广东省饶平二中2011届高考数学第一轮复习 空间直角坐标系学案

用心 爱心 专心 广东饶平二中广东饶平二中 20112011 高考第一轮学案 空间直角坐标系高考第一轮学案 空间直角坐标系 一 知识要点 1 空间直角坐标系 过空间一定点 0 作三条互相垂直的数轴 它们以为原点 空间中点 M 与有序实数对 o 建立一一对应的关系 依次称 为点的横坐标 纵坐标和竖坐标 记为 zyxxyzM 这三条轴分别叫轴 横轴 轴 纵轴 轴 竖轴 且统称为坐标轴 zyxMxyz 2 空间两点间的距离公式 设 为空间的两点 则两点间的距离为 1111 zyxM 2222 zyxM 2 12 2 12 2 1221 zzyyxxMMd 二 例题 例 1 求证以 三点为顶点的三角形是一个等腰三角形 1 3 4 1 M 2 1 7 2 M 3 2 5 3 M 例 2 设在轴上 它到的距离为到点的距离的两倍 求点的坐Px 3 2 0 1 P 1 1 0 2 PP 标 例 3 已知A 3 2 1 B 1 0 4 求 1 线段AB的中点坐标和长度 2 到A B两点距离相等的点P x y z 的坐标满足的条件 例 4 如图 已知正方体的棱长为a M为的中点 点N在上 ABCDA B C D BD AC 且 试求MN的长 3 A NNC 用心 爱心 专心 练习题 1 在空间直角坐标系中 已知点P x y z 下列 4 种说法 点P关于x轴的对称点的坐标是 x y z 点P关于yOz平面的对称点的坐标是 x y z 点P关于y轴的对称点的坐标是 x y z 点P关于原点的对称点的坐标是 x y z 其中正确的个数是 A 3B 2C 1D 0 2 若已知A 1 1 1 B 3 3 3 则线段AB的长为 A 4 B 2C 4D 33322 3 已知A 1 2 3 B 3 3 m C 0 1 0 D 2 1 1 则 A B AB CD AB CD C D AB CD AB CD 4 设A 3 3 1 B 1 0 5 C 0 1 0 AB的中点M 则 CM A B C D 53 4 53 2 53 2 13 2 5 如图 三棱锥A BCD中 AB 底面BCD BC CD 且AB BC 1 CD 2 点E为CD的中点 则AE的长为 A B 23 C D 25 6 点 B 是点 A 1 2 3 在坐标平面内的射影 则 OB 等于 O 为坐标原点 yOz A B C D 14133211 7 已知 ABCD 为平行四边形 且 A 4 1 3 B 2 5 1 C 3 7 5 则点 D 的坐标为 A 4 1 B 2 3 1 C 3 1 5 D 5 13 3 2 7 8 点到坐标平面的距离是 cbaPxOy A B C D 22 ba ccba 9 已知点A 3 1 4 则点A关于原点的对称点 B的坐标为 AB的长为 10 如图 长方体中 设E为的中 ABCDA B C D 3AD 5AB 3AA DB 点 F为的中点 在给定的空间直角坐标系D xyz下 试写出A B C D BC A E F各点的坐标 B C D 用心 爱心 专心 11 如图 在四棱锥P ABCD中 底面ABCD为正方形 且边长为 2a 棱PD 底面 ABCD PD 2b 取各侧棱的中点E F G H 写出点E F G H的坐标 12 如图 已知矩形ABCD中 将矩形ABCD沿对角线BD折起 使得面3AD 4AB BCD 面ABD 现以D为原点 DB作为y轴的正方向 建立如图空间直角坐标系 o xyz 此时点A恰好在xoy坐标平面内 试求A C两点的坐标 用心 爱心 专心 空间直角坐标系 参考答案 例 1 证明 14 21 13 74 222 2 21 MM 6 23 12 75 222 2 32 MM 6 13 32 45 222 2 13 MM 由于 原结论成立 