矢量匹配改进

矢量匹配改进 摘要 本文介绍了矢量匹配过程的修 改 它是为了有理函数频域响应的逼 近 修改大大提高了矢量匹配的能力 来移居磁极到更好的位置 从而改进 其收敛性能和降低最初极集规范的重 要性 这是在更宽松的条件下 通过 更换矢量匹配缩放功能的高频渐近要 求来实现的 当被污染的噪声匹配响 应时 计算结果表现出一个很大的性 能改进 该过程也证明传输线路 网 络当量和变压器的宽带建模是有优势 的 关键词 宏模型 合理近似值 系统 识别 矢量匹配 VF 一 引言 矢量匹配 1 2 已成为一种在频 率领域进行线性系统识别的流行工具 应用程序通常成为设备和子系统的造 型 已达到在电力系统中瞬态分析 3 5 和微波系统信号完整性表征的目 的 6 7 VF 也被用于以下领域的 屏蔽分析中 电磁兼容性 EMC 研 究 8 格林函数表示 9 和最优样本计 算 10 VF 本质上是 Sanathanan Koerner 循环 11 的一个强大的再形 成 它运用有理基函数 局部的组分 代替多项式和极搬迁 而不是权重 12 此外 VF 给出了具有保证稳定磁极 的嵌合 可直接应用于多端系统 并 且计算机代码是免费获得的 13 利 用时域响应 14 和频率导数 15 的 VF 新规划已经得到发展 VF 是基于迁移初期磁极到更好 位置的迭代 当使用正确的顺序拟合 一个有理函数的频域响应时 磁极通 常可以被缓慢安置到接近机器精度的 其最终位置上 然而 在实际应用中 它将用较低阶函数来改进响应 进而 证明一些迭代是需要的 当频率响应 包含一个非理性元件 例如 噪声 时 这种情况可能会恶化 并且在某 些情况下 VF 的收敛甚至引起熄火 本文表明收敛性质可以通过 VF 的一 个小变形得到大大改善 VF 的公式 化包括一个定标函数 其在高频 率下接近统一 它表示这个高频渐近 条件 在汇聚处有一个非常不良的影响 这 个问题通过更换一个更宽松的渐近条 件来解决 它仅用来为最小二乘 LS 的问题提供一个不普通的答案 计算结果表明 该修改在汇聚属性上 提供一个重大的改进 二 矢量匹配 我们首先回顾 VF 的原始提法 我们的目标是近似的频率响应 一般地 是向量 因此 指定 VF 配有一个有理函数 并且条件 d 和 e 是可选的 如在 1 2 所 解释的 在 VF 首次通过解决在最小 平方里发现的磁极 线性问题 当 是一个纯量 通常是一个矢 量 是一组初始极点 所有在 3 和 4 中的极点和余数是真实 的 或者当 d 和 e 是真的时变成复杂 的双复共轭 然后 它可以示出 1 的极点必须等于零 其中可 以计算为特征值的矩阵 16 p 612 在 5 中 A 是一个保持初始 极点的对角矩阵 b 是一个列向量 并且是一个保持余数的行向 量 这个过程可以以迭代的方式 用 新的极点替换之前的两极 应用在 2 5 的反复求解上 这 极搬迁过程通常在 2 3 迭代上收敛 极点已经确定后 1 的残基通过求 解对应 LS 极问题为最终计算 图 1 f s 无噪音的有理逼近 三 收敛性问题 VF 极点识别的理由是该解决方 案 2 将产生的点作为零极点 如图 1 中提到的 当是理 性和初始的极数等于数的磁 极时 这将确实成为现实 然而 当含有非理性的贡献 例如 噪声 或者初始极数低于 的顺序 它也不可能完全满足 2 在这种情况下 2 的解决方 案是一个简单的具有最小 LS 的错误 因为被乘以并且 2 的右侧 是一个未知 有理 函数 有一个激 励以产生一个其小的幅度 因为 这允许减少 2 的左 右面的幅度 与此同时 重定位长距离极点可能要 求用一个大的变化幅度 因为 由 3 被强迫在高频率接近统一 的一个大的动态变化通常导致 在某些频率间隔的大的幅度和一 个 LS 错误的增加 我们将以一个简单的例子证明此 问题 考虑一阶有理函数的嵌合 使用初始磁极 10Hz 图 1 表示通过 2 得到的和 正如所预期的 在 100Hz 时 它被作为极点 2 拟合误 差接近机器精度应当指 出 有一个非常大的动态变异 在低频逼近 10000 图 2 表示加入1 的随机噪声 后的相同结果 新的极点 现在 出现在 109 6 赫兹 而不是在 100 千 赫兹 并且的动态变化在大大减 少 在这种情况下 这是不可能由于 噪声得到零拟合误差 2 的 如果 在图 1 中极点已经搬迁到正确的位置 100 kHz 的幅度将在低频时 已接近 10000 相比于图 2 中较小的 将导致 2 中倍率的偏差 增 加噪音水平进一步降低了的动态 变化和极点迁移能力 图 2 f s 的有理逼近 1 的噪音 初始 的 VF 在另一方面 如果我们看一下例 子 其中有一极点在 10 赫兹 我 们使用的初始极点在 100 千赫兹 那么在在低频变 和在高频率接 近统一 时变得非常小的无声 在嘈 杂的情况下 极点在一个重复中迁移 到似近正确的值 因为的动态变 化导致拟合误差 2 的减少 由此 可以得出结论 在高频时近似统 一该渐近要求 即接近统一 代表 LS 