1991考研数二真题及解析

19911991 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一 填空题一 填空题 每小题每小题 3 3 分分 满分满分 1515 分分 把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上 1 设 则 ln 1 3 x y dy 2 曲线的上凸区间是 2 x ye 3 2 1 ln x dx x 4 质点以速度米每秒作直线运动 则从时刻秒到秒内质点所经 2 sin tt 1 2 t 2 t 过的路程等于 米 5 1 1 0 1 lim x x x e xe 二 选择题二 选择题 每小题每小题 3 3 分分 满分满分 1515 分分 每小题给出的四个选项中每小题给出的四个选项中 只有一项符合题目要求只有一项符合题目要求 把把 所选项前的字母填在题后的括号内所选项前的字母填在题后的括号内 1 若曲线和在点处相切 其中是常数 则 2 yxaxb 3 21yxy 1 1 a b A B 0 2ab 1 3ab C D 3 1ab 1 1ab 2 设函数记 则 2 01 2 12 xx f x xx 0 02 x F xf t dtx A B 3 2 01 3 1 2 12 33 x x F x x xx 3 2 01 3 7 2 12 62 x x F x x xx C D 3 22 01 3 2 12 32 x x F x xx xx 3 2 01 3 2 12 2 x x F x x xx 3 设函数在内有定义 是函数的极大点 则 f x 0 0 x f x A 必是的驻点 B 必是的极小点 0 x f x 0 x fx C 必是的极小点 D 对一切都有 0 x f x x 0 f xf x 4 曲线 2 2 1 1 x x e y e A 没有渐近线 B 仅有水平渐近线 C 仅有铅直渐近线 D 既有水平渐近线又有铅直渐近线 5 如图 轴上有一线密度为常数 长度为 的细杆 有一质量为的质点到杆右端的距x lm 离为 已知引力系数为 则质点和细杆之间引力的大小为 ak A B 0 2 l km dx ax 2 0 l km dx ax C D 0 2 2 2 l km dx ax 2 2 0 2 l km dx ax 三 三 每小题每小题 5 5 分分 满分满分 2525 分分 1 设 求 cos sin xtt ytt 2 2 d y dx 2 计算 4 1 1 dx xx 3 求 2 0 sin lim 1 x x xx x e 4 求 2 sinxxdx 5 求微分方程满足的特解 x xyyxe 1 1y 四 四 本题满分本题满分 9 9 分分 利用导数证明 当时 有不等式成立 1x ln 1 ln1 xx xx 五 五 本题满分本题满分 9 9 分分 求微分方程的通解 cosyyxx 六 六 本题满分本题满分 9 9 分分 曲线和轴围成一平面图形 求此平面图形绕轴旋转一周所成的旋 1 2 yxx xy O l a mx 转体的体积 七 七 本题满分本题满分 9 9 分分 如图 和分别是曲线和上的点 和均垂直轴 且AD x ye 2x ye ABDCx 求点和的横坐标 使梯形的面积最大 2 1ABDC 1AB BCABCD 八 八 本题满分本题满分 9 9 分分 设函数在内满足 且 f x sinf xf xx 0 f xx x 计算 3 f x dx x y BOC 1 x ye 2x ye D A 19911991 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析 一 填空题一 填空题 每小题每小题 3 3 分分 满分满分 1515 分分 把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上 1 答案 ln3 31 x dx 解析 由复合函数求导法则 即的微分为 有 yf x dyf xfx dx 1ln3 3ln3 1 1 331 x xx dydxdx 2 答案 11 22 解析 求函数的凹凸区间 只需求出 若 则函数图形为上凹 若 yf x y 0y 则函数图形为上凸 由题可知0y 22 2 2 xx yexxe 222 2 1 2 2 2 4 2 xxx yex exex 因为 所以当时 函数图像上凸 即时 2 40 x e 2 1 0 2 x 0y 2 122 222 xx 函数图像上凸 故曲线上凸区间为 11 22 3 答案 1 解析 用极限法求广义积分 22 111 lnln1 limlimln bb bb xx dxdxxd xxx 1 1 ln1 1 lim b b b x dx xx x 分部 1 lnln11ln1 limlim 11 1 b bb bb bxbb 4 答案 1 2 解析 这是定积分的应用 设在时刻的速度为 则在时间内的路程为 所以ttdt 2 sin ttdt 2 sin dsttdt 从时刻秒到秒内质点所经过的路程为 1 2 t 2 t 2 1 2 sin t t sttdt 222 2 2 1 sin sin 2 ttdttdt 2 2 1111 cos coscos 1 0 22222 t 5 答案 1 解析 这是一个型未定式 分子分母同乘以 得 1 x e 11 11 00 11 limlim 1 xx xx xx ee xexe 为简化计算 令 则 原式可化为 1 