311方程的根与函数的零点第1课时教案（人教A版必修1）VIP

第三章第三章 函数的应用函数的应用 本章教材分析本章教材分析 函数的应用是学习函数的一个重要方面 学生学习函数的应用 目的就是利用已有的函数知识 分析问题和解决问题 通过函数的应用 对完善函数的思想 激发应用数学的意识 培养分析 问题 解决问题的能力 增强实践的能力等 都有很大的帮助 本章主要内容 函数与方程 函数模型及其应用 实习作业和小结 在函数与方程这一节中 课本从学生最熟悉的二次函数入手 通过研究方程的根与函数的零点的关系 使函数的图 象与性质得到充分的应用 同时也展现了函数和方程的密切关系 求函数零点的近似解不仅 展示了数学方法的严谨性 科学性 也为计算机的应用提供了广阔的空间 让学生进一步受 到数学思想方法的熏陶 激发学生的学习热情 在函数模型及其应用这一节中让学生近距离接近社会生活 从生活中学习数学 使数学在 社会生活中得到应用和提高 让学生体会到数学是有用的 从而培养学生的学习兴趣 数 学建模 也是高考考查的重点 本章还是数学思想方法的载体 学生在学习中会经常用到 函数方程思想 数形结合思想 转化思想 从而提高自己的数学能力 因此应从三个方面把握本章 1 知识间的联系 2 数学思想方法 3 认知规律 本章教学时间约需 9 课时 具体分配如下 仅供参考 3 1 函数与方程约 3 课时 3 2 函数模型及其应用约 4 课时 实习作业约 1 课时 本章复习约 1 课时 3 1 函数与方程函数与方程 3 1 1 方程的根与函数的零点方程的根与函数的零点 整体设计整体设计 教学分析教学分析 函数作为高中的重点知识有着广泛应用 与其他数学内容有着有机联系 课本选取探究具体 的一元二次方程的根与其对应的二次函数的图象与 x 轴的交点的横坐标之间的关系作为本 节内容的入口 其意图是让学生从熟悉的环境中发现新知识 使新知识与原有知识形成联 系 本节设计特点是由特殊到一般 由易到难 这符合学生的认知规律 本节体现的数学思 想是 数形结合 思想和 转化 思想 本节充分体现了函数图象和性质的应用 因此 把握课 本要从三个方面入手 新旧知识的联系 学生认知规律 数学思想方法 另外 本节也是传 统数学方法与现代多媒体完美结合的产物 三维目标三维目标 1 让学生明确 方程的根 与 函数的零点 的密切联系 学会结合函数图象性质判断方程根的 个数 学会用多种方法求方程的根和函数的零点 2 通过本节学习让学生掌握 由特殊到一般 的认知规律 在今后学习中利用这一规律探索 更多的未知世界 3 通过本节学习不仅让学生学会数学知识和认知规律 还要让学生充分体验 数学语言 的 严谨性 数学思想方法 的科学性 体会这些给他们带来的快乐 重点难点重点难点 根据二次函数图象与 x 轴的交点的个数判断一元二次方程的根的个数 函数零点的概念 课时安排课时安排 2 课时 教学过程教学过程 第第 1 课时课时 方程的根与函数的零点方程的根与函数的零点 导入新课导入新课 思路思路 1 情景导入情景导入 据新华社体育记者报道 昨晚足球比赛跌宕起伏 球迷经历了大喜到大悲 再到大喜的过程 领先则喜 落后即悲 请问 整场足球比赛出现几次 比分相同 的时段 学生思考或讨论回答 三次 1 开场 2 由领先到落后必经过 比分相同 时段 3 由落后到领先必经过 平分 时段 教师点拨 教师点拨 足球比赛有 落后 领先 比分相同 函数值有 负 正 零 函数图象与足球比 赛一样跌宕起伏 由此导入课题 为后面学习埋好伏笔 思路思路 2 事例导入 多媒体动画演示 一枚炮弹从地面发射后 炮弹的高度随时间变化的函数 关系式为 h 20t 5t2 问炮弹经过多少秒回到地面 炮弹回到地面即高度 h 0 求方程 20t 5t2 0 的根 得 t 4 秒 如图 3 1 1 1 图 3 1 1 1 思路思路 3 直接导入 教师直接点出课题 上一章我们研究函数的图象性质 这一节我们讨论函数的应用 方程 的根与函数的零点 推进新课推进新课 新知探究新知探究 提出问题提出问题 求方程 x2 2x 3 0 的根 画函数 y x2 2x 3 的图象 求方程 x2 2x 1 0 的根 画函数 y x2 2x 1 的图象 求方程 x2 2x 3 0 的根 画函数 y x2 2x 3 的图象 观察函数的图象发现 方程的根与函数的图象和 x 轴交点的横坐标有什么关系 如何判断一元二次方程根的个数 如何判断二次函数图象与 x 轴交点的个数 它们之间 有什么关系 归纳函数零点的概念 怎样判断函数是否有零点 函数的图象不易画出 又不能求相应方程的根时 怎样判断函数是否有零点 活动 活动 先让学生思考或讨论后再回答 经教师提示 点拨 对回答正确的学生及时表扬 