新版3年高考2年模拟 高考数学 第16章 系列4

用心 爱心 专心1 第十六章 系列 4 第一部分第一部分 三年高考荟萃三年高考荟萃 20102010 年高考题年高考题 一 选择题一 选择题 1 1 20102010 湖南文 湖南文 4 极坐标cosp 和参数方程 1 2 xt yt t 为参数 所表示的图形 分别是 A 直线 直线 B 直线 圆 C 圆 圆 D 圆 直线 答案 D 2 2 20102010 重庆理 重庆理 3 2 2 41 lim 42 x xx A 1 B 1 4 C 1 4 D 1 答案 B 解析 2 2 41 lim 42 x xx 4 1 2 1 2 4 2 limlim 2 2 2 xxx x xx 3 3 20102010 北京理 北京理 5 极坐标方程 p 1 p 0 表示的图形是 A 两个圆 B 两条直线 C 一个圆和一条射线 D 一条直线和一条射线 答案 C 4 4 20102010 湖南理 湖南理 5 4 2 1dx x 等于 A 2ln2 B 2ln2 C ln2 D ln2 用心 爱心 专心2 5 5 20102010 湖南理 湖南理 3 极坐标方程cos 和参数方程 1 23 xt yt t为参数 所表示的 图形分别是 A 圆 直线 B 直线 圆 C 圆 圆 D 直线 直线 6 6 20102010 安徽理 安徽理 7 设曲线C的参数方程为 23cos 1 3sin x y 为参数 直线l的方 程为320 xy 则曲线C上到直线l距离为 7 10 10 的点的个数为 A 1B 2C 3D 4 答案 B 解析 化曲线C的参数方程为普通方程 22 2 1 9xy 圆心 2 1 到直线 320 xy 的距离 23 1 2 7 103 1010 d 直线和圆相交 过圆心和l平 行的直线和圆的 2 个交点符合要求 又 7 107 10 3 1010 在直线l的另外一侧没有圆上 的点符合要求 所以选 B 用心 爱心 专心3 方法总结 解决这类问题首先把曲线C的参数方程为普通方程 然后利用圆心到直线的 距离判断直线与圆的位置关系 这就是曲线C上到直线l距离为 7 10 10 然后再判断知 7 107 10 3 1010 进而得出结论 二 填空题二 填空题 1 1 20102010 上海文 上海文 3 行列式 cossin 66 sincos 66 的值是 答案 0 5 解析 考查行列式运算法则 cossin 66 sincos 66 2 1 3 cos 6 sin 6 sin 6 cos 6 cos 2 2 20102010 陕西文 陕西文 15 考生注意 请在下列三题中任选一题作答 如果多做 则按所做 的第一题评分 A 不等式选做题 不等式21x 3 的解集为 答案 12xx 解析 213123312 xxx B 几何证明选做题 如图 已知 Rt ABC的两条直角边AC BC的长分别为 3cm 4cm 以AC为直径的圆与AB交于点D 则BD cm 答案 16 5 解析 ABCD 由直角三角形射影定理可得 5 16 BD5 BA4 BC 2 所以又BABDBC C 坐标系与参数方程选做题 参数方程 cos 1 sin x y 为参数 化成普通方程为 答案 x2 y 1 2 1 用心 爱心 专心4 解析 1sincos 1 2222 yx 3 3 20102010 北京理 北京理 12 如图 OA的弦 ED CB 的延长线交于 点 A 若 BD AE AB 4 BC 2 AD 3 则 DE CE 答案 5 2 7 4 4 20102010 天津文 天津文 11 如图 四边形 ABCD 是圆 O 的内接四边形 延长 AB 和 DC 相交于点 P 若 PB 1 PD 3 则 BC AD 的值为 答案 1 3 解析 本题主要考查四点共圆的性质与相似三角形的性 质 属于容易题 因为 A B C D 四点共圆 所以 DABPCBCDAPBC 因为P 为公共角 所 以 PBC PAB 所以 BCPB ADPD 1 3 温馨提示 四点共圆时四边形对角互补 圆与三角形综合问题是高考中平面几何选讲的 重要内容 也是考查的热点 5 5 20102010 天津理 天津理 14 如图 四边形 ABCD 是圆 O 的内接四边形 延长 AB 和 DC 相交于点 P 若 PB1 PC1 PA2 PD3 则 BC AD 的值为 答案 6 6 解析 本题主要考查四点共圆的性质与相似三角 形的性质 属于中等题 因为 A B C D 四点共圆 所以 DABPCBCDAPBC 因为P 为公共角 所 以 PBC PAB 所以 PBPCBC PDPAAD 设 OB x PC y 则有 6 322 xyy x yx 所以 用心 爱心 专心5 6 36 BCx ADy 温馨提示 四点共圆时四边形对角互补 圆与三角形综合问题是高考中平面几何选讲的 重要内容 也是考查的热点 6 6 20102010 天津理 天津理 13 已知圆 C 的圆心是直线 1 1 x t yt 为参数 与 x 轴的交点 且圆 C 与直线 x y 3 0 相切 则圆 C 的方程为 答案 22 1 2xy 本题主要考查直线的参数方程 圆的方程及直线与圆的位置关系等基础知识 属于容易题 令 y 0 得 t 1 所以直线 1 xt yt 与 x 轴的交点为 1 0 因为直线与圆相切 所以圆心到直线的距离等于半径 即 1 03 2 2 r 