天津市滨海新区2013届高三数学联考试题试题 理 新人教A版

1 20132013 年天津市滨海新区五所重点学校高三毕业班联考年天津市滨海新区五所重点学校高三毕业班联考 数学试卷 理科 数学试卷 理科 本试卷分第 I 卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分 共 150 分 考试时间 120 分钟 第 卷 1 至 2 页 第 卷 3 至 5 页 考试结束后 将 II 卷答题卡和选择题答题卡一并交回 第第 I I 卷卷 选择题 共 40 分 注意事项 注意事项 1 1 答第 答第 卷前 考生务必将自己的姓名 准考证号 考试科目用铅笔涂写在答题卡上 卷前 考生务必将自己的姓名 准考证号 考试科目用铅笔涂写在答题卡上 2 2 选出答案后 用铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑 如需改动 选出答案后 用铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑 如需改动 用橡皮擦干净后 再填涂其它答案 不能答在试卷上 用橡皮擦干净后 再填涂其它答案 不能答在试卷上 一一 选择题 本题共选择题 本题共 8 8 个小题 每小题个小题 每小题 5 5 分 共分 共 4040 分 在每小题给出的四个选项中 有且只分 在每小题给出的四个选项中 有且只 有一个是正确的 有一个是正确的 1 复数 其中 为虚数单位 的虚部虚部等于 2 2 1 i i i A B C D i 1 10 2 是的 2px 2q x A 充分必要条件 B 充分不必要条件 C 必要不充分条件 D 既不充分也不必要条件 3 阅读如图的程序框图 若运行相应的程序 则输出的的值是 S A B C D 3921 81102 4 若展开式中的系数为 则的值为 5 1 ax x 0 a 3 x 5 81 a A B C D 1 3 1 9 1 27 1 开始 0 1 Sn 3nSSn 4 n 1 nn 输出 S 结束 是 否 2 5 已知双曲线的左右焦点分别为 在双曲线右支 22 22 1 0 0 xy ab ab 12 F F 上存在一点满足且 那么双曲线的离心率是 P 12 PFPF 12 6 PFF A B C D 2331 51 6 在中 内角所对的边分别为 其中 ABC A B C a b c120 1Ab 且面积为 则 ABC 3 sinsin ab AB A B C D 21 2 39 3 2 212 7 7 在平行四边形中 连接 相交于点 ABCD2 AEEB CFFB CEDFM 若 则实数与的乘积为 AMABAD A B C D 1 4 3 8 3 4 4 3 8 已知函数 2342013 1 2342013 xxxx f xx 设函数 3 4 F xf xg x 2342013 1 2342013 xxxx g xx 且函数 F x的零点均在区间 Z bababa内 则 ba的最小值为 A 8 B 9 C 10 D 11 2013 年天津市滨海新区五所重点学校高三毕业班联考 数学试卷 理科 数学试卷 理科 第第 卷卷 非选择题 共 110110 分 注意事项 注意事项 1 1 第 第 卷共 页 用黑色的水笔或签字笔将答案直接答在答题卡上 卷共 页 用黑色的水笔或签字笔将答案直接答在答题卡上 2 2 答卷前 请将密封线内的项目填写清楚 答卷前 请将密封线内的项目填写清楚 二二 填空题 本大题共填空题 本大题共 6 6 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 3030 分分 请把答案填在答题卡的相应的横线上请把答案填在答题卡的相应的横线上 9 某工厂生产三种不同型号的产品 三种产品数量之比依次为 A B C4 3 2 现采用分层抽样的方法从中抽出一个容量为的样本 样本中型号的产品有件 nA16 3 1 2 正视图正视图 1 2 侧视图侧视图 2 2 俯视图俯视图 那么此样本容量 n 10 右图是一个空间几何体的三视图 则该几何体的体积 大小为 11 已知 1 3 2l oga 0 6 2b 4 3c l og 则的大小关系为大小关系为 a b c 12 己知集合 2 22 28 240 xx AxBx xmx 若 则实数等于 11 43 ABxxABxx m 13 直线 极轴与轴的非负半轴重 4 2 2cos 12 4 xat ltC yt 为参数圆x 合 且单位长度相同 若直线 被圆截得的弦长为 则实数的值为 lC 6 5 5 a 14 设函数为坐标原点 图象上横坐标为 0 11 21 x f xxA x n Ayf x 为函数 的点 向量的夹角 n nN 1 1 1 0 n nkknn k aAAiai 向量设为向量与向量 满足的最大整数是 1 5 tan 3 n k k n 三三 解答题 本大题解答题 本大题 6 6 小题 共小题 共 8080 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 15 本题满分 13 分 已知函数 求 22 sin2 3sin cos3cosf xxxxx xR I 求函数的最小正周期和单调递增区间 f x II 求函数在区间上的值域 f x 6 3 4 16 本题满分 13 分 甲 乙两人参加某种选拔测试 规定每人必须从备选的道题中随机抽出道题进行测试 63 