2012届高三数学一轮复习 第九章《立体几何》9-3精品练习

用心 爱心 专心 1 第第 9 9 章章 第第 3 3 节节 一 选择题 1 2010 深圳市调研 已知E F G H是空间内四个点 条件甲 E F G H四点不 共面 条件乙 直线EF和GH不相交 则甲是乙成立的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 答案 A 解析 点E F G H四点不共面可以推出直线EF和GH不相交 但由直线EF和GH 不相交不一定能推出E F G H四点不共面 例如 EF和GH平行 这也是直线EF和GH不 相交的一种情况 但E F G H四点共面 故甲是乙成立的充分不必要条件 2 文 设a b是两条不同的直线 是两个不同的平面 给出下列结论 a b b a a a a a b b b a a b a b 其中正确的有 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 答案 B 解析 可能有a 可能有a与b异面 故只有 正确 理 已知直线m l 平面 且m l 给出下列命题 若 则m l 若 则m l 若m l 则 若m l 则 其中正确命题的个数是 A 1 B 2 C 3 D 4 答案 B 解析 1 中 若 且m m 又l m l 所以 正确 2 中 若 且m m 或m 又l 则m与l可能平行 可能异面 所以 不 正确 3 如图 a m l l a 满足m l 但得不出 4 中 若m l 且m l 又l 正确 故选 B 用心 爱心 专心 2 3 2010 湖北文 4 用a b c表示三条不同的直线 表示平面 给出下列命题 若a b b c 则a c 若a b b c 则a c 若a b 则a b 若a b 则a b 其中真命题的序号是 A B C D 答案 C 解析 平行关系的传递性 举反例 在同一平面 内 a b b c 有a c 举反例 如图的长方体中 a b 但a与b相交 垂直于同一平面的两直线互相平行 故 正确 4 文 是相异平面 a b c是相异直线 A B是相异点 则在下列命题中错 误的是 A a b c b c A A a B a b P a P b C a b c a b A b c A D a b a b a b A 答案 D 解析 a 可能是a 也可能是a与 相交 当a与 相交时 a 交点在 内 故 D 错 理 2010 东北四市联考 两个平面 与 相交但不垂直 直线m在平面 内 则 在平面 内 用心 爱心 专心 3 A 一定存在直线与m平行 也一定存在直线与m垂直 B 一定存在直线与m平行 但不一定存在直线与m垂直 C 不一定存在直线与m平行 但一定存在直线与m垂直 D 不一定存在直线与m平行 也不一定存在直线与m垂直 答案 C 解析 直线m在平面 内 直线m与平面 的交线的位置关系有两种可能 平 行或相交 当平行时 在平面 内一定存在直线与m平行 也一定存在直线与m垂直 当 相交时 在平面 内不存在直线与m平行 但一定存在直线与m垂直 故选 C 点评 当m与平面 的交线l相交时 若在平面 内存在直线a m 则由线面 平行的判定定理知a 再由性质定理知a l m l 这与m和l相交矛盾 5 2010 济南模拟 给出下列命题 若平面 内的直线m与平面 内的直线n为 异面直线 直线l是 与 的交线 那么l至多与m n中一条相交 若直线m与n异 面 直线n与l异面 则直线m与l异面 一定存在平面 同时和异面直线m n都相 交 其中正确的命题是 A B C D 答案 C 解析 错误 l可能与m n两条都相交 错误 直线m与l亦可共面 正确 在m n上分别取点M N 则经过直线MN可以作出平面与m n都相交 6 已知不重合的平面 和不重合的直线m n 给出下列命题 m n m n m n 与 相交 m与n相交 m n n m m m n m n 其中正确命题的个数为 A 0 B 1 C 2 D 3 答案 A 解析 四个命题全错 图 1 中 l m l n 知 错 图 2 中取n上一点 P 过P作m 当m m 时满足 的条件 但m与n不相交 显然错误 故选 A 用心 爱心 专心 4 7 正方体的棱长为 1 C D M分别为三条棱的中点 A B是顶点 那么点M到截面 ABCD的距离是 A B 2 3 6 3 C D 