所以圆 C 的方程为 22 1 2xy 温馨提示 直线与圆的位置关系通常利用圆心到直线的距离或数形结合的方法求解 7 7 20102010 广东理 广东理 15 坐标系与参数方程选做题 在极坐标系 0 2 中 曲线 2sin 与cos1p 的交点的极坐标为 答案 3 2 4 由极坐标方程与普通方程的互化式 cos sin x y 知 这两条曲线的普通方程分别为 22 2 1xyy x 解得 1 1 x y 由 cos sin x y 得点 1 1 的极坐标 为 3 2 4 8 8 20102010 广东理 广东理 14 几何证明选讲选做题 如图 3 AB CD 是半径为 a 的圆 O 的两条 弦 它们相交于 AB 的中点 P PD 2 3 a OAP 30 则 CP 答案 9 8 a 用心 爱心 专心6 因为点 P 是 AB 的中点 由垂径定理知 OPAB 在Rt OPA 中 3 cos30 2 BPAPaa 由相交线定理知 BP APCP DP 即 332 223 aaCPa 所以 9 8 CPa 9 9 20102010 广东文 广东文 15 坐标系与参数方程选做题 在极坐标系 20 中 曲线1 sin cos 与1 sin cos 的交点的极坐标为 10 10 20102010 广东文 广东文 14 几何证明选讲选做题 如图 3 在直角梯形 ABCD 中 DC AB CBAB AB AD a CD 2 a 点 E F 分别为线段 AB AD 的中点 则 EF 答案 2 a 解 连结 DE 可知AED 为直角三角形 则 EF 是DEARt 斜边上的中线 等于斜边的一 半 为 2 a 三 解答题三 解答题 1 1 20102010 辽宁理 辽宁理 22 本小题满分 10 分 选修 4 1 几何证明选讲 如图 ABC 的角平分线 AD 的延长线交它的外接圆于点 E I 证明 ABE ADC II 若ABC 的面积AEADS 2 1 求BAC 的大小 证明 由已知条件 可得BAECAD 因为AEBACB 与是同弧上的圆周角 所以AEBACD 故 ABE ADC 5 分 因为 ABE ADC 所以 ABAD AEAC 即 AB AC AD AE 用心 爱心 专心7 又 S 1 2 AB ACsinBAC 且 S 1 2 AD AE 故 AB ACsinBAC AD AE 则 sinBAC 1 又BAC 为三角形内角 所以BAC 90 10 分 2 2 20102010 辽宁理 辽宁理 23 本小题满分 10 分 选修 4 4 坐标系与参数方程 已知 P 为半圆C 为参数 0 上的点 点 A 的坐标为 1 0 O 为坐标原点 点 M 在射线 OP 上 线段 OM 与 C 的弧的长度均为 3 I 以 O 为极点 x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 求点 M 的极坐标 II 求直线 AM 的参数方程 解 由已知 M 点的极角为 3 且 M 点的极径等于 3 故点 M 的极坐标为 3 3 5 分 M 点的直角坐标为 3 66 A 0 1 故直线 AM 的参数方程为 1 1 6 3 6 xt yt t 为参数 10 分 3 3 20102010 辽宁理 辽宁理 24 本小题满分 10 分 选修 4 5 不等式选讲 已知cba 均为正数 证明 36 111 2222 cba cba 并确定cba 为何值 时 等号成立 证明 证法一 因为 a b c 均为正数 由平均值不等式得 2 222 3 1 3 3 111 3 abcabc abc abc 用心 爱心 专心8 所以 2 2 3 111 9 abc abc 6 分 故 22 2222 33 111 3 9 abcabcabc abc 又 22 33 3 9 2 276 3abcabc 所以原不等式成立 8 分 当且仅当 a b c 时 式和 式等号成立 当且仅当 22 33 3 9 abcabc 时 式等 号成立 即当且仅当 a b c 1 4 3时 原式等号成立 10 分 证法二 因为 a b c 均为正数 由基本不等式得 22 22 22 2 2 2 abab bcbc caac 所以 222 abcabbcac 同理 222 111111 abcabbcac 6 分 故 2222 111 abc abc 111 333 6 3 abbcac abbcac 所以原不等式成立 8 分 当且仅当 a b c 时 式和 式等号成立 当且仅当 a b c 222 3abbcac 时 式等号成立 即当且仅当 a b c 1 4 3时 原式等号成立 10 分 4 4 20102010 福建理 福建理 21 本题设有 1 2 3 三个选考题 每题 7 分 请考生任选 2 题 做答 满分 14 分 如果多做 则按所做的前两题计分 作答时 先用 2B 铅笔在答题卡上 把所选题目对应的题号涂黑 并将所选题号填入括号中 用心 爱心 专心9 1 本小题满分 7 分 选修 4 2 矩阵与变换 已知矩阵 M 1 1 a b 2 0 c N d 且 20 20 MN 求实数 a b c d的值 求直线3yx 在矩阵 M 所对应的线性变换下的像的方 程 2 本小题满分 7 分 选修 4 4 坐标系与参数方程 在直角坐标系 xoy 中 直线l的参数方程为 2 3 2 2 5 2 xt yt t 为参数 