广东省惠州市2013届高三数学上学期第二次调研测试试题 理 新人教A版

1 惠州市惠州市 20132013 届高三第一次调研考试届高三第一次调研考试 数学数学 理科 理科 本试卷共 4 页 21 小题 满分 150 分 考试用时 120 分钟 注意事项 注意事项 1 答卷前 考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号 试室号 座位号填写在答题 卡上 2 选择题每小题选出答案后 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑 如需改动 用 橡皮擦干净后 再选涂其他答案 答案不能答在试卷上 3 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答 答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上 如需改动 先划掉原来的答案 然后再写上新的答案 不准使用铅笔和涂改液 不按以上要求作答 的答案无效 参考公式 如果在事件发生的条件下 事件发生的条件概率记为 AB P B A 那么 P ABP A P B A 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 8 8 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 4040 分分 在每小题给出的四个选项中 只有一项符合题在每小题给出的四个选项中 只有一项符合题 目要求目要求 1 已知集合 集合 则 1 2 3 4A 2 4B AB A B C D 2 4 1 3 1 2 3 4 2 若是真命题 是假命题 则 pq A 是真命题 B 是假命题 C 是真命题 D 是真命题pq pq p q 3 4 2 xx 的展开式中 3 x的系数是 A 6 B 12 C 24 D 48 4 在中 分别为角所对边 若 则此三角形一定是 ABC a b c A B C 2 cosabC A 等腰直角三角形 B 直角三角形 C 等腰三角形 D 等腰或直角三角形 5 已知实数构成一个等比数列 则圆锥曲线的离心率为 4 9m 2 2 1 x y m 6 30 A 7 B 7 6 30 或C 7 6 5 或D 2 6 阅读右图所示的程序框图 运行相应的程序 输出的结果是 A B C D 31138123 7 已知 的取值如下表所示 若与线性相关 xyyx 且 则 0 95yxa a x 0134 y 2 24 34 86 7 A B C D 2 22 92 82 6 8 对实数和 定义运算 设函数 ab 1 1 aab ab bab 2 21f xxx 若函数的图象与轴恰有两个公共点 则实数的取值范围是 x R yf xc xc A B C D 1 12 2 11 2 21 2 2 1 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 7 7 小题 分为必做题和选做题两部分 每小题小题 分为必做题和选做题两部分 每小题 5 5 分 满分分 满分 3030 分 分 一 必做题 第 一 必做题 第 9 9 至至 1313 题为必做题 每道试题考生都必须作答 题为必做题 每道试题考生都必须作答 9 复数 i 是虚数单位 则复数 的虚部等于 2 1 1 i i 10 若向量 则与夹角余弦值等于 1 1a 1 2b a b 11 已知函数则 0 ln 0 x ex f x x x 1 f f e 12 计算 1 2 1 1x dx 13 18 世纪的时候 欧拉通过研究 发现凸多面 体的面数 F 顶点数 V 和棱数 E 满足一个等式 关系 请你研究你熟悉的一些几何体 如三 棱锥 三棱柱 正方体 归纳出 F V E 之间的关系等式 多面体面数 F 顶点数 V 棱数 E 三棱锥 446 三棱柱 56 正方体 开始 1a 10 a 输出a 结束 2 2aa 是 否 3 二 选做题 第 二 选做题 第 1414 1515 题为选做题 考生只能选做其中一题 两题全答的 只计前一题的得分 题为选做题 考生只能选做其中一题 两题全答的 只计前一题的得分 14 坐标系与参数方程选做题坐标系与参数方程选做题 设点的极坐标为2 2 4 直线 过点且与极轴垂直 则直线AlA 的极坐标方程为 l 15 几何证明选讲选做题 几何证明选讲选做题 如图 从圆外一点引圆的切线和割线OAAD 已知 圆的半径为 则圆心到ABC2 3AD 6AC O3O 的距离为 AC 三 三 解答题 本大题共解答题 本大题共6 6小题 满分小题 满分8080分 解答须写出文字说明 证明过程和演算步骤 分 解答须写出文字说明 证明过程和演算步骤 16 本小题满分 12 分 已知函数为偶函数 其图象上相邻的两个最高点之间的距离 sin 0 0 f xx 为 2 1 求的解析式 f x 2 若 求 的值 1 3 233 f 5 sin 2 3 17 本小题满分 12 分 某班从 6 名干部中 其中男生 4 人 女生 2 人 选 3 人参加学校的义务劳动 