2012届高三数学一轮复习基础导航 2.3函数的奇偶性和周期性

用心 爱心 专心1 2 32 3 函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性 考纲要求 1 会结合具体函数 了解函数奇偶性的含义 基础知识 一 函数的奇偶性的定义 对于函数 其定义域关于原点对称 如果恒有 那 f xD xD xfxf 么函数为奇函数 如果恒有 那么函数为偶函数 f x xD xfxf f x 二 奇偶函数的性质 奇偶函数的定义域关于原点对称 偶函数的图像关于轴对称 奇函数的图像关y 于 原点对称 偶函数在对称区间的增减性相反 奇函数在对称区间的增减性相同 奇函数在原点有定义时 必有 0 0f 三 函数的周期性 1 周期函数的定义 若为非零实数 对于定义域内的任意 总有Tx 恒成立 则叫做周期函数 叫做这个函数的一个周期 xfTxf f xT 2 周期函数的性质 若是函数的一个周期 则 也是它T f xkT 0 kz k 的一个周期 若的周期中 存在一个最小的正数 则称它为的最小正周期 f x f x 如果对于函数定义域中的任意 满足 则得函数的最 f xx f xaf xb f x 小正周期是 ba 四 温馨提示 1 判断函数的奇偶性的方法 1 定义法 首先必须考虑函数的定义域 如果函数的定义域不关于原点对称 则函数一定是非奇 非偶函数 如果函数的定义域关于原点对称 则继续求 最后比较和 fx fx 的关系 如果有 则函数是偶函数 如果有 则函数 f x fx f x fx f x 是奇函数 否则是非奇非偶函数 2 图像法 如果函数的图像关于原点对称 则函数是奇函数 如果函数的图像关于轴对称 则y 函数是偶函数 如果函数的图像既关于原点对称 又关于轴对称 则函数既是奇函数又y 是偶函数 如函数 否则是非奇非偶函数 0y 2 函数的问题 一定要注意 定义域优先 的原则 考察函数的奇偶性同样要优先考 虑函数的定义域是否关于原点对称 3 如果对于函数定义域中的任意 满足 则得函数 f xx f xaf xb 用心 爱心 专心2 的周期是 如果对于函数定义域中的任意 满足 f x baT f xx 则得函数的对称轴是 f xafxb f x 2 ba x 4 如果抽象函数求值 自变量的值较大 如 一般可能是周期函数 2012 f xf 所以先要研究函数的周期性 例题精讲 例 1 判断下列函数的奇偶性 1 2 x x xxf 1 1 1 2 lg 1 22 x f x x 1 解析 1 0 11 1 1 1 10 x xx x 由题得函数的定义域为 函数的定义域不关于原点对称函数是非奇非偶的函数 2 解析 2 22 22 10 1001 2 20 lg 1 lg 1 22 lg 1 lg 1 x xx x xx f x xx xx fxf x xx 由题得或 函数是奇函数 例 2 已知是定义在上的偶函数 并满足 当 f xR 1 2 xf xf 时 求的值 32 xxxf 5 5 f 解析 11 4 2 2 4 1 2 5 5 1 54 1 5 1 5 1 54 2 5 23 2 5 2 5 5 5 2 5 f xfxf xT f x f x ffffff xf xxff 函数的最小正周期为 时 2 3 函数的奇偶性和周期性强化训练 基础精练 用心 爱心 专心3 1 下列函数中 是偶函数的是 A B 2 f xxx 1f xx C D 22 f xxx 2 2 2 f xxx x 2 给定 3 个函数 1 2 3 2 4 1 3 x f x x 25f xx xx f xee 其中 是奇函数 是偶函数 既不是奇函数也不是偶函数 3 若函数是奇函数 则实数 22 log 2 a f xxxa a 4 已知为奇函数 则 22 1 1 2f xmxmxn mn 5 奇函数的定义域是 当时 则在上的 f xR0 x 2 22f xxx f xR 表达式为 6 设偶函数在为减函数 则不等式的解集是 f x 0 12 xfxf 7 判断下列函数的奇偶性 1 2 x x xxf 1 1 1 2 lg 1 22 x f x x 8 函数是奇函数 且当时是增函数 若 求不 0 yf x x 0 x 1 0f 等式的解集 1 0 2 f x x 9 已知是定义在上的偶函数 并满足 当时 f xR 1 2 xf xf 32 x 求的值 xxf 5 5 f Z X X K 拓展提高 用心 爱心 专心4 1 已知函数是常数 是奇函数 且满足cbac x b axxf 4 17 2 2 5 1 ff 1 求的值 2 试判断函数在区间上的单调性并说明理由 cba xf 2 1 0 2 已知函数的定义在上函数 对定义域内的任意都有 f x0 x 21 x x 且当时 2121 xfxfxxf 1 x 0 xf1 2 f 1 求证 是偶函数 2 在是增函数 3 解不等式 f x xf 0 2 12 2 xf 用心 爱心 专心5 基础精练参考答案 1 C 解析 选择支 A 中函数的定义域为 不关于原点对称 所以是非奇非偶函数 0 选择支 B 中 所以不是偶函数 选择支 D 中的函数的定义域不关 1 1 xxxf 于原点对称 所以是非奇非偶函数 所以选 C 2 3 1 2 解析 3 所以函数是奇函 xfeeeexf xxxx 数 1 所以函数是偶函数 2 2 4 1 3 x fxf x x 所以函数是非奇非偶函数 25 25 fxxf xfxxf x 3 解析 函数是实数 R 上的奇函数 2 2 2 2 02log0 0 2 aaf a 4 解析 由题得1 2mn 2222 222 1 1 2 1 1 2 1 2012012 fxmxmxnf xmxmxn mxnRmnmn 对于实数恒成立且 5 解析 根据奇函数和偶函数的性质得 轴对称 要 2 2 220 00 220 xxx f xx xxx xy 变 轴对称要变 原点对称都要变 所以函数的解析式为yx 2 2 220 00 220 xxx f xx xxx 6 解析 由题得 3 1 1 xxx或 1 3 1 0143144 12 222 xxxxxxxxx或 7 1 解析 1 0 11 1 1 1 10 x xx x 由题得函数的定义域为 函数的定义域不关于原点对称函数是非奇非偶的函数 2 解析 用心 爱心 专心6 2 22 22 10 1001 2 20 lg 1 lg 1 22 lg 1 lg 1 x xx x xx f x xx xx fxf x xx 由题得或 函数是奇函数 8 解析 解之得 111 00 1 1 222 f x xx xx x 由题得或 所以不等式的解集为 1117117 0 244 xxx 或 1117117 0 244 xxx 或 9 解析 11 4 2 2 4 1 2 5 5 1 54 1 5 1 5 1 54 2 5 23 2 5 2 5 5 5 2 5 f xfxf xT f x f x ffffff xf xxff 函数的最小正周期为 时 拓展提高参考答案 1 解析 1 由题得 0 bb fxf xaxcaxcc xx 55171 1 2 22 22422 b fabfaab 0 2 1 2 cba 2 1 222 1 1141 21 21 2 2 2 2222 1 0 00 2 xxx f xxfx xxxx xfx 1 函数在 单调递减 2 2 解析 12 12 12 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 02 1 1 0 1 1 1 x