在极坐标系 与 直角坐标系 xoy 取相同的长度单位 且以原点 O 为极点 以 x 轴正半轴为极轴 中 圆 C 的方程为2 5sin 求圆 C 的直角坐标方程 设圆 C 与直线l交于点 A B 若点 P 的坐标为 3 5 求 PA PB 3 本小题满分 7 分 选修 4 5 不等式选讲 已知函数 f xxa 若不等式 3f x 的解集为 15xx 求实数a的值 在 的条件下 若 5 f xf xm 对一切实数 x 恒成立 求实数 m 的取值 范围 1 选修 4 2 矩阵与变换 命题意图 本小题主要考查矩阵与变换等基础知识 考查运算求解能力 解析 由题设得 02 20 02 20 c ad bc bd 解得 1 1 2 2 a b c d 因为矩阵 M 所对应的线性变换将直线变成直线 或点 所以可取直线3yx 上的 两 0 0 1 3 用心 爱心 专心10 由 0 0 11 11 0 0 1 3 11 11 2 2 得 点 0 0 1 3 在矩阵 M 所对 应的线性变换下的像是 0 0 2 2 从而 直线3yx 在矩阵 M 所对应的线性变换下的像的方程为yx 2 选修 4 4 坐标系与参数方程 命题意图 本小题主要考查直线的参数方程 圆的极坐标方程 直线与圆的位置关系等 基础知识 考查运算求解能力 解析 由2 5sin 得 22 2 50 xyy 即 22 5 5 xy 将l的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程 得 22 22 3 5 22 tt 即 2 3 240 tt 由于 2 3 2 4 420 故可设 12 t t是上述方程的两实根 所以 12 1 2 3 2 3 5 4 tt lP t t 又直线过点故由上式及 t 的几何意义得 PA PB 12 t t 12 t t 3 2 3 选修 4 5 不等式选讲 命题意图 本小题主要考查绝对值的意义 绝对值不等式等基础知识 考查运算求解能 力 解析 由 3f x 得 3xa 解得33axa 又已知不等式 3f x 的解集为 15xx 所以 31 35 a a 解得2a 当2a 时 2 f xx 设 5 g xf xf x 于是 x 2 3 g xx 21 2 xx x xx 所以 当x5 当 3x2 时 g x 5 当x 2时 g x 5 5 5 20102010 江苏卷 江苏卷 21 选做题选做题 本题包括 A B C D 四小题 请选定其中两题请选定其中两题 并在相应并在相应 的答题区域内作答的答题区域内作答 若多做 则按作答的前两题评分 解答时应写出文字说明 证明过程 或演算步骤 用心 爱心 专心11 A 选修 4 1 几何证明选讲 本小题满分 10 分 AB 是圆 O 的直径 D 为圆 O 上一点 过 D 作圆 O 的切线交 AB 延长线于点 C 若 DA DC 求证 AB 2BC 解析 本题主要考查三角形 圆的有关知识 考查推理论证 能力 方法一 证明 连结 OD 则 OD DC 又 OA OD DA DC 所以 DAO ODA DCO DOC DAO ODA 2 DCO 所以 DCO 300 DOC 600 所以 OC 2OD 即 OB BC OD OA 所以 AB 2BC 方法二 证明 连结 OD BD 因为 AB 是圆 O 的直径 所以 ADB 900 AB 2 OB 因为 DC 是圆 O 的切线 所以 CDO 900 又因为 DA DC 所以 DAC DCA 于是 ADB CDO 从而 AB CO 即 2OB OB BC 得 OB BC 故 AB 2BC B 选修 4 2 矩阵与变换 本小题满分 10 分 在平面直角坐标系 xOy 中 已知点 A 0 0 B 2 0 C 2 1 设 k 为非零实数 矩阵 M 10 0k N 01 10 点 A B C 在矩阵 MN 对应的变换下得到点分别为 A1 B1 C1 A1B1C1的面积是 ABC 面积的 2 倍 求 k 的值 解析 本题主要考查图形在矩阵对应的变换下的变化特点 考查运算求解能力 满分 10 分 解 由题设得 0010 011010 kk MN B O C A D 用心 爱心 专心12 由 002200 10001022 kk 可知 A1 0 0 B1 0 2 C1 k 2 计算得 ABC 面积的面积是 1 A1B1C1的面积是 k 则由题设知 2 12k 所以 k 的值为 2 或 2 C 选修 4 4 坐标系与参数方程 本小题满分 10 分 在极坐标系中 已知圆 2cos 与直线 3 cos 4 sin a 0 相切 求实数 a 的值 解析 本题主要考查曲线的极坐标方程等基本知识 考查转化问题的能力 满分 10 分 解 2 2 cos 圆 2cos 的普通方程为 2222 2 1 1xyx xy 直线 3 cos 4 sin a 0 的普通方程为 340 xya 又圆与直线相切 所以 22 3 14 0 1 34 a 解得 2a 或8a D 选修 4 5 不等式选讲 本小题满分 10 分 设 a b 是非负实数 求证 3322 abab ab 解析 本题主要考查证明不等式的基本方法 考查推理论证的能力 满分 10 分 方法一 证明 332222 abab abaaabbbba 55 abab 2432234 abaabababb 因为实数 a b 0 2432234 0 0abaabababb 