1 设所选 3 人中女生人数为 求 的分布列及E 2 求男生甲或女生乙被选中的概率 3 在男生甲被选中的情况下 求女生乙也被选中的概率 18 本小题满分 14 分 如图 已知平面 是正三角形 AB ACDDE ABACD 且是的中点 AD DE 2ABFCD 1 求证 平面 AF BCE 2 求证 平面平面 BCE CDE 3 求平面与平面所成锐二面角的大小 BCEACD A B C D O 4 19 本小题满分 14 分 等差数列 n a中 前n项和为 n S 等比数列 n b各项均为正数 且 1 1a 1 2b 22 7sb 43 2sb 1 求 n a与 n b 2 设 求证 21 2 n n n a c a n T 123n c ccc 1 2 n T n nN 20 本小题满分 14 分 已知椭圆 22 22 1 xy ab a b 0 的离心率 3 2 e 连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为 4 1 求椭圆的方程 2 设直线l与椭圆相交于不同的两点 A B 已知点A的坐标为 a 0 点Q 0 0 y 在线段 AB的垂直平分线上 且QA QB A 4 求 0 y的值 21 本小题满分 14 分 已知三次函数 32 f xaxbxcx a b cR 1 若函数过点且在点处的切线方程为 求函数的解析式 f x 1 2 1 1f20y f x 2 当时 若 试求的取值范围 1a 2 1 1 1 1 3ff 2 f 3 对 都有 试求实数的最大值 并求取得最大值时的表达 1 1x 1fx aa f x 式 5 惠州市 2013 届高三第一次调研考试 数学数学 理科 参考答案与评分标准理科 参考答案与评分标准 一 选择题 共一 选择题 共 8 8 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 满分分 满分 4040 分分 题号 12345678 答案 ADCCCBDB 1 解析 由交集的定义选 A 2 解析 或 一真必真 且 一假必假 非 真假相反 故选 D 3 解析 令 111 44 444 222 1444 2 22 rrr rrrrrrr r TCxxC xC x 1 432 2 rr 的系数为 故选 3 x 4 22 4 224C C 4 解析 在中 若 则即ABC 2 cosabC sin2sincosABC sin 2sincosBCBC 故选 sin 0BCBC C 5 解析 因成等比 则当时圆锥曲线为椭圆其离心率为4 9m 2 366mm 6m 2 2 1 6 x y 当时圆锥曲线为双曲线其离心率为 故选 30 6 6m 2 2 1 6 x y 7C 6 解析 第一步 第二步 输出 故选 B 2 12310a 2 321110a 11 7 解析 线性回归直线过样本中心点24 5xy 故选 D 2 4 5 4 50 95 22 6aa 8 解析 由题设 2 2 12 1 12 xx f x xxx 或 画出函数的图象 函数图象的四个端点 如图 为 2 1A 从图象中可 2 2B 1 1C 1 2D 以看出 直线穿过点 点之间时 直线与图象有且只有两个公共点 同时 直线穿过yc BAyc yc 点 点时 直线与图象有且只有两个公共点 所以实数的取值范围CDyc c 是 故选 2 11 2 二 填空题 共二 填空题 共 7 7 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 满分分 满分 3030 分 其中分 其中 14 1514 15 题是选做题 考生只能选做一题题是选做题 考生只能选做一题 6 9 1 10 11 12 13 10 10 1 e2 2 EFV 14 15 2cos 5 9 解析 虚部为 1 2 1 2 1 1 12 iii i i 10 解析 10 cos 10 a b a b a b A 11 解析 因函数所有 0 ln 0 xx xe xf x 1 111 ln 1 f fffe eee 12 解析 由该定积分的几何意义可知为半圆 的面积 22 1 0 xyy 2 13 解析 2 EFV 三 解答题 三 解答题 16 本小题满分 12 分 解 1 图象上相邻的两个最高点之间的距离为 2 则 2 分 2 T1 2 T sin xxf 是偶函数 又 xf 2 Zkk 0 2 则 5 分xxfcos 2 由已知得 2 3 3 1 3 cos 6 5 0 3 则 8 分 3 22 3 sin 12 分 9 24 3 cos 3 sin 2 3 2 2sin 3 5 2sin 17 本小题满分 12 分 解 1 的所有可能取值为 0 1 2 依题意得 32112 44242 333 666 131 0 1 2 555 CC CC C PPP CCC 分 的分布列为 7 131 0121 555 E 分 2 设 甲 乙都不被选中 为事件C 则 3 4 3 6 41 205 C P C C 所求概率为 14 1 1 55 P CP C 分 3 记 男生甲被选中 为事件A 女生乙被选中 为事件B 21 