1 3 6 2 答案 C 解析 设点M到ABCD的距离为h 连结AC 作CF AB 垂足为F 则BF BC 2 4 CF 连CM 则VC ABM VM ABC 5 2 3 2 4 VC ABM S ABM CM 1 1 3 1 3 1 4 1 12 又VM ABC AB CF h 1 3 1 2 h 1 3 1 22 3 2 4 h 4 则由 得h 故选 C h 4 1 12 1 3 8 2010 淄博一中 已知直线l 平面 直线m 平面 则 是l m的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 答案 A 解析 若 则由l 知l 又m 可得l m 若 与 相交 如 图 设 n 当m n时 由l 可得l m 而此时 与 不平行 于是 用心 爱心 专心 5 是l m的充分不必要条件 故选 A 9 2010 襄樊测试 设m n是平面 内的两条不同直线 l1 l2是平面 内的两条 相交直线 则 的一个充分不必要条件是 A l1 m l1 n B m l1 m l2 C m l1 n l2 D m n l1 n 答案 B 解析 由m l1 m l2 l1 l2是平面 内两条相交直线 知m 又m 所 以 若 m 则未必有m 未必有m l1 m l2 故选 B 10 2010 江西理 过正方体ABCD A1B1C1D1的顶点A作直线l 使l与棱AB AD AA1 所成的角都相等 这样的直线l可以作 A 1 条 B 2 条 C 3 条 D 4 条 答案 D 解析 如图 连结AC1 可知AC1与三棱AB AD AA1所成角相 等 由两条异面直线所成角的定义知 分别过点B C D的体对角线 BD1 CA1 DB1与三棱AB AD AA1成的角也都相等 故过点A作与 BD1 CA1 DB1平行的直线也满足直线l的要求 故这样的直线可作 4 条 二 填空题 11 文 2010 江苏盐城调研 已知l是一条直线 是两个不同的平面 若从 l l 中选取两个作为条件 另一个作为结论 试写出一个你认 为正确的命题 请用代号表示 答案 解析 在 内任取一点P P与l确定一个平面 则 与 相交于过P点的一条 直线l l l l l l 理 2010 哈三中 已知 是三个不同的平面 m n是两条不同的直线 有 下列三个条件 m n m n m n 要使命题 若 m n 且 则m n 为真命题 则可以在横线处 用心 爱心 专心 6 填入的条件是 把你认为正确条件的序号填上 答案 或 如图 正方体ABCD A1B1C1D1中 分别为平面ADD1A1 平面ABCD 平面 A1B1C1D1 m为AD n为A1B1 满足 m n m n 但m与n显然不平 行 12 如图是一正方体的表面展开图 MN和PB是两条面对角线 则在正方体中 直线 MN与直线PB的位置关系为 从相交 平行 异面 重合中选填 答案 异面 解析 将表面展开图折起还原为正方体如图 故MN与PB异面 13 2010 东北师大附中等三校 一个几何体的三视图如图所示 其中 正 主 视图中 大三角形是边长为 2 的正三角形 俯视图为正六边形 那么该几何体的体积为 用心 爱心 专心 7 答案 3 2 解析 由三视图可知 该几何体是正六棱锥 底面边长为 1 侧棱长为 2 如图设底 面中心为O 易知OD 1 又PD 2 PO 3 体积V 1 3 6 3 4 12 3 3 2 14 2010 上海大同中学模拟 给出如下四个命题 有三个角是直角的四边形一定是 矩形 不共面的四点可以确定四个平面 空间四点不共面的充要条件是其中任意三点不 共线 若点A B C 平面M 且点A B C 平面N 则平面M与平面N重合 其中真命 题的序号是 答案 解析 如图 1 平面 内 ABC为直角 P 过P作PD AB PE BC 则四边形 PDBE有三个直角 故 假 在图 的平面 内 四边形ABCD中任意三点不共线 知 假 图 中 M N l A B C都在l上 知 假 只有 真 三 解答题 15 文 2010 江苏通州调研 如图 在四棱锥P ABCD中 ABCD是矩形 PA 平面ABCD PA AD 1 AB 点E在CD上移 3 动 1 求三棱锥E PAB的体积 用心 爱心 专心 8 2 试在PD上找一点F 使得PE AF 并证明你的结论 解析 1 PA 平面ABCD VE PAB VP ABE