在备选的道题中 甲答对其中每道题的概率都是 乙只能答对其中的道题 6 5 3 3 答对一题加分 答错一题 不答视为答错 得 0 分 10 求乙得分的分布列和数学期望 规定 每个人至少得分才能通过测试 求甲 乙两人中至少有一人通过测试的概20 率 17 本题满分 13 分 如图在四棱锥中 底面是边长为的正方形 侧面底面 PABCD ABCDaPAD ABCD 且 设 分别为 的中点 2 2 PAPDAD EFPCBD 求证 平面 EFPAD 求证 面平面 PAB PDC 求二面角的正切值 BPDC 18 本题满分 13 分 已知数列的前项和为 且 n an n S 22 nn SanN 数列满足 且点在直线上 n b 1 1b 1 nn P b bnN 2yx 求数列 的通项公式 n a n b 求数列的前项和 nn ab n n D 设 求数列的前项和 22 sincos 22 nnn nn cabnN n c2n 2n T 19 本题满分 14 分 设椭圆 0 1 2 2 2 2 ba b y a x C的左 右焦点分别为 12 F F F E D C B A P 5 1 F 2 F x y A O B 上顶点为A 在x轴负半轴上有一点B 满足 且 2 AFAB 112 BFFF 求椭圆C的离心率 是过 2 FBA 三点的圆上的点 到直线033 yxl的最大距离等于DD 椭圆长轴的长 求椭圆C的方程 在 的条件下 过右焦点 2 F作斜率为k的直线l 与椭圆C交于NM 两点 线段的中垂线MN 与x轴相交于点 0 mP 求实数m的取值范围 20 本题满分 14 分 设函数 ln a f xxx x 32 3g xxx 讨论函数的单调性 f x h x x 如果存在 12 0 2 x x 使得 12 g xg xM 成立 求满足上述条件的最大整数 M 如果对任意的 1 2 2 s t 都有 f sg t 成立 求实数a的取值范围 6 20132013 年天津市滨海新区五所重点学校高三毕业班联考年天津市滨海新区五所重点学校高三毕业班联考 数学答案 理科 数学答案 理科 一 选择题 B C D A C D B C 二 填空题 9 10 11 72 2 4 3 acb 12 13 或 14 3 2 023 三 解答题 15 已知函数 求 22 sin2 3sin cos3cosf xxxxx xR I 求函数的最小正周期和单调递增区间 f x II 求函数在区间上的值域 f x 6 3 解解 I 1cos23 1cos2 3sin2 22 xx f xx 4 分23sin2cos2xx 2sin 2 2 6 x 最小正周期 5 分 2 2 T 时为单调递增函数222 262 kxkkZ f x 的单调递增区间为 8 分 f x 36 kkkZ II 解 由题意得 22sin 2 6 f xx 63 x 5 2 666 x 1 sin 2 1 62 x 1 4 f x 值域为 13 分 f x 1 4 16 甲 乙两人参加某种选拔测试 规定每次考试每人必须从备选的道题中6 随机抽出道题进行测试 在备选的道题中 甲答对其中每道题的概率都是 36 5 3 乙只能答对其中的道题 答对一题加分 答错一题 不答视为答错 得 0 分 310 求乙得分的分布列和数学期望 规定 每个人至少得分才能通过测试 求甲 乙两人中至少有一人通过测试的概20 率 解解 设乙的得分为 的可能值有 1 分XX0 10 20 30 7 M F E D C B A P 3 3 3 6 1 0 20 C P X C 21 33 3 6 9 10 20 C C P X C 5 分 12 33 3 6 9 20 20 C C P X C 3 3 3 6 1 30 20 C P X C 乙得分的分布列为 6 分 1991 010203015 20202020 EX 所以乙得分的数学期望为 8 分15 2 乙通过测试的概率为 9 分 191 20202 甲通过测试的概率为 11 分 322 3 33281 555125 C 甲 乙都没通过测试的概率为 18122 11 2125125 因此甲 乙两人中至少有一人通过测试的概率为 13 分 22103 1 125125 17 如图 在四棱锥中 底面是边长为的正方形 PABCD ABCDa 侧面底面 且 PAD ABCD 2 2 PAPDAD 若 分别为 的中点 EFPCBD 求证 平面 EFPAD 求证 面平面 PAB PDC 求二面角的正切值 BPDC 法一 法一 证明证明 为平行四边形ABCD 连结 为中点 ACBDF FAC 为中点 在中 2 分EPCCPA EFPA 且平面 平面 PA PADEF PAD 4 分 PADEF平面 证明证明 因为面面 平面PAD ABCD X0102030 P 1 20 9 20 9 20 1 20 F E D C B A P 8 z y x O F E D C B A P 面 PAD ABCDAD 为正方形 平面ABCDCDAD CD ABCD 所以平面 5 分CD PADCDPA 又 所以是等腰直角三角形 2 2 PAPDAD PAD 且 即 6 分 2 PAD PAPD 且 面 CDPDD CDPD ABCD 面 分PA PDC 又面 面面 8 分PA PABPAB PDC 解解 设的中点为 连结 PDMEMMF 则由 知面 EMPD EF PDC 面 EFPD PD EFMPDMF 是二面角的平面角 12 分EMF BPDC 中 Rt FEM 12 