2011高考数学总复习 10.5 二项式定理夯实基础 大纲人教版

10 510 5 二项式定理二项式定理 巩固 夯实基础 一 自主梳理 1 二项式定理 a b n C0nan C1nan 1b C2nan 2b2 Crnan rbr Cn 1nabn 1 Cnnbn 2 通项公式 Tr 1 Crnan rbr r 0 1 2 n 3 展开式的特点 项数 共有 n 1 项 系数 第 r 1 项的二项式系数为 Crn 指数 每一 项 a b 的指数之和都等于 n a 的指数从 n 开始依次减 1 直到 0 为止 b 的指数从 0 开始依 次加 1 直到 n 为止 4 Crn Cn rn Cmn Cm 1n Cmn 1 C0n C1n C2n Cnn 2n C0n C2n C4n C1n C3n C5n 2n 1 5 若 n 是偶数 则中间项第2 n 1 项的二项式系数最大 若 n 是奇数 则中间两项第 2 1 n 项和第 2 1 n 1 项的二项式系数最大 二 点击双基 1 江西高考 x 3 x 12 的展开式中 含 x 的正整数次幂的项共有 A 4 项 B 3 项 C 2 项 D 1 项 解析 设第 r 1 项含 x 的正整数次幂 Tr 1 Cr12 2 1 x 12 r 3 1 x r Cr12 r x 6 1 6 其中 0 r 12 要使 6 6 1 r 为正整数 必须使 r 为 6 的倍数 r 0 6 12 答案 B 2 全国高考卷 在 x 1 x 1 8 的展开式中 x5 的系数是 A 14 B 14 C 28 D 28 解析 由题意知先求出 x 1 8 展开式中 x4 x5 的系数分别为 C48 70 C58 C38 56 注意第一 个因式为 x 1 则题中 x5 的系数为 70 56 14 答案 B 3 浙江高考 在 1 x 5 1 x 6 1 x 7 1 x 8 的展开式中 含 x3 的项的系数是 A 74 B 121 C 74 D 121 解析 x3 项的系数为 C35 C36 C37 C38 121 答案 D 4 福建高考 2 x x 1 6 展开式中的常数项是 用数字作答 解析 设 r 1 项为常数项 则 Tr 1 Cr6 2 2 1 x 6 r x 1 r Cr626 r 1 r r x 2 3 3 令 3 2 3 r 0 r 2 常数项为 C2624 1 2 240 答案 240 5 在 1 x 1 x 2 1 x 6 展开式中 x2 项的系数是 用数字作 答 解析 由题意知有 C22 C23 C24 C25 C26 C33 C23 C24 C25 C26 C37 123 567 35 答案 35 诱思 实例点拨 例 1 在 2 x 3 1 x 8 的展开式中常数项是 A 28 B 7 C 7 D 28 剖析 利用二项展开式的通项公式 令 x 的指数为 0 求得 r 的值 解 Tr 1 1 rCr8 2 x 8 r r x3 1 1 rCr8 2r 8 r x 3 4 8 令 8 3 4 r 0 得 r 6 T7 T6 1 C68 26 8 C28 2 2 7 答案 C 讲评 求指定项 常数项 中间项 最大项 有理项等 的关键在于通项变形 列出条件关系 式 像本题在 2 x 3 1 x 8 的展开式中 a 2 x b 3 1 x 通项公式为 Tr 1 Cr8 2 x 8 r 3 1 x r r 0 1 2 8 对通项变形 整理为关于 x 的单项式 从而 求解 例 2 在 x2 3x 2 5 的展开式中 x 的系数是 A 160 B 240 C 360 D 800 剖析 将三项式转化为二项式求解 有两条途径 1 x2 3x 2 x2 3x 2 2 x2 3x 2 5 x 1 5 x 2 5 解 x2 3x 2 5 x2 3x 2 5 通项为 Ck5 x2 3x 5 k2k 0 k 5 该通项的通项为 Ck52kCr5 k3rx10 2k r 0 r 5 k 令 10 2k r 1 即 2k r 9 r 1 k 4 x 的系数为 C4524 3 240 答案 B 讲评 此解法是把三项式转化为二项式求解 这是处理非二项式的一般方法 链接 提示 此题也可以从以下两个角度来思考 1 也可把三项式转化为两个二项式乘积来求解 x2 3x 2 5 x 1 5 x 2 5 其 x 的系数 为 C45 14 C55 25 C55 15 C45 24 2 x2 3x 2 5 是五个三项式相乘 从其中 1 个三项式中取 3x 从另外 4 个三项式中取常 数项 相乘即得 x 的一次项 例 3 设 2x 1 5 a0 a1x a2x2 a5x5 求 1 a0 a1 a2 a3 a4 2 a0 a1 a2 a3 a4 a5 3 a1 a3 a5 4 a0 a2 a4 2 a1 a3 a5 2 剖析 2x 1 5 a0 a1x a2x2 a5x5 为关于 x 的恒等式 求系数和的问题可用赋值法解决 解 设 f x 2x 1 5 a0 a1x a2x2 a5x5 则 f 1 a0 a1 a2 a5 1 f 1 a0 a1 a2 a3 a4 a5 3 5 243 1 a5 25 32 a0 a1 a2 a3 a4 f 1 32 31 2 a0 a1 a2 a5 a0 a1 a2 a3 a4 a5 f 1 243 3 f 1 f 1 2 a1 a3 a5 a1 a3 a5 2 244 122 4 a0 a2 a4 2 a1 a