所以上式 0 即有 3322 abab ab 方法二 证明 由 a b 是非负实数 作差得 332222 abab abaaabbbba 55 abab 用心 爱心 专心13 当ab 时 ab 从而 55 ab 得 55 0abab 当ab 时 ab 从而 55 ab 得 55 0abab 所以 3322 abab ab 必做题 第 22 题 第 23 题 每题 10 分 共计 20 分 请在答题卡指定区域答题卡指定区域内作答 解答 时应写出文字说明 证明过程或演算步骤 20092009 年高考题年高考题 一 填空题 1 1 0909 广东理广东理 1414 坐标系与参数方程选做题 若直线 1 2 23 xt yt t 为参数 与直线 41xky 垂直 则常数k 解析 将 1 2 23 xt yt 化为普通方程为 37 22 yx 斜率 1 3 2 k 当0k 时 直线41xky 的斜率 2 4 k k 由 12 34 1 2 k k k 得6k 当0k 时 直线 37 22 yx 与直线41x 不垂直 综上可知 6k 答案 6 2 2 09 09 广东理广东理 15 15 几何证明选讲选做题 如图 3 点 A B C 是圆 O 上的点 且 AB 4 30ACB o 则圆 O 的面积等于 图 3 解析 连结 AO OB 因为 30ACB o 所以 60AOB o AOB 为等边三角形 故 圆 用心 爱心 专心14 O 的半径4rOAAB 圆 O 的面积 2 16Sr 答案 16 3 3 天津理天津理 13 13 设直线 1 l的参数方程为 1 1 3 xt yt t 为参数 直线 2 l的方程为 y 3x 4 则 1 l与 2 l的距离为 解析 由题直线 1 l的普通方程为023 yx 故它与与 2 l的距离为 5 103 10 24 答案 5 103 4 4 0909 安徽理安徽理 1212 以直角坐标系的原点为极点 x轴的正半轴为极轴 并在两种坐标系中 取相同的长度单位 已知直线的极坐标方程为 4 R 它与曲线 12cos 22sin x y 为参数 相交于两点 A 和 B 则 AB 解析 直线的普通方程为yx 曲线的普通方程 22 1 2 4xy 22 1 2 2 2 14 1 1 AB 答案 二 解答题 5 5 0909 海南海南 2222 本小题满分 10 分 选修 4 1 几何证明选讲 如图 已知ABC 的两条角平分线AD和CE相交于 H 0 60B F 在AC上 且AEAF 证明 B D H E 四点共圆 证明 CE平分DEF 解 在 ABC 中 因为 B 60 所以 BAC BCA 120 因为 AD CE 是角平分线 所以 HAC HCA 60 故 AHC 120 于是 EHD AHC 120 因为 EBD EHD 180 所以 B D H E 四点共圆 连结 BH 则 BH 为 ABC 的平分线 得 HBD 30 由 知 B D H E 四点共圆 所以 CED HBD 30 开始 1a 21aa 100 a 输出a 结束 是 否 用心 爱心 专心15 又 AHE EBD 60 由已知可得 EF AD 可得 CEF 30 所以 CE 平分 DEF 6 6 0909 海南海南 2323 本小题满分 10 分 选修 4 4 坐标系与参数方程 已知曲线 C1 4cos 3sin xt yt t 为参数 C2 8cos 3sin x y 为参数 1 化 C1 C2的方程为普通方程 并说明它们分别表示什么曲线 2 若 C1上的点 P 对应的参数为 2 t Q 为 C2上的动点 求PQ中点M到直线 3 32 2 xt C yt t 为参数 距离的最小值 解 22 22 12 4 3 1 1 649 xy CxyC 1 C为圆心是 4 3 半径是 1 的圆 2 C为中心是坐标原点 焦点在 x 轴上 长半轴长是 8 短半轴长是 3 的椭圆 当 2 t 时 3 4 4 8cos 3sin 24cos 2sin 2 PQM 故 3 C为直线 3 5 270 4cos3sin13 5 xyMCd 到的距离 从而当 43 cos sin 55 时 8 5 5 d取得最小值 7 7 0909 海南海南 2424 本小题满分 10 分 选修 4 5 不等式选讲 如图 O 为数轴的原点 A B M 为数轴上三点 C 为线段 OM 上的动点 设 x 表示 C 与 原点的距离 y 表示 C 到 A 距离 4 倍与 C 道 B 距离的 6 倍的和 1 将 y 表示成 x 的函数 2 要使 y 的值不超过 70 x 应该在什么范围内取值 解 4 10 6 20 030 yxxx 依题意 x 满足 4 10 6 20 70 030 xx x 解不等式组 其解集为 9 23 用心 爱心 专心16 所以 9 23 x 8 8 0909 江苏 江苏 A A 选修选修 4 4 1 1 几何证明选讲 几何证明选讲 如图 在四边形 ABCD 中 ABC BAD 求证 AB CD 解析 本小题主要考查四边形 全等三角形的有关知识 考查推理论证能力 满分 10 分 证明 由 ABC BAD 得 ACB BDA 故 A B C D 四 点共圆 从而 CBA CDB 再由 ABC BAD 得 CAB DBA 因此 DBA CDB 所以 AB CD B B 选修选修 4 4 2 2 矩阵与变换 矩阵与变换 求矩阵 32 