 xf1 x x bxa b x a xf baf 0 1 又在处取得极大值 符合题意 0 xfa 1 x 即关系式为 3 分 ba 2 1 1 ba 恒成立 1ln xnxmx 令 有 5 分 1 x00 nm0 nm 1 xmxm 即对恒成立 0 1 1 mxx0 x 须 2 11 mm即 函数 7 分 1 2 xxf 3 由 2 知 9 分 2 1 42 1 4 2 2 4 2 21 ln kk kkkkk nnnnn n 2 01 21 1 4 1 ln nn24 即 12 分 2 42 ln nNnnnn 22 解 1 DDABCCPD DPC DBA BD PD AB PC 又 5 分 BD