的问题 2 的不对称性 从而可 以显著破坏极点迁移过程 四 改进 VF VF 配方 MVF 的修改显示在 以下通过除去 LS 问题的渐近要求 2 时 给出改进的衔接 这是通 过下式替换 3 实现的 是已知值 为了避免多解或无解 我们向所 得的 LS 问题添加一个方程 公式 8 强制执行实部的总 和 在其给定的频率下采样非零值 没有任何固定的自由变量 作为 MVF 收敛 将在所有频率下近似 统一 类似于初 始 VF 的公式化 注意 在运用式 8 不同右侧时 该过程将起作用 所得的比例将导致式 2 中 的相同的比例 由此 它遵循的 标准 8 和防止变为零比起来 在 LS 问题上不强加任何约束 图 3 f s 的有理逼近 1 的噪音 改进 的 VF 等式 8 应当相对于的尺寸 在 LS 的问题上被加权 例如 W 是指定的权重的嵌合 因为在迭代中在高频下不近 似统一 5 必须替换为 16 p 612 10 式的零点计算只适用于非 零数 如果的绝对值被发现为小 于时 解决方案被舍弃 并且 LS 问题用固定值在 7 中再 次求解 我们现在在图 2 图 3 中相同 的问题找到新的公式化 可以看出 所述动态变化在中大得多 并且 接近一个值 该值在高频 时比个体小得多 极点是从 10 Hz 一步步迁移到 70 9kHz 的 目 标 100kHz 相比于仅 109 6Hz 的 原始 VF 图 2 五 实例 频率依赖网络当量 FDNE A 例子 MVF 公式化的优点将通过从 FDNE 识别 图 4 的一个例子展示 的导纳矩阵 Y 计算相对于3 3 50 Hz 至 1 MHz 的馈电母线并且我们 将改进一个对角元素 原始极点 VF 将被选择为复共轭对线性分布在整个 频率范围内 即 50Hz 到 1 MHz 为 了更好地测试极点迁移性质 我们将 代替分发初始磁极 复杂对 中较低 的范围 50Hz 到 500kHz 之间 这需 要 VF 迁移极点很长距离 B 改进响应 图 5 表示当采用 N 50 极和 15 次 迭代时所得到的嵌合初始 VF 可以 看出 约 950kHz 的两个共振峰没有 被捕获 图 6 表示通过使用改性的 VF 所有主要的共振峰被嵌合 图 4 三相配电系统 所有的长度以千 米为单位 图 5 有理逼近 N 50 原 VF 15 次迭 代 图 6 有理逼近 N 50 修改的 VF 15 次迭代 图 7 表示当采用的 VF 和 MVF 时 根均方 rms 误差作为迭代次 数的函数 可以看出 N 50 极时 MVF 对最终的结果给出了一个快得 多的收敛和更高的精度 当 N 100 其改进是小的 在后一种情况下 拟 合误差是小的 因此磁极可以在每次 迭代中较长的步骤被重定位 C 噪声的影响 我们现在在0 10 之间增加实值 随机噪声的响应后重复改进 图 8 表 示了均方根误差的迭代次数的函数 类似于图 7 可以看出 与初始 VF 公式化相比 迭代几乎根本不降低拟 合误差 甚至高达 100 由 MVF 均方根误差迭代到一个水平 接近有 效值减小噪声本身 0 0058 MVF 的逼近与图 9 中 N 50 的初始响应 相比较 比较也取得了当初始极点放置在 高频率 复共轭双 500 kHz 和 1 MHz 之间的线性分布 再次 VF 停滞而 MVF 给了一个收敛甚至比图 8 快 图 7 RMS 误差作为迭代次数的函数 图 8 RMS 误差作为迭代次数的函数 图 9 通过 MVF 有理逼近 N 50 30 次迭代 图 10 架空线 图 11 对 h s 有理逼近 VF 和 MVF 引起偏差 5 次迭代 N 7 六 实例 传输线建模 在这个例子中 我们考虑一个 25 公里单个导体架空线以上有损地面的 传播函数的拟合 图 10 对于图 1 中的配置 如图 10 所 示 串联阻抗计算 并考虑到在导体 和地 并且该并联导纳的趋肤效应 y sC 传播函数而获得 最后 该无损时间延迟 从除去 乘以 11 的所述因子 其中 l 是线的长度 c 是光的速度 一个理性的近似计算采用七阶近 似频率范围为 1Hz 1MHz 的拟合 h 初始磁极分别作为实部和对数间隔在 嵌合范围内 这是用于传输线建模 推荐 的选择 参数 d 和 e 在 1 中被指定为零 图 11 表示幅值 函数 h s 与复杂偏离有理近似的大小 分别在 VF 和 MVF 的 5 次迭代后 可以看出 MVF 给出显著较小偏差 注意对数纵坐标轴 图 12 表示均方根误差的迭代次 数的函数 从中可以看出 MVF 给 出了一个快的多的收敛 尽管最终的 结果 10 次迭代 是 在这种情况下 非常相似 一个小的增加拟合误差迭 代 4 次后观察 MVF 图 12 RMS 误差作为迭代次数的函数 图 13 VF 的改进 N 40 15 次迭代 七 实例 变压器建模 在本例中 我们考虑从测量终端 响应的双绕组变压器建模 的导6 6 纳矩阵 Y 是从 50Hz 到 1 MHz 4 状 态空间模型进行拟合 Y 建立其列 16 当测量低频率时 