21 A 的逆矩阵 解析 本小题主要考查逆矩阵的求法 考查运算求解能力 满分 10 分 解 设矩阵 A 的逆矩阵为 xy zw 则 3210 2101 xy zw 即 323210 2201 xzyw xzyw 故 321 320 20 21 xzyw xzyw 解得 1 2 2 3xzyw 从而 A 的逆矩阵为 1 12 23 A C C 选修选修 4 4 4 4 坐标系与参数方程 坐标系与参数方程 已知曲线 C 的参数方程为 1 1 3 xt t yt t t为参数 0t 求曲线 C 的普通方程 解析 本小题主要考查参数方程和普通方程的基本知识 考查转化问题的能力 满分 10 分 解 因为 2 1 2 xt t 所以 2 1 2 3 y xt t 故曲线 C 的普通方程为 2 360 xy D D 选修选修 4 4 5 5 不等式选讲 不等式选讲 设a b 0 求证 33 32ab 22 32a bab 用心 爱心 专心17 证明 33222222 32 32 3 2 32 aba babaabb baabab 因为a b 0 所以ab 0 22 32ab 0 从而 22 32 abab 0 即 33 32ab 22 32a bab 9 9 0909 辽宁理辽宁理 2222 本小题满分 10 分 选修 4 1 几何证明讲 已知 ABC 中 AB AC D是 ABC 外接圆劣弧 A AC上 的点 不与点 A C 重合 延长 BD 至 E 1 求证 AD 的延长线平分 CDE 2 若 BAC 30 ABC 中 BC 边上的高为 2 3 求 ABC 外接圆的面积 解 如图 设 F 为 AD 延长线上一点 A B C D 四点共圆 CDF ABC 又 AB AC ABC ACB 且 ADB ACB ADB CDF 对顶角 EDF ADB 故 EDF CDF 即 AD 的延长线平分 CDE 设 O 为外接圆圆心 连接 AO 交 BC 于 H 则 AH BC 连接 OC A 由题意 OAC OCA 150 ACB 750 OCH 600 设圆半径为 r 则 r 2 3 r 2 3 a 得 r 2 外接圆的面积为 4 1010 0909 辽宁理辽宁理 2323 本小题满分 10 分 选修 4 4 坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy 中 以 O 为极点 x 正半轴为极轴建立极坐标系 曲线 C 的极坐标方程为 cos 3 1 M N 分别为 C 与 x 轴 y 轴的交点 1 写出 C 的直角坐标方程 并求 M N 的极坐标 2 设 MN 的中点为 P 求直线 OP 的极坐标方程 解 由得1 3 cos 1 sin 2 3 cos 2 1 从而 C 的直角坐标方程为 用心 爱心 专心18 2 3 32 3 32 2 0 2 20 23 1 2 3 2 1 N M yx yx 所以时 所以时 即 M 点的直角坐标为 2 0 N 点的直角坐标为 3 32 0 所以 P 点的直角坐标为 6 3 32 3 3 1 点的极坐标为则P 所以直线 OP 的极坐标方程为 1111 0909 辽宁理辽宁理 2424 本小题满分 10 分 选修 4 5 不等式选讲 设函数 1 f xxxa 1 若1 a 解不等式 3f x 2 如果xR 2f x 求a 的取值范围 解 当 a 1 时 f x x 1 x 1 由 f x 3 得 x 1 x 1 3 x 1 时 不等式化为 1 x 1 x 3 即 2x 3 用心 爱心 专心19 20082008 年高考题年高考题 一 填空题 1 1 20082008 广东理 广东理 坐标系与参数方程选做题 坐标系与参数方程选做题 已知曲线 12 CC 的极坐标方 程分别为cos3 4cos0 0 2 则曲线 1 C与 2 C交点的极坐标为 答案 2 3 6 2 2 20082008 广东理 广东理 不等式选讲选做题 不等式选讲选做题 已知a R 若关于x的方程 2 1 0 4 xxaa 有实根 则a的取值范围是 答案 4 1 0 a 3 3 20082008 广东理 广东理 几何证明选讲选做题 几何证明选讲选做题 已知PA是圆O的切线 切点为A 2PA AC 是圆O的直径 PC与圆O交于点B 1PB 则圆O的半径R 答案 3 二 解答题 4 4 20082008 宁夏理 宁夏理 10 分 选修 4 1 几何证明选讲 如图 过圆 O 外一点 M 作它的一条切线 切点为 A 过 A 作直线 AP 垂直于直线 OM 垂足为 P 1 证明 OM OP OA2 2 N 为线段 AP 上一点 直线 NB 垂直于直线 ON 且交圆 O 于 B 点 过 B 点的切线 交直线 ON 于 K 证明 OKM 90 1 证明 因为MA是圆O的切线 所以OAAM 用心 爱心 专心20 又因为APOM 在RtOAM 中 由射影定理知 2 OPOMOA 2 证明 因为BK是圆O的切线 BNOK 同 1 有OKONOB 2 又OBOA 所以OKONOMOP 即 ONOM OPOK 又NOPMOK 所以ONPOMK 故90OKMOPN 5 5 20082008 宁夏理 宁夏理 10 分 选修 4 4 坐标系与参数方程选讲 已知曲线 C1 cos sin x y 为参数 曲线 C2 2 2 2 2 2 xt t yt 为参数 1 指出 C1 