1332 MMMM 例 2 解 因为在轴上 设 P 点坐标为Px 0 0 x 1132 22 2 2 1 xxPP 211 22 2 2 2 xxPP 21 2PPPP 2211 22 xx 所求点为 1 x 0 0 1 0 0 1 例 3 解 1 设P x y z 是AB的中点 点P的坐标是 2 1 dAB 2 5 222 14 20 31 17 2 设点P x y z 到A B的距离相等 则 222 1 2 3 zyx 222 4 1 zyx 化简得 4x 4y 6z 3 0 即为P的坐标应满足的条件 例 4 如图 已知正方体的棱长为a M为的中点 点N在上 ABCDA B C D BD AC 且 试求MN的长 3 A NNC 解 以 D 为原点 建立如图空间直角坐标系 因为正方体棱长为a 所以B a a 0 A a 0 a 0 a a 0 0 a C D 由于M为的中点 取中点 O BD A C 所以M O a 2 a 2 a 2 a 2 a 2 a 因为 所以N为的四等分 3 A NNC A C 从而N为的中点 故N a O C 4 a3 4 a 根据空间两点距离公式 可得 222 36 242424 aaaaa MNaa 用心 爱心 专心 练习 CADCB BDC 9 3 1 4 2 26 10 解 设原点为O 因为A B C D这 4 个点都在坐标平面 xOy内 它们的竖坐标都是 0 而它们的横坐标和纵坐标可利用 写出 3AD 5AB 所以 A 3 0 0 B 3 5 0 C 0 5 0 D 0 0 0 因为平面与坐标平面xOy平行 且 所以A B D 的 A B C D 3AA C 竖坐标 都是 3 而它们的横坐标和纵坐标分别与A B C D的相同 所以 3 0 3 A 3 5 3 0 5 3 0 0 3 B C D 由于E分别是中点 所以它在坐标平面xOy上的射影为DB的中点 从而E的横坐 DB 标和纵坐标分别是的 同理E的竖坐标也是的竖坐标的 所以E B 1 2 B 1 2 3 5 3 2 2 2 由F为中点可知 F在坐标平面xOy的射影为BC中点 横坐标和纵坐标分别为 BC 和 5 同理点F在 z 轴上的投影是AA 中点 故其竖坐标为 所以F 5 3 2 3 2 3 2 3 2 11 解 由图形知 DA DC DC DP DP DA 故以 D 为原点 建立如图空间坐标系 D xyz 因为E F G H分别为侧棱中点 由立体几何知识可知 平面EFGH与底面ABCD 平行 从而这 4 个点的竖坐标都为P的竖坐标的一半 也就是b 由H为DP中点 得H 0 0 b E在底面面上的投影为AD中点 所以E的横坐标和纵坐标分别为a和 0 所以 E a 0 b 同理G 0 a b F在坐标平面xOz和yOz上的投影分别为点E和G 故F与E横坐标相同都是a 与G的纵坐标也同为a 又F竖坐标为b 故F a a b 12 解 由于面BCD 面ABD 从面BCD引棱 DB 的垂线CF即为面ABD的垂线 同理可得AE 即为面BCD的垂线 故只需求得的长度即可 DFDECFAE 最后得 A C 0 12 9 0 5 5 16 12 55 用心 爱心 专心 空间直角坐标系 参考答案 三 例题分析 例 1 求证以 三点为顶点的三角形是一个等腰三角形 1 3 4 1 M 2 1 7 2 M 3 2 5 3 M 证明 14 21 13 74 222 2 21 MM 6 23 12 75 222 2 32 MM 6 13 32 45 222 2 13 MM 由于 原结论成立 1332 MMMM 例 2 设在轴上 它到的距离为到点的距离的两倍 求点的坐 Px 3 2 0 1 P 1 1 0 2 P P 标 解 因为在轴上 设 P 点坐标为Px 0 0 x 1132 22 2 2 1 xxPP 