24 EFPAa 11 22 EMCDa 故所求二面角的正切值为 13 分 2 2 4 tan 1 2 2 a EF EMF EM a 2 2 法二法二 如图 取的中点 连结 ADOOP OF PAPD POAD 侧面底面 PAD ABCD PADABCDAD 平面平面 POABCD 平面 而分别为的中点 O F AD BD OFAB 又是正方形 故 ABCDOFAD 2 2 PAPDAD PAPD 2 a OPOA 以为原点 直线为轴建立空间直线坐标系 O OA OF OP x y z 则有 0 0 2 a A 0 0 2 a F 0 0 2 a D 0 0 2 a P 0 2 a Ba 0 2 a Ca 为的中点 3 分EPC 4 2 4 a a a E 证明 证明 易知平面的法向量为而 PAD 0 0 2 a OF 0 44 aa EF 9 且 平面 6 分 0 0 0 0 244 aaa OF EF EFPAD 证明 证明 0 22 aa PA 0 0 CDa 0 0 0 0 22 aa PA CDa 从而 又 PACD PACD PAPD PDCDD 而 PAPDC 平面PAPAB 平面 平面平面 9 分PAB PDC 解解 由 知平面的法向量为 PDC 0 22 aa PA 设平面的法向量为 PBD nx y z 0 0 22 aa DPBDa a 由可得 令 则 0 0n DPn BD 00 22 00 aa xyz a xa yz 1x 1 1yz 故 1 1 1 n 6 cos 32 3 2 n PAa n PA n PA a 即二面角的余弦值为 12 分BPDC 6 3 所以二面角的正切值为 13 分BPDC 2 2 18 已知数列的前项和为 且 n an n S 22 nn SanN 数列满足 且点在直线上 n b 1 1b 1 nn P b bnN 2yx 求数列 的通项公式 n a n b 求数列的前项和 nn ab n n D 设 求数列的前项和 22 sincos 22 nnn nn cabnN n c2n 2n T 解解 当 1 分1 n2 1 a 当时 2 分2 n 11 22 nnnnn aSSaa 是等比数列 公比为 2 首项 1 2 2 nn aan n a 1 2a 3 分2n n a 又点在直线上 1 nn P b bnN 2yx 1 2 nn bb 是等差数列 公差为 2 首项 5 分 n b1 1 b21 n bn 21 2n nn abn 10 1 F 2 F x y A O B 12341 1 23 25 27 2 23 2 21 2 nn n Dnn 23451 21 23 25 27 2 23 2 21 2 nn n Dnn 得 7 分 12341 1 22 22 22 22 2 21 2 nn n Dn 8 分 1 11 4 1 2 22 21 22 32 6 1 2 n nn nn 9 分 1 23 26 n n Dn 11 分 2 21 n n c n 为偶数 为奇数 n n 21321242 nnn Taaabbb 13 分 21 3212 22 222 37 41 2 3 n n nnn 19 设椭圆 0 1 2 2 2 2 ba b y a x C的左 右焦点分别为 21 FF 上顶点为A 在x轴负半轴上有一点B 满足 211 FFBF 且 2 AFAB 求椭圆C的离心率 是过 2 FBA 三点的圆上的点 到直线DD 033 yxl的最大距离等于椭圆长轴的长 求椭圆C的方程 在 的条件下 过右焦点 2 F作斜率为k的直线l与椭圆C 交于NM 两点 线段的中垂线与x轴上相交于点 0 mP 求实数m的取值范围MN 解解 连接 因为 2 AFAB 211 FFBF 所以 1 AF 112 AFFF 即 故椭圆的离心率 2 1 e 3 分2ac 其他方法参考给分 由 1 知 2 1 a c 得ac 2 1 于是 2 1 0 2 Fa 3 0 2 a B 的外接圆圆心为 半径 5 分Rt ABC 1 1 0 2 Fa 2 1 2 rF Ba 到直线033 yxl的最大距离等于2a 所以圆心到直线的距离为a D 所以 a a 2 3 2 1 解得 7 分2 1 3acb 所求椭圆方程为1 34 22 yx 8 分 由 知 0 1 2 F l 1 xky 11 1 34 1 22 yx xky 代入消得 01248 43 2222 kxkxk y 因为 过点 所以恒成立l 2 F0 设 11 yxM 22 yxN则 2 2 21 43 8 k k xx 1212 2 6 2 34 k yyk xx k 中点 10 分MN 2 22 43 3434 kk kk 当时 为长轴 中点为原点 则 11 分0k MN0m 当时中垂线方程 0k MN 2 22 314 3434 kk yx kkk 令 4 3 1 43 2 2 2 k k k m 12 分0y 可得 4 1 0 m 13 分 2 3 0 k 2 1 44 k 综上可知实数m的取值范围是 14 分 1 0 4 20 设函数 ln a f xxx x 32 3g xxx 讨论函数的单调性 f x h x x 如果存在 12 0 2 x x 使得 12 g xg xM 成立 求满足上述条件的最大整数M 如果对任意的 1 2 2 s t 都有 f sg t 成立 求实数a的取值范围 解解 1 分 2 l n a h xx x 2 33 212 axa h x xxx 函数在上单调递