54 33 66 1011 2025 CC P AP BA CC 10 分 1 4 3 6 1 5 C P BA C 2 5 P BA P B A P A 或直接得 1 4 2 5 42 105 C P B A C 1 分 18 本小题满分 14 分 解 1 解 取 CE 中点 P 连结 FP BP F 为 CD 的中点 FP DE 且 FP 2 1 DE 又 AB DE 且 AB AB FP 且 AB FP 2 1 DE ABPF 为平行四边形 AF BP 2 分 又 AF平面 BCE BP平面 BCE AF 平面 BCE 4 分 2 ACD 为正三角形 AF CD AB 平面 ACD DE AB DE 平面 ACD 又 AF平面 ACD DE AF 又 AF CD CD DE D AF 平面 CDE 6 分 又 BP AF BP 平面 CDE 又 BP平面 BCE 平面 BCE 平面 CDE 8 分 3 法一 由 2 以 F 为坐标原点 FA FD FP 所在的直线分别为 x y z 轴 如图 建立空间直角坐标系 F xyz 设 AC 2 则 C 0 1 0 9 分 2 1 0 1 0 3 EB 1 1 0 1 0 22 03 0 0 nz zy zyx CEnCBn BCEzyxn 则令即则 的法向量为平面设 11 分 显然 为平面 ACD 的法向量 1 0 0 m 设面 BCE 与面 ACD 所成锐二面角为 012 P 1 5 3 5 1 5 8 则 12 cos 22 m n mn 45 即平面 BCE 与平面 ACD 所成锐二面角为 45 14 分 法二 延长 EB DA 设 EB DA 交于一点 O 连结 CO 则 CODACEBC 面面 由 是的中位线 则 EDO ADDO2 在 ACADODOCD22 中 0 60 ODC 又 CDOC DEOC ECDCEECDOC面而面 12 分为所求二面角的平面角ECDCEOC 中 在CDEDEDCKRt 0 45 ECD 即平面 BCE 与平面 ACD 所成锐二面角为 45 14 分 19 本小题满分 14 分 解 1 设等差数列的公差为 d 等比数列 n b的公比为 q n a 由题知 7 22 bs2 34 bs52 qd013 2 qd 解直得 q 2 或 q 8 舍去 d 1 5 分 7 分nnan 1 1 n n b2 2 证明 n n n a a c 2 12 n c n n 2 12 6 5 4 3 2 1 n T n n 2 12 法一 下面用数学归纳法证明对一切正整数成立 n Tn 2 1 命题成立 8 分 12 112 2 1 1 1 Tn时 当 k Tkn k 2 1 时命题成立 假设当 则当 1 2 12 1 1 k k TTkn kk 时 1 2 12 2 1 k k k12 12 12 1 kk k k 9 这就是说当时命题成立 12 分 kk kk k44 144 12 1 2 2 12 1 k 1 kn 综上所述原命题成立 分 法二 12 1 n n n n n n n n Tn 2 12 2 12 6 5 6 5 4 3 4 3 2 1 2 1 2 nn n n n 4 1 2 12 12 22 6 5 5 4 4 3 3 2 2 1 2 1 14 分 n Tn 2 1 法三 设数列 则 9 分 n A nn TnA 11 1 nn TnA 12 分1 44 144 12 12 1 2 1 12 2 2 1 nn nn nn n nn nn A A n n 数列单调递增 于是 而 n A 11 AAA nn 2 1 1 A 14 分 n Tn 2 1 20 本小题满分 14 分 1 解 由 3 e 2 c a 得 22 34ac 再由 222 cab 得2ab 2 分 由题意可知 1 224 2 2 abab 即解方程组 2 2 ab ab 得 5 分2 1ab 所以椭圆的方程为 2 2 1 4 x y 6 分 2 解 由 1 可知 A 2 0 设 B 点的坐标为 x1 y1 直线l的斜率为k 则直线l的方程 为 7 分 2 yk x 于是 A B 两点的坐标满足方程组 2 2 2 1 4 yk x x y 由方程组消去 y 并整理 得 2222 14 16 164 0kxk xk 8 分 由 2 1 2 164 2 14 k x k 得 2 11 22 284 1414 kk xy kk 从而 9 分 10 设线段 AB 是中点为 M 则 M 的坐标为 2 22 82 1414 kk kk 以下分两种情况 1 当 k 0 时 点 B 的坐标为 2 0 线段 AB 的垂直平分线为 y 轴 于是 000 2 y 2 2QAQByQA QBy A 由4 得 2 11 分 当 k0 时 线段 AB 的垂直平分线方程为 2 22 218 1414 kk yx kkk 令 x 0 解得 由 0110 2 y QAQBx yy 0 2 6 14 k y k 2 1010 2222 2 28 646 2 14141414 kkkk QA QBxyyy kkkk A 42 22 4 16151 4 14 kk k 整理得 2 0 14