难以以指定要 使用的 VF 为初始极点 在低频率的 平滑行为提出使用对数间隔极点 而 在高频率下的谐振行为提出使用线性 隔开极 在实践中 人们可以摆脱这 一困难通过使用对数和线性隔开的极 的组合 但是 这是复杂的 幸运的是 随着 MVF 所选择 的初始极点的意义大大降低 图 13 表示使用作为初始极点 Y 的 20 复杂 对 那些 50Hz 和 1MHz 之间对数间 隔时经过 15 次迭代由 VF 获得的第一 列的接头 逆 LS 加权由 4 eq 18 使用以改善其中元件 是小的精确度 然而 仔细看看图 13 揭示了接头的质量是显著较差在高 频率 100 kHz 的比在低频 这是 在低频的高浓度初始磁极的结果 使用 MVF 时重复计算 图 14 中 的放大图 通过这两种方法在高频率 的结果之间直接比较 可以清楚地看 出 相对于 VF MVF 给出更精确的 结果 这是更好的不确定 MVF 的性 质的直接结果的极点 在较低频率时 两种方法准确性相似 图 14 扩展视图 高频率时的 VF 和 MVF 八 讨论 VF 原来的公式化涉及功能 以接近团结在无限频率缩放功能 第 三节结果显示 这一渐近要求降低迁 移初期极点到更好的位置的能力 因 为渐近要求结合所要求的大动态变化 可导致 2 中 LS 拟合误差的增 加 通过较宽松的准则 第四部分 替换渐近要求时 需要在频率样本是 非零的实部的总和 这种情况被大大 改善 这种新的标准可以在避免 细小 空 溶液自由地变化 在 VF 与 MVF 的收敛性的进一步讨论可以 在 17 中找到 结果表明 当偏置到 搬迁两极向低频率时 VF 发生降尺 度现象尤其在改进嘈杂的响应和使用 太低的条件时更是如此 在一般情况 下 其结果是 VF 将产生一个比 MVF 不太精确的最终结果 MVF 的公式化给出了 2 的最 小二乘方程的一个附加行和一个附加 列的解法 但在另外的计算时是可以 忽略不计的 在第五节改进的 VF MVF 应 用在一个放置在较低频带中并添加的 噪声的初始极点的例子 在这种情况 下 VF 的收敛很差而 MVF 的性能仍 然可以接受 有人可能会说 这是一 个人为的例子 但它很好地展示了与 VF 融合的问题 并展现了 MVF 取得 的进步 在第六节中 MVF 是通过某一 特征方法适用于传输线模型 其中的 任务之一是模拟传播功能 这里 当 使用 推荐 的选择初始极点时 MVF 展现出的收敛比 VF 快得多 有 人可能会认为这样的结果是微不足道 的 因为标量函数的低阶拟合 在任 何情况下都很快 然而 某些传输线 模型依赖于式 11 的补偿来优化时 间延迟 这是在 EMTDC 和 EMTP RV 相域下提供输电线路 电缆型号的 例子 也见 18 这样的程序导致大 量的改进过程 从而使 MVF 优势更 快的收敛 在第七节 VF 应用于纵列拟合 测量变压器的响应 参数 在这 种情况下 很难在高频率下 即使经 过 15 次迭代还指定一组良好的初始 极点和 VF 的缓慢收敛速度被得到稍 微不准确的结果 一个显著的更好的 结果是由 MVF 实现的 值得注意的 是 变压器模拟的行为可以对模型参 数 4 的小扰动非常敏感 从而使准确 的改进非常重要 最后 它表示提高 VF 收敛的另 一种方法 它是在 19 引入的一个 艰难的迁移 过程 九 结论 本文提出了 VF 的变形通过用温 和的求和要求更换的缩放功能的 高频渐近约束 这种替换大大提高 VF 迁移极点到更好位置的能力 从 而减少初始极点选择的重要性 当高 度精确的近似值是不可能时 这种改 进是尤其重要的 举例来说 改进响 应是噪声污染 当施加到传输线模型 和宽带变压器的建模时 计算结果还 表明改性 VF 的显著优点 修改的 VF 算法是直接的 并且不增加计算成本 13 中的 MATLAB 可以实现 参考文献 1 B Gustavsen and A Semlyen Rational approximation of frequency domain responses by vector fitting IEEE Trans Power Del vol 14 no 3 pp 1052 1061 Jul 1999 2 A Semlyen and B Gustavsen Vector fitting by pole relocation for the state equation approximation of nonrational transfer matrices Circuits Syst Signal Process vol 19 no 6 pp 549 566 Nov 2000 3 A Morched B Gustavsen and M Tartibi A universal model for accuracte calculation of electromagnetic transients on overhead lines and underground