对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路 问题 先求方程的两个根 找出抛物线的顶点 画出二次函数的图象 图 3 1 1 2 问题 方程有一个根 说明抛物线的顶点在 x 轴上 图 3 1 1 3 问题 方程没有实数根 抛物线与 x 轴没有交点 找出抛物线的顶点是画二次函数图象的 关键 图 3 1 1 4 问题 方程的根与函数的图象和 x 轴交点的横坐标都是实数 问题 对于其他函数这个结论正确吗 问题 函数的零点是一个实数 问题 可以利用 转化思想 问题 足球比赛中从落后到领先是否一定经过 平分 由此能否找出判断函数是否有零点 的方法 函数图象穿过 x 轴则有零点 怎样用数学语言描述呢 讨论结果 讨论结果 方程的两个实数根为 1 3 方程的实数根为 1 方程没有实数根 方程的根就是函数的图象与 x 轴交点的横坐标 一元二次方程根的个数 就是二次函数图象与 x 轴交点的个数 可以用判别式来判定一 元二次方程根的个数 a 当 0 时 一元二次方程有两个不等的实根 x1 x2 相应的二次函 数的图象与 x 轴有两个交点 x1 0 x2 0 b 当 0 时 一元二次方程有两个相等的实根 x1 x2 相应的二次函数的图象与 x 轴有唯一的交点 x1 0 c 当 0 时 一元二次方程没有 实根 相应的二次函数的图象与 x 轴没有交点 一般地 对于函数 y f x 我们把使 f x 0 的实数 x 叫做函数 y f x 的零点 方程 f x 0 有实根函数 y f x 的图象与 x 轴有交点函数 y f x 有零点 观察二次函数 f x x2 2x 3 的图象 我们发现函数 f x x2 2x 3 在区间 2 1 上有零点 计算 f 2 与 f 1 的乘积 发现这个乘积特点是小于零 在区间 2 4 同样如此 可以发现 f 2 f 1 0 函数 y x2 2x 3 在区间 2 1 内有零点 x 1 它是方程 x2 2x 3 0 的一个根 同样地 f 2 f 4 4 2 若函数有三个零点 则 a 4 3 函数有四个零点 则 0 a0 所以一元二次方程 2x2 3x 2 0 有两个不相等的实根 所以函数 f x 2x2 3x 2 有两个零点 证法二 因为一元二次方程 2x2 3x 2 0 可化为 2x 1 x 2 0 所以一元二次方程 2x2 3x 2 0 有两个不相等的实根 x1 2 x2 2 1 所以函数 f x 2x2 3x 2 有两个零点 证法三 因为函数 f x 2x2 3x 2 的图象是一条开口向上的抛物线 且顶点在 x 轴的下方 即 f 0 2 0 所以函数 f x 2x2 3x 2 有两个零点 如图 3 1 1 6 图 3 1 1 7 点评 点评 判断函数零点个数可以结合函数的图象 方法 零点 函数方程的根 两图象交点 数学思想 转化思想和数形结合思想 例例 2 若关于 x 的方程 3x2 5x a 0 的一根在 2 0 内 另一个根在 1 3 内 求 a 的取值范 围 活动 活动 学生自己思考或讨论 再写出 最好用实物投影仪展示写的正确的答案 教师在学生 中巡视其他学生的解答 发现问题及时纠正 并及时评价 如果用求根公式与判别式来做 运算量很大 能否将问题转化 借助二次函数的图象 从图 象中抽出与方程的根有关的关系式 使得问题解答大大简化 引导学生画出函数的图象观察 分析 解 解 设 f x 3x2 5x a 则 f x 为开口向上的抛物线 如图 3 1 1 8 图 3 1 1 8 因为 f x 0 的两根分别在区间 2 0 1 3 内 所以即故所求 a 的取值范围是 12 a 0 0 3 0 1 0 0 0 2 f f f f 0 12 02 0 022 a a a a 变式训练变式训练 关于 x 的方程 x2 ax a2 7 0 的两个根一个大于 2 另一个小于 2 求实数 a 的取值范围 解 解 设 f x x2 ax a2 7 图象为开口向上的抛物线 如图 3 1 1 9 因为方程 x2 ax a2 7 0 的两个根一个大于 2 另一个小于 2 所以函数 f x x2 ax a2 7 的零点一个大于 2 另一个小于 2 即函数 f x x2 ax a2 7 的图象与 x 轴的两个交点在点 2 0 的两侧 只需 f 2 0 即 4 2a a2 7 0 所以 1 a 3 图 3 1 1 9 思路思路 2 例例 1 若方程 2ax2 x 1 0 在 0 1 内有解 求实数 a 的取值范围 活动 活动 学生先思考或讨论 再回答 教师根据实际 可以提示引导 有解包括有一解和有两解 要分类讨论 用一般解法固然可以 若结合函数图象观察分析 可以找到捷径 有两种情况 a a 0 b a 0 0 解 解 令 f x 2ax2 x 1 1 当方程 2ax2 x 1 