211 22 2 2 2 xxPP 21 2PPPP 2211 22 xx 1 x 所求点为 0 0 1 0 0 1 例 3 已知A 3 2 1 B 1 0 4 求 1 线段AB的中点坐标和长度 2 到A B两点距离相等的点P x y z 的坐标满足的条件 解 1 设P x y z 是AB的中点 点P的坐标是 2 1 dAB 2 5 222 14 20 31 17 2 设点P x y z 到A B的距离相等 则 222 1 2 3 zyx 222 4 1 zyx 化简得 4x 4y 6z 3 0 即为P的坐标应满足的条件 评述 空间两点P1 x1 y1 z1 P2 x2 y2 z2 的中点为 2 21 xx 2 21 yy 且 P1P2 2 21 zz 2 21 2 21 2 21 zzyyxx 例 4 如图 已知正方体的棱长为a M为的中点 点N在上 ABCDA B C D BD AC 且 试求MN的长 3 A NNC 用心 爱心 专心 19 解 以 D 为原点 建立如图空间直角坐标系 因为正方体棱长为a 所以B a a 0 A a 0 a 0 a a 0 0 a C D 由于M为的中点 取中点 O 所以M O a BD A C 2 a 2 a 2 a 2 a 2 a 因为 所以N为的四等分 从而N为的中点 故N 3 A NNC A C O C 4 a a 3 4 a 根据空间两点距离公式 可得 222 36 242424 aaaaa MNaa 例 5 已知 求证其为直角三角形 11 2 1 A 3 2 4 B 4 1 6 C 18 略解 利用两点间距离公式 由 从而 结论得证 89 AB 75 AC14 BC 222 ABBCAC 一 CADCB BDCCA 二 11 2a 3a 3a 12 G 13 以原点 O 为球心 以 1 为半径的球 3 3 3 bca 面 14 3 1 4 2 26 三 15 解 设原点为O 因为A B C D这 4 个点都在坐标平面 xOy内 它们的竖坐标都是 0 而它们的横坐标和纵坐标可利用 写出 3AD 5AB 所以 A 3 0 0 B 3 5 0 C 0 5 0 D 0 0 0 因为平面与坐标平面xOy平行 且 所以A B D 的 A B C D 3AA C 竖坐标 都是 3 而它们的横坐标和纵坐标分别与A B C D的相同 所以 3 0 3 A 3 5 3 0 5 3 0 0 3 B C D 由于E分别是中点 所以它在坐标平面xOy上的射影为DB的中点 从而E的横坐 DB 标和纵坐标分别是的 同理E的竖坐标也是的竖坐标的 所以E B 1 2 B 1 2 3 5 3 2 2 2 由F为中点可知 F在坐标平面xOy的射影为BC中点 横坐标和纵坐标分别为 BC 和 5 同理点F在 z 轴上的投影是AA 中点 故其竖坐标为 所以F 5 3 2 3 2 3 2 3 2 16 解 由图形知 DA DC DC DP DP DA 故以 D 为原点 建立如图空间坐标系 D xyz 因为E F G H分别为侧棱中点 由立体几何知识可知 平面EFGH与底面ABCD 平行 从而这 4 个点的竖坐标都为P的竖坐标的一半 也就是b 由H为DP中点 得H 0 0 b 用心 爱心 专心 E在底面面上的投影为AD中点 所以E的横坐标和纵坐标分别为a和 0 所以 E a 0 b 同理G 0 a b F在坐标平面xOz和yOz上的投影分别为点E和G 故F与E横坐标相同都是a 与G的纵坐标也同为a 又F竖坐标为b 故F a a b 17 解 由于面BCD 面ABD 从面BCD引棱 DB 的垂线CF即为面ABD的垂线 同理可得AE 即为面BCD的垂线 故只需求得的长度即可 DFDECFAE 最后得 A C 0 12 9 0 5 5 16 12 55 18 解 1 假设在在y轴上存在