cables IEEE Trans Power Del vol 14 no 3 pp 1032 1038 Jul 1999 4 B Gustavsen Wide band modeling of power transformers IEEE Trans Power Del vol 19 no 1 pp 414 422 Jan 2004 5 A Ramirez J L Naredo and P Moreno Full frequency dependent line model for electromagnetic transient simulation including lumped and distributed sources IEEE Trans Power Del vol 20 no 1 pp 292 299 Jan 2005 6 E P Li E X Liu L W Li and M S Leong A coupled efficient and systematic full wave time domain macromodeling and circuit simulation method for signal integrity analysis of high speed interconnects IEEE Trans Adv Packag vol 27 no 1 pp 213 223 Feb 2004 7 G Antonini SPICE equivalent circuits of frequency domain responses IEEE Trans Electromagn Compat vol 45 no 3 pp 502 512 Aug 2003 8 M S Sarto A new model for the FDTD analysis of the shielding performance of thin composite structures IEEE Trans Electromagn Compat vol 41 no 4 pp 298 306 Nov 1999 9 V I Okhmatovski and A C Cangellaris Evaluation of layered media Green s functions via rational function fitting IEEE Microw Wireless Compon Lett vol 14 no 1 pp 22 24 Jan 2004 10 D Deschrijver and T Dhaene Efficient GA inspired macro modeling of general LTI multi port systems in Proc 8th IEEE Workshop Signal Propagation Interconnects Heidelberg Germany May 9 12 2004 pp 95 98 11 C K Sanathanan and J Koerner Transfer function synthesis as a ratio of two complex polynomials IEEE Trans Autom Control vol AC 8 no 1 pp 56 58 Jan 1963 12 W Hendrickx and T Dhaene A discussion of rational approximation of frequency domain responses by vector fitting IEEE Trans Power Syst vol 21 no 1 pp 441 443 Feb 2006 13 The Vector Fitting web site Online Available http www energy sintef no Produkt VECTFIT index asp 14 S Grivet Talocia Package macromodeling via time domain vector fitting IEEE Microw Wireless Compon Lett vol 13 no 11 pp 472 474 Nov 2003 15 H Chen J Zheng and J Fang Multipoint moment matching based model generation for complex systems in Proc Electrical Performance Electronic Packaging Princeton NJ Oct 2003 pp 299 302 16 B Gustavsen and A Semlyen Simulation of transmission line