0 在 0 1 内恰有一个解时 f 0 f 1 0 或 a 0 且 0 由 f 0 f 1 0 得 1 2a 2 1 由 0 得 1 8a 0 a 8 1 方程为x2 x 1 0 即 x 2 0 1 舍去 综上可得 a 1 4 1 2 当方程 2ax2 x 1 0 在 0 1 内有两个解时 则 或 0 4 1 1 4 1 0 0 1 0 0 0 a f a f f a 0 4 1 1 4 1 0 0 1 0 0 0 a f a f f a 容易解得实数 a 不存在 综合 1 2 知 a 1 变式训练变式训练 若方程 ax2 3x 4a 0 的根都小于 1 求实数 a 的取值范围 解 解 1 当 a 0 时 x 0 满足题意 2 当 a 0 时 设 f x ax2 3x 4a 方法一 若方程 ax2 3x 4a 0 的根都小于 1 则 0 a 0 1 1 2 3 0169 2 af a a 6 00 5 10 4 3 4 3 aa aa a 或 或 4 3 综上 1 2 得 0 a 4 3 方法二 若方程 ax2 3x 4a 0 的根都小于 1 则 0 1 1 2 0169 21 21 2 xx xx a 01 2 0169 2121 21 2 xxxx xx a 解得 00 方程 f x x 0 的两个根为 x1 x2 满足 0 x1 x2 a 1 1 当 x 0 x1 时 求证 x f x x1 2 设函数 f x 的图象关于直线 x x0对称 求证 x0 2 1 x 活动 活动 根据方程与函数关系 学生先思考或讨论后再回答 教师点拨 提示并及时评价学 生 因为方程 f x x 0 的两个根为 x1 x2 可考虑把 f x x 设为双根式 然后判断其符号 再考虑二次函数的双根与二次函数对称轴的关系 证明 1 x1 x2是方程 f x x 0 的两个根 且 0 x1 x20 即 f x x 0 又 f x x a x1 x x2 x a x1 x x1 x 即 f x x x1 x 故 0 f x x x1 x 即 x f x x1 a 1 2 f x x ax2 b 1 x c 且 f x x 0 的两个根为 x1 x2 二次函数 f x x 的对称轴为 x 2 21 xx a b 2 1 2 1 x 22 1 2 2 x aa b 又由已知 得 x0 x0 a b 2 2 1 x 22 1 2 x a 又 x20 故 x0 x0 即 x0 a 1 22 1 2 x a 2 1 x 22 1 2 x a 2 1 x 变式训练变式训练 1 已知二次函数 f x 满足 f 3 x f 3 x 且其两零点分别为 x1 x2 求 x1 x2 解 解 对任意 x 都有 f 3 x f 3 x 函数 f x 的图象上有两点 3 x y 3 x y 关于 x 3 对 称 二次函数 f x 的对称轴为 x 3 x1 x2为二次函数 f x 的两个零点 x1 x2 6 2 若函数 f x 满足 f 3 x f 3 x 且函数 f x 有 6 个零点 求所有零点的和 解 解 同理函数 f x 的对称轴为 x 3 3 x1 x2 18 点评 点评 二次函数的双根与二次函数解析式的关系是 若二次项系数为 a 两个根为 x1 x2 则二次函数解析式为 f x a x x1 x x2 二次函数的双根与二次函数对称轴的关系是 二次函数 f x 的对称轴为 x 2 21 xx 总之 二次函数的双根是联系函数与方程的桥梁和纽带 应仔细体会 准确把握 知能训练知能训练 讨论函数 y ex 4x 4 的零点的个数 活动 活动 鼓励学生说出自己的见解 并说明理由 函数零点问题是函数的重要应用 离不开函 数的图象和性质 1 利用 f a f b 0 及函数的单调性 2 作出 y ex和 y 4 4x 的图象 把函数 y ex 4x 4 的零点 的个数转化为方程 ex 4 4x 根的个数 再转化为上述两函数图象交点的个数 解 解 方法一 利用计算机作出 x f x 的对应值表 x01 f x 32 71828 由表和图可知 f 0 0 则 f 0 f 1 0 这说明 f x 在区间 0 1 内有零点 由于函数在定 义域 内是增函数 所以它仅有一个零点 方法二 作出 y ex和 y 4 4x 的图象 图 3 1 1 10 即可直观地看出零点的个数为 1 图 3 1 1 10 总结点评 点评 讨论函数零点个数问题是函数的重要应用 由于函数与方程的特殊关系 所以 这个问题常用的方法是 1 解方程 2 画图象 3 利用 f a f b 0 得 m4 综上 要使 P 和 Q 同时成立 只需解得实数 m 的取值范围是 4 8 41 82 mm m 或 2 如果函数 y f x 在区间 a b 上的图象是连续不断的一条曲