2012届高三数学一轮复习 7.7 立体几何体中的向量方法课时训练解析 新人教A版

专心 爱心 用心 1 第七章第七章 第七节第七节 立体几何体中的向量方法立体几何体中的向量方法 时间 60 分钟 满分 80 分 一 选择题 共 6 个小题 每小题 5 分 满分 30 分 1 2011 杭州模拟 若平面 的法向量分别为n1 2 3 5 n2 3 1 4 则 A B C 相交但不垂直 D 以上均不正确 解析 因为 cos n1 n2 0 且 cos n1 n2 1 所以 相交 n1 n2 n1 n2 但不垂直 答案 C 2 已知向量m n分别是直线l和平面 的方向向量和法向量 若 cos m n 则l与 所成的角为 1 2 A 30 B 60 C 120 D 150 解析 因为 cos m n 所以l与 所成角 满足 sin cos m n 1 2 1 2 又 0 2 所以 30 答案 A 3 在正方体ABCD A1B1C1D1中 若E为A1C1中点 则直线CE垂直于 A AC B BD C A1D D A1A 解析 如图所示 易证BD 平面AA1C1C 又CE 平面 ACC1A1 BD CE 答案 B 4 2011 厦门模拟 在正方体ABCD A1B1C1D1中 M N分别为棱 AA1和BB1的中点 则 sin 的值为 CM 1 D N A B 1 9 4 9 5 C D 2 9 5 2 3 专心 爱心 用心 2 解析 设正方体棱长为 2 以D为坐标原点 DA为x轴 DC为y轴 DD1为z轴建立空 间直角坐标系 可知 2 2 1 2 2 1 CM 1 D N cos sin CM 1 D N 1 9 CM 1 D N 4 5 9 答案 B 5 如图所示 在三棱柱ABC A1B1C1中 AA1 底面 ABC AB BC AA1 ABC 90 点E F分别是棱AB BB1的中点 则 直线EF和BC1所成的角是 A 45 B 60 C 90 D 120 解析 以B点为坐标原点 以BC BA BB1分别为x y z轴建立空间直角坐标系 设 AB BC AA1 2 则B 0 0 0 C1 2 0 2 E 0 1 0 F 0 0 1 0 1 1 2 0 2 EF 1 BC cos EF 1 BC EF与BC1所成角为 60 2 2 8 1 2 答案 B 6 如图 正方体ABCD A1B1C1D1中 E F分别在A1D AC上 且 A1E A1D AF AC 则 2 3 1 3 A EF至多与A1D AC之一垂直 B EF A1D EF AC C EF与BD1相交 D EF与BD1异面 解析 以D点为坐标原点 以DA DC DD1所在直线分别为x y z轴建系 设正方体 棱长为 1 专心 爱心 用心 3 则A1 1 0 1 D 0 0 0 A 1 0 0 C 0 1 0 E 0 F 0 B 1 1 0 1 3 1 3 2 3 1 3 D1 0 0 1 1 0 1 1 A D 1 1 0 AC 1 1 1 EF 1 3 1 3 1 3 1 BD 0 EF 1 3 1 BD 1 A D EF AC EF 从而EF BD1 EF A1D EF AC 答案 B 二 填空题 共 3 小题 每小题 5 分 满分 15 分 7 2011 南通模拟 设平面 与向量a 1 2 4 垂直 平面 与向量 b 2 3 1 垂直 则平面 与 的位置关系是 解析 由题知a b分别平面 的法向量 又a b 1 2 2 3 4 1 0 a b 答案 垂直 8 已知 1 5 2 3 1 z 若 x 1 y 3 AB BC AB BC BP 且BP 平面ABC 则实数x y z分别为 解析 由题知 BP AB BP BC 所以 Error 即 Error 解得 x y z 4 40 7 15 7 答案 4 40 7 15 7 9 正四棱锥S ABCD中 O为顶点在底面上的射影 P为侧棱SD的中点 且SO