C2各是什么曲线 并说明 C1与 C2公共点的个数 2 若把 C1 C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半 分别得到曲线 1 C 2 C 写出 1 C 2 C的参数方程 1 C与 2 C公共点的个数和 C1与 C2公共点的个数是否相同 说 明你的理由 解 1 1 C是圆 2 C是直线 1 C的普通方程为 22 1xy 圆心 1 0 0 C 半径1r 2 C的普通方程为20 xy 因为圆心 1 C到直线20 xy 的距离为1 所以 2 C与 1 C只有一个公共点 2 压缩后的参数方程分别为 1 C cos 1 sin 2 x y 为参数 2 C 2 2 2 2 4 xt yt t为参数 化为普通方程为 1 C 22 41xy 2 C 12 22 yx 联立消元得 2 22 210 xx 其判别式 2 2 2 4 2 10 所以压缩后的直线 2 C 与椭圆 1 C 仍然只有一个公共点 和 1 C与 2 C公共点个数相同 用心 爱心 专心21 6 6 20082008 宁夏理 宁夏理 10 分 选修 4 5 不等式选讲 已知函数 4 8 xxxf 1 作出函数 xfy 的图象 2 解不等式2 4 8 xx 解 1 44 21248 48 x f xxx x 图象如下 2 不等式842xx 即 2f x 由2122x 得5x 由函数 f x图象可知 原不等式的解集为 5 7 7 20082008 江苏 江苏 A 选修 4 1 几何证明选讲 如图所示 设 ABC 的外接圆的切线 AE 与 BC 的延长线 交于点 E BAC 的平分线与 BC 交于点 D 求证 ED2 EC EB B 选修 4 2 矩阵与变换 在平面直角坐标系 xOy 中 设椭圆 4x2 y2 1 在矩阵 A 10 02 对应的变换下得到曲线 F 求 F 的方程 C 选修 4 4 坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中 设 P x y 是椭圆1 3 2 2 y x 上的一个动点 求 S x y 的最大值 1 1 Ox y 2 3 4 2 4 1 2 2 8 4 用心 爱心 专心22 D 选修 4 5 不等式选讲 设 a b c 为正实数 求证 32 111 333 abc cba A 证明证明 如图所示 因为 AE 是圆的切线 又因为 AD 是 BAC 的平分线 所以 BAD CAD 从而 ABC BAD CAE CAD 因为 ADE ABC BAD DAE CAE CAD 所以 ADE DAE 故 EA ED 因为 EA 是圆的切线 所以由切割线定理知 EA2 EC EB 而 EA ED 所以 ED2 EC EB B 解 解 设 P x0 y0 是椭圆上任意一点 点 P x0 y0 在矩阵 A 对应的变换下变为点 P x 0 y 0 则有 2 2 10 02 00 0 0 00 00 0 0 0 0 yy x x yy xx y x y x 所以即 又因为点 P 在椭圆上 故 1 14 2 0 2 0 2 0 2 0 yxyx从而 所以曲线 F 的方程为 1 22 yx C 解 解 由椭圆 sin cos3 1 3 2 2 为参数的参数方程为 y x y x 故可设动点 P 的坐标为 sin sin3 其中 20 因此 3 sin2sin 2 1 cos 2 3 2sincos3 yxS 所以当 2 6 取得最大值时 S D 证明 证明 因为 a b c 是正实数 由平均不等式可得 3111 111 3 111 333 3 333333 abccbacbacba 即 32 3 2 3 3111 333 abc abc abc abc abc abc abc cba 而所以 所以 32 111 333 abc cba 用心 爱心 专心23 第二部分第二部分 两年模拟汇编两年模拟汇编 20102010 年模拟题年模拟题 题组一题组一 一一 选择题选择题 1 江西省江西省 20112011 届高三理 届高三理 若集合 121212 A AAAAA A 满足则称为集合 A 的一个 分拆 并规定 当且仅当 121221 AAA AA A 时与为集合 A 的同一分拆 则集合 123 Aa a a 的不同分拆的种数为 A 27 B 26 C 9D 8 答案 A 2 广西桂林中学广西桂林中学 20112011 届高三届高三 1111 月月考试题理月月考试题理 已知函数 2 2 log 2 2 4 2 2 axx f xx x x x 当时 在点处 当时 连续 则 1 1 lim 22 2 na an n 2 1 3 1 3 2 答案 B 二 填空题 1 江西省江西省 20112011 届高三理 届高三理 为激发学生学习的兴趣 老师上课时在黑板上写出三个集合 2 1 0 340 x AxBx xx x A 1 2 log1 Cxx 然后叫甲 乙 丙三 位同学到讲台上 并将 A 中的数告诉了他们 要求他们各用一句话来描述 以便同学 们能确定该数 以下是甲 乙 丙三位同学的描述 甲 此数为小于 6 的正整数 乙 A 是 B 成立的充分不必要条件 丙 A 是 C 成立的必要不充分条件 若老师评说这三位同学都说得对 则 A 中的数为 答案答案 1 1 用心 爱心 专心24 三 解答题三 解答题 1 江西省 江西省 