曲线与曲面积分习题参考答案.doc

十 曲线积分与曲面积分习题(一) 对弧长的曲线积分1. 计算，其中为圆周 .解 .2. 计算，其中为由直线及抛物线所围成的区域的整个边界.解 .3计算,其中是抛物线上从到的一段弧.解 .4计算，其中为从点到的直线段.解 .5计算，其中是曲线的一段.解 .6计算，其中为圆周,直线及轴在第一象限所围成的扇形的整个边界.解7设在面内有一分布着质量的曲线,在点处它的线密度为,试用对弧长的曲线积分分别表达(1)这条曲线弧对轴,轴的转动惯量；(2) 这条曲线弧的质心坐标. 解 （1） （2） (二) 对坐标的曲线积分1计算，其中为圆周上对应从到的一段弧.解 2计算，其中分别为（1）沿抛物线从到的一段；（2）沿从到的直线段.；（3）沿封闭曲线，其中,.解 （1）. （2）.（3） .3计算，其中是从点到点的一段直线.解 直线方程为，其参数方程为，从0变到1.4计算，其中是螺旋线从到上的一段.解 .5设为曲线上相应于从0变到1的曲线弧.把对坐标的曲线积分化成对弧长的曲线积分.解 由于，故，. .(三) 格林公式及应用1计算，其中为圆周，取逆时针方向.解 2计算，其中是在圆周上由点到点 的一段弧.解 , 3. 计算，其中为椭圆的上半周由点到的弧段.解 , 4. 计算,其中为在抛物线上由点到的一段弧解 ， 5. 计算，其中为圆周，的方向为逆时针方向.解 ，当时， 所围区域为，由于，故不能直接用格林公式.选适当小的，作位于内的小圆周.记与所围区域为，在上应用格林公式，得0其中取逆时针方向.所以 .6. 计算星形线，所围成区域的面积.解 7. 证明曲线积分在整个面内与路径无关，并计算积分值.解 （1），在整个面上成立故曲线积分在整个面内与路径无关.（2）8验证在整个平面内是某一函数的全微分，并求这样的一个.解 （1）验证略； （2）9试用曲线积分求的原函数.解 ，在整个面上成立所以 =+C.(四) 对面积的曲面积分1计算，其中是锥面及平面所围成的区域的整个边界曲面.解 .2. 计算，其中为平面在第一卦限的部分. 解 ， .（）3计算，其中为球面.解 4计算，是球面.有问题解 5求抛物面壳的质量，此壳的面密度为.解 .(五)对坐标的曲面积分1计算，其中是球面的下半部分的下侧.解 2计算，其中是平面所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧. 解 .3计算，其中为已知连续函数，为平行六面体表面的外侧. 解 所以 .4计算，其中为半球面的上侧. 解 同理：故.5计算，其中是柱面被及所截得的在第一卦限内的部分的前侧. 解 同理：故.6设为平面在柱面内那一部分的上侧，下面两个积分的解法是否正确？如果不对，给出正确解法.（1）；（2）. 解 （1）正确； （2）错误.正确解法是：.(六) 高斯公式 利用高斯公式计算:1计算，其中为球面的内侧. 解 2计算，其中是曲面在第一卦限中部分的下侧.解 补充曲面： ，取上侧； ，取左侧； ，取后侧.，和构成闭曲面，所围的空间闭区域记为，由高斯公式，得 .3计算，为正方体的表面并取外侧,其中.解 4计算，其中是由及所围成的闭曲面的外侧，是此曲面的外法线的方向余弦. 解 = =.(七) 斯托克斯公式1计算，其中为平面与各坐标面的交线，取逆时针方向为正向. 解 由斯托克斯公式，得 1.2计算，其中是从经和回到的三角形. 解 由斯托克斯公式，得 .(八) 曲线积分与曲面积分自测题1计算曲线积分(1) ，其中为圆周； 解 =.(2) ，其中为曲线； 解 =. (3) ，其中为摆线上对应从0到的一段弧； 解 = =. (4) ，其中是曲线上由到 的一段弧； 解 = (5) ，其中为上半圆周 沿逆时针方向； 解 补充积分路径，x从0到2a. =2计算曲面积分(1) ，其中是介于平面及之间的圆柱面； 解 ，= =+=.(2) ，其中为锥面的外侧； 解 = =. (3) ,其中为半球面的上侧； 解 = =. (4) ，其中为曲面的上侧； 解 （利用高斯公式） (5) ，其中为球面外侧. 解 =.3证明：在整个平面除去的负半轴及原点的区域内是某个二元函数的全微分，并求出一个这样的二元函数.解 在整个平面除去的负半轴及原点的区域是单连通域.在内， ，所以存在，使. 取积分