OD 则直线BC与平面PAC所成的角是 解析 如图 以O为原点建立空间直角坐标系O xyz 设 OD SO OA OB OC a 则A a 0 0 B 0 a 0 C a 0 0 P 0 则 a 2 a 2 2a 0 0 a a a 0 设平面PAC的法向量为n 可求得CA AP a 2 a 2 CB n 0 1 1 专心 爱心 用心 4 则 cos n n 60 直线BC与平CB n n a 2a2 2 1 2 CB 面PAC所成的角为 90 60 30 答案 30 三 解答题 10 如图 已知点P在正方体ABCD A B C D 的对角线 BD 上 PDA 60 1 求DP与CC 所成角的大小 2 求DP与平面AA D D所成角的大小 解 如图 以D为原点 DA为单位长建立空间直角坐标系 D xyz 则 1 0 0 0 0 1 DA CC 连结BD B D 在平面BB D D中 延长DP交B D 于H 设 m m 1 m 0 由已知 60 由DH DH DA cos 可得 2m 解得m 所以DA DH DA DH DA DH 2m2 1 2 2 1 DH 2 2 2 2 1 因为 cos DH CC 2 2 0 2 2 0 1 1 1 2 2 2 所以 45 即DP与CC 所成的角为 45 DH CC 2 平面AA D D的一个法向量是 0 1 0 DC 因为 cos DH DC 2 2 0 2 2 1 1 0 1 2 1 2 所以 60 DH DC 可得DP与平面AA D D所成的角为 30 11 如图 在直三棱柱ABC A1B1C1中 ACB 90 2AC AA1 BC 2 1 若D为AA1的中点 求证 平面B1CD 平面B1C1D 2 若二面角B1 DC C1的大小为 60 求AD的长 专心 爱心 用心 5 解 1 证明 如图 以C为坐标原点 CA CB CC1所在的直线分别为x y z轴建立 空间直角坐标系 则C 0 0 0 A 1 0 0 B1 0 2 2 C1 0 0 2 D 1 0 1 即 0 2 0 11 C B 1 0 1 1 DC 1 0 1 由 1 0 1 0 2 0 0 得CD C1B1 CD CD 11 C B 由 1 0 1 1 0 1 0 得CD DC1 又DC1 C1B1 C1 CD 平面B1C1D CD 1 DC 又CD 平面B1CD 平面B1CD 平面B1C1D 2 设AD a 则D点坐标为 1 0 a 1 0 a 0 2 2 设平面B1CDCD 1 CB 的一个法向量为m x y z 则Error Error 令z 1 得m a 1 1 又平面C1DC的一个法向量为n 0 1 0 则由 cos60 得 即a 故AD m n m n 1 a2 2 1 222 12 2010 海口模拟 如图 在直三棱柱ABC A1B1C1中 已 知BC 1 BB1 2 AB 平面BB1C1C 1 求直线C1B与底面ABC所成角的正切值 2 在棱CC1 不包括端点C C1 上确定一点E的位置 使 EA EB1 要求说明理由 3 在 2 的条件下 若AB 求二面角A EB1 A1的大小 2 解 以B为坐标原点 BC BB1 AB所在的直线分别为x y z轴建立如图所示的空间 直角坐标系 则B 0 0 0 C1 1 2 0 B1 0 2 0 1 在直三棱柱ABC A1B1C1中 平面ABC的一个法向量为 0 2 0 又 1 BB 1 2 0 设BC1与平面ABC所成的角为 则 sin cos 1 BC 1 BB 1 BC 2 5 5 tan 2 即直线C1B与底面ABC所成角的正切值为 2 专心 爱心 用心 6 2 设E 1 y 0 A 0 0 z 则 1 2 y 0 1 y z 1 EB EA EA EB1 1 y 2 y 0 y 1 即E 1 1 0 E为CC1的中点 EA 1 EB 3 由题知A 0 0 则 1 1 1 1 0 设平面AE