20112011 届理 届理 二次函数f x 满足f x 1 f x 2x且f 0 1 求f x 的解析式 在区间 1 1 上 y f x 的图象恒在y 2x m的图象上方 试确定实数m的范围 答案答案 1 解 1 设 f x ax2 bx c 由 f 0 1 得 c 1 故 f x ax2 bx 1 f x 1 f x 2x a x 1 2 b x 1 1 ax2 bx 1 2x 即 2ax a b 2x 所以 221 01 aa abb f x x2 x 1 2 由题意得 x2 x 1 2x m 在 1 1 上恒成立 即 x2 3x 1 m 0 在 1 1 上恒成 立 设 g x x2 3x 1 m 其图象的对称轴为直线 x 所以 g x 在 1 1 上递 3 2 减 故只需 g 1 0 即 12 3 1 1 m 0 解得 m 1 题组二题组二 1 广东省惠州市 广东省惠州市 20102010 届高三第三次调研理科 届高三第三次调研理科 几何证明选讲选做题 如图 平行四边 形ABCD中 1 2AE EB AEF 的面积为 6 则ADF 的面积为 答案 18 解析 由题意可得AEF CDF 且相似比为1 3 由 AEF 的面积为 6 得CDF 的面积为 54 又 ADF S CDF S 1 3 所以18 ADF S 2 20102010 年广东省揭阳市高考一模试题理科 年广东省揭阳市高考一模试题理科 几何证明选做题 几何证明选做题 如图 已知P是OA外 一点 PD为OA的切线 D为 切点 割线 PEF 经过圆心O 若12 4 3PFPD 则EFD 的度数为 答案 30 解析 由切割线定理得 2 PDPE PF 2 16 3 4 12 PD PE PF 8EF 4OD ODPD 1 2 ODPO 30P 用心 爱心 专心25 A C P D O E F B A C P D O E F B 60 30PODPDEEFD 3 广东省惠州市 广东省惠州市 20102010 届高三第三次调研理科 届高三第三次调研理科 坐标系与参数方程选做题 若 P 是极坐 标方程为 3 R 的直线与参数方程为 2cos 1 cos2 x y 为参数 且R 的曲线的交点 则 P 点的直角坐标为 答案 P 0 0 解析 直线的方程为3yx 曲线的方程为 2 1 2 2 2 yxx 联立解方程组得 0 2 3 0 6 x x y y 或 根据x的范围应舍去 2 3 6 x y 故P点的直角坐标为 P 0 0 4 广东省惠州市 广东省惠州市 20102010 届高三第三次调研文科 届高三第三次调研文科 坐标系与参数方程选做题 在平面直 角坐标系 xOy 中 点 P xy 是椭圆 2 2 1 3 x y 上的一个动点 则S xy 的最大值 为 解析 设3cos sinxy 3cossin2sin 3 S 最大值为 2 题组三题组三 1 哈师大附中 东北师大附中 辽宁省实验中学 本小题满分 10 分 选修 4 1 几何证明选讲 如图 O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P E为 O上一点 AE AC DE交AB于点F 且42 BPAB 1 求PF的长度 2 若圆 F 且与圆O内切 直线 PT 与圆 F 切于点 T 求线段 PT 的长度 解 1 连结 OC OD OE 由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系 结合题中条件弧长AE等于弧长AC可得CDEAOC 又CDEPPFD AOCPOCP 从而PFDOCP 故PFD PCO PFPD PCPO 4 由割线定理知12PC PDPA PB 故 12 3 4 PC PD PF PO 6 2 若圆 F 与圆O内切 设圆 F 的半径为 r 因为21OFr 即1r 所以OB是圆 F 的直径 且过 P 点圆 F 的切线为 PT 用心 爱心 专心26 则 2 PT2 48PB PO 即PT2 2 10 2 哈师大附中 东北师大附中 辽宁省实验中学 本小题满分 10 分 选修 4 4 坐标系与参数方程 在极坐标系下 已知圆 O cossin 和直线 2 sin 42 l 1 求圆 O 和直线l的直角坐标方程 2 当 0 时 求直线l与圆 O 公共点的一个极坐标 解 1 圆 O cossin 即 2 cossin 圆 O 的直角坐标方程为 22 xyxy 即 22 0 xyxy 3 直线 2 sin 42 l 即sincos1 则直线l的直角坐标方程为 1yx 即10 xy 6 2 由 22 0 10 xyxy xy 得 0 1 x y 8 故直线l与圆 O 公共点的一个极坐标为 1 2 10 3 哈师大附中 东北师大附中 辽宁省实验中学 本小题满分 10 分 选修 4 5 不等式选讲 对于任意实数a 0 a 和b 不等式 12 ababaxx 恒成立 试求实 数x的取值范围 解 由题知 1 2 abab xx a 恒成立 故12xx 不大于 abab a 的最小值 2 2 ababababa 当且仅当 0abab 时取等号 abab a 的最小值等于 2 5 x的范围即为不等式 x 1 x 2 2 的解 7 用心 爱心 专心27 解不等式得 15 22 x 10 4 三明市三校联考 本题 1 2 3 三个选答题 每小题 7 分 请考生任选 2 题作 答 