S ABE PA 1 3 1 1 1 3 1 23 3 6 2 F是PD的中点 PA 平面ABCD CD 平面ABCD CD PA ABCD是矩形 CD AD PA AD A CD 平面PAD F是PD上的点 AF 平面PAD AF DC PA AD 点F是PD的中点 AF PD 又CD PD D AF 平面PDC PE 平面PDC PE AF 理 2010 黑龙江哈三中 如图 矩形ABCD中 AB 6 BC 2 沿对角线BD将 3 ABD向上折起 使点A移至点P 且点P在平面BCD内的投影O在CD上 1 求证 PD BC 2 求二面角P DB C的正弦值 3 求点C到平面PBD的距离 解析 1 BC CD BC OP BC 平面PCD PD BC 2 过O作OE BD于点E 连接PE BD OP BD 平面OPE BD PE PEO为二面角P BD C的平面角 在 POE中 PE 3 OE 1 PO 2 则 2 sin PEO 2 2 3 3 VC PBD VP BCD h 1 3 1 2 6 2 3 2 解得h 2 1 3 1 2 6 2 3 22 用心 爱心 专心 9 16 如图 四棱锥S ABCD的底面是正方形 SD 平面ABCD E是SD的中点 1 求证 SB 平面EAC 2 求证 AC BE 3 理 若SD 2 AD 求二面角C AS D的余弦值 2 解析 1 证明 连结BD交AC于点O 连结EO 因为底面ABCD是正方形 所以O是BD的中点 又因为E是SD的中点 所以EO SB 又因为EO 平面EAC SB 平面EAC 所以SB 平面EAC 2 因为底面ABCD是正方形 所以AC BD 因为SD 平面ABCD AC 平面ABCD 所以AC SD 又因为SD BD D 所以AC 平面BDS 因为BE 平面BDS 所以AC BE 3 理 解法 1 因为SD 平面ABCD 所以SD CD 用心 爱心 专心 10 因为底面ABCD是正方形 所以AD CD 又因为SD AD D 所以CD 平面SAD 所以CD AS 过点D在平面SAD内作DF AS于F 连结CF 由于DF CD D 所以AS 平面DCF 所以AS CF 故 CFD是二面角C AS D的平面角 在 Rt ADS中 SD 2 AD 可求得DF 2 2 3 3 在 Rt CFD中 DF CD 可求得CF 2 3 3 2 30 3 所以 cos CFD DF CF 10 5 即二面角C AS D的余弦值为 10 5 解法 2 如图 以D为原点建立空间直角坐标系D xyz 则D 0 0 0 A 0 0 B 0 C 0 0 E 0 0 S 0 0 2 22222 0 2 0 2 SA 2 SC 2 设平面ACE的法向量为n x y z 则由 用心 爱心 专心 11 n n 得 SA SC Error 即Error 取z 得n 2 2 22 易知平面ASD的一个法向量为 0 0 DC 2 设二面角C AS D的平面角为 则 cos n DC n DC 10 5 即二面角C AE D的余弦值为 10 5 17 文 2010 东北师大附中月考 如图 在几何体P ABCD中 四边形ABCD为矩形 PA 平面ABCD AB PA 2 1 当AD 2 时 求证 平面PBD 平面PAC 2 若PC与AD所成角为 45 求几何体P ABCD的体积 解析 1 当AD 2 时 四边形ABCD是正方形 则BD AC PA 平面ABCD BD 平面ABCD PA BD 又PA AC A BD 平面PAC BD 平面PBD 平面PBD 平面PAC 2 若PC与AD成 45 角 AD BC PCB 45 BC AB BC PA AB PA A BC 平面PAB PB 平面PAB BC PB CPB 90 45 45 BC PB 2 2 几何体P ABCD的体积V 2 2 2 1 32 8 2 3 理 2010 湖南文 如图所示 在长方体ABCD A1B1C1D1中 AB AD 1 AA1 2 M是 棱CC1的中点 用心 爱心 专心 12 1 求异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值 2 证明 平面ABM 平面A1B1M 解析 方法 1 1 如图 因为C1D1 B1A1 所以 MA1B1为异面直线A1M与C1D1所成的 角 因为A1B