满分 14 分 如果多做 则按所做的前两题计分 本小题满分 7 分 选修 4 4 矩阵与变换 求矩阵 32 21 A 的逆矩阵 本小题满分 7 分 选修 4 4 坐标系与参数方程 已知曲线C的极坐标方程是4cos 以极点为平面直角坐标系的原点 极轴为x轴的 正半轴 建立平面直角坐标系 直线l的参数方程是 2 1 2 2 2 xt yt 求直线l与曲线 C 相 交所成的弦的弦长 本小题满分 7 分 选修 4 5 不等式选讲 解不等式 2x 1 x 1 解 I 设矩阵 A 的逆矩阵为 xy zw 则 3210 2101 xy zw 即 323210 2201 xzyw xzyw 故 321 320 20 21 xzyw xzyw 解得 1 2 2 3xzyw 从而 A 的逆矩阵为 1 12 23 A 曲线 C 的极坐标方程是4cos 化为直角坐标方程为x2 y2 4x 0 即 x 2 2 y2 4 直线l的参数方程 2 1 2 2 2 xt yt 化为普通方程为x y 1 0 曲线 C 的圆心 2 0 到直 线l的距离为 12 22 所以直线l与曲线 C 相交所成的弦的弦长 1 2 4 2 14 当 x 个单位 所得 图像对应的函数为偶函数 则a的最小值为 答案 5 6 p 10 2009 上海十校联考 若复数z满足 1 32i 2i z z i是虚数单位 则 z 答案 47 i 55 11 2009 上海闸北区 增广矩阵为 8 5 1 2 3 1 的线性方程组的解用向量的坐标形式可 表示为 答案 1 3 二 解答题 12 2009 厦门集美中学 不等式选讲 设cba 均为正数 证明 cba a c c b b a 222 用心 爱心 专心30 证明证明 cbaa a c c c b b b a cba a c c b b a 222 222222 即得cba a c c b b a 222 另证 利用柯西不等式 2 3 2 2 2 1 2 3 2 2 2 1332211 bbbaaabababa 取abcbbb a c a c b a b a a 321321 代入即证 13 2009 上海十四校联考 在 ABC 中 角 A B C 所对边分别为 a b c 已知 2 32 ca 0 10cos 20 0sinsin SABC A cb BC 的面积求 解 由行列式得 0cossin2sin ABcCb 3 分 由正 余弦定理得 0 2 2 222 bc acb cbbc 6 分 3 222 Abcacb 9 分 又4 2 32 bca 12 分 32sin 2 1 AbcS 14 分 14 2009 盐城中学第七次月考 不等式选讲已知x y z均为正数 求证 111 xyz yzzxxyxyz 证明证明 因为x y z无为正数 所以 12 xyxy yzzxz yxz 4 分 同理可得 22yzzx zxxyx xyyzy 7 分 当且仅当x y z时 以上三式等号都成立 将上述三个不等式两边分别相加 并除以 2 得 111xyz yzzxxyxyz 10 分 15 2009 南京一模 如图 已知四边形ABCD内接于 O CDEF FG切 O 于点G 求证 FGEF 用心 爱心 专心31 证明 证明 因为FG切 O 于点G 所以FAFBFG 2 因为CDEF 所以 ECDBEF 又 A B C D 四点共圆 所以 EAFECD 所以 EAFBEF 又BFEEFA 所以EFA BFE 所以 FE FB AF EF 即FAFBEF 2 所以 22 EFFG 即 FGEF 16 2009 厦门同安一中 极坐标与参数方程 若两条曲线的极坐标方程分别为 l 与 2cos 它们相交于A B两点 求线段AB的长 3 解解 由1 得 22 1xy 又 2 2cos cos3sin cos3 sin 3 22 30 xyxy 由 22 22 1 30 xy xyxy 得 13 1 0 22 AB 2 2 13 103 22 AB 7 分 17 2009 厦门北师大海沧附属实验中学 极坐标与参数方程 以直角坐标系的原点 O 为极点 x 轴的正半轴为极轴 已知点 P 的直角坐标为 1 5 点 M 的极坐标为 4 若直线l过点 P 且倾斜角为 圆 C 以 M 为圆心 4 为半径 2 3 求直线l的参数方程和圆 C 的极坐标方程 试判定直线l和圆 C 的位置关系 解解 直线l的参数方程为 1 1 2 3 5 2 xt yt 圆C的极坐标方程为8sin 因为4 2 M 对应的直角坐标为 0 4 用心 爱心 专心32 直线l化为普通方程为3530 xy 圆心到直线l的距离 0453 93 5 23 1 d 所以直线l与圆C相离 20092009 年联考题年联考题 一 选择题 1 1 辽宁省抚顺一中 辽宁省抚顺一中 20092009 届高三数学上学期第一次月考 届高三数学上学期第一次月考 极坐标方程 cos 化为直角 坐 标方程为 A x 2 1 2 y2 4 1 B x2 y 2 1 2 4 1 C x2 y 2 1 2 4 1 D x 2 1 2 y2 4 1 答案 D 2 2 20092009 上海普陀区 上海普陀区 以下向量中 能成为以行列式形式表示的直线方程 101 210 11 x y 的 一个法向量的是 A 1 2n B 2 1n C 1 2n D 2 1n 答案 A 3 3 20092009 上海青