t x 1 x t 1 1 0 110 1 limlim1 0 1 11 t x t t x x ee e xe t 二 选择题二 选择题 每小题每小题 3 3 分分 满分满分 1515 分分 1 答案 D 解析 两函数在某点处相切 则在该点处的切线的斜率相等 即在该点处的导数相等 对两函数分别对求导 得x 则该曲线在点处的导数为 2yxa 1 1 1 2 x ya 即 则曲线在点处的导数为 32 23yyxy y 3 2 23 y y xy 1 1 3 21 1 1 23 1 1 x y 两导数相等 有 即 21a 1a 又因为曲线过点 所以有 2 yxaxb 1 1 111 1 1abbb b 所以选项 D 正确 2 答案 B 解析 这是分段函数求定积分 当时 所以 01x 2 f xx 233 00 0 11 33 x xx F xf t dtt dttx 当时 所以12x 2f xx 1 2 001 2 xx F xf t dtt dtt dt 1 322 01 11111 2 2 2 32322 x tttxx 2 71 2 62 xx 所以 应选 B 3 2 01 3 7 2 12 62 x x F x x xx 3 答案 B 解析 方法一 方法一 用排除法 由于不可导点也可取极值 如 在处取极大值 但是不是 1f xx 0 1x 0 1x 的驻点 所以 A 不正确 1f xx 注意到极值的局部性 即极值不是最值 所以 D 也不正确 对于 在处取极大值 但并非是的极小 1 f xx 0 1x 0 1x 1 f xx 值点 所以 C 也不成立 故选 B 方法二 方法二 证明 B 是正确的 因为 不妨设 则为极大值 则在的某个 0 0 x 0 0 x 0 f x 0 x 领域内有 00 f xf xx 函数与函数关于原点对称 所以必有 即 yfx yf x 00 fxfxx 在的某个领域内为极小值 故 B 是正确的 0 x 0 fx 4 答案 D 解析 函数的定义域为 所以函数的间断点为 0 x 0 x 所以为铅直渐近线 22 22 000 11 limlimlim 11 xx xx xxx ee y ee 0 x 所以为水平渐近线 22 22 11 limlimlim1 11 xx xx xxx ee y ee 1y 所以选 D 相关知识点 铅直渐近线 如函数在其间断点处有 则 yf x 0 xx 0 lim xx f x 是函数的一条铅直渐近线 0 xx 水平渐近线 当 则为函数的水平渐近线 lim x f xa a 为常数 ya 5 答案 A 解析 如图建立坐标系 则中 长度的细杆的质量为 与质点的距xxdx dxdx 离为 故两点间的引力为 积分得 故选 A ax 2 km dx dF ax 0 2 l km Fdx ax 同理应用微元法可知 若以 的中点为原点 则质点的坐标为 故l 0 2 l a 2 2 2 2 l l km Fdx l ax 若以 的左端点为原点 则质点的坐标为 故 l 0 al 2 0 l km Fdx alx 故 B C D 均不正确 应选 A 三 三 每小题每小题 5 5 分分 满分满分 2525 分分 1 解析 这是个函数的参数方程 sincos cossin dydy dtttt dxdx dtttt 2 2 1sincos1 cossincossin d yddydttt dx dxdt dxdttttttt dt 2 2cossin cossin 2sincos sincos 1 cossin cossin tttttttttttt tttttt 22222 3 2 cossin sincos 3 sin cos3 sin cos cossin ttttttttttt ttt 2 3 2 cossin t ttt 相关知识点 参数方程所确定函数的微分法 如果 则 xt yt dyt dxt 2 解析 用换元法求定积分 令 则 则tx 2 2xtdxtdt 422 2 111 111 22 1 1 1 dx tdtdt ttttxx 2 1 214 2 ln2 lnln 2ln 1323 t t 3 解析 利用等价无穷小和洛必达法则 当时 有 所以0 x sin 1 x xx ex 2 2 23222 00000 2 2sin sinsin1 cos12 2 limlimlimlimlim 1 3336 x xxxxx x x xxxxx x exxxx 洛 4 解析 用分部积分法求不定积分 2 1 cos21 sin cos2 22 x xxdxxdxxxx dx 2 1111 cos2 sin2 2244 xdxxxdxxxdx 2 111 sin2sin2 444 xxxxdx 2 111 sin2cos2 448 xxxxC 5 解析 所给方程是一阶线性方程 其标准形式为 通解为 1 x yye x 11 1 dxdx xx xx yee edxCxe dxC x 111 xxxxx xdeCxee dxCxeeC xxx 代入初始条件得 所以特解为 1 1y 1C 11 x x ye xx 相关知识点 一阶线性非齐次微分方程的通解为 yp x yq x 其中为常数 p x dxp x dx yeq x edxC C 四 四 本题满分本题满分 9 9 分分 解析 首先应简化不等式 从中发现规律 当时 原不等式即 即 1x 1 ln 1 lnxxxx 1 ln 1 ln0 xxxx 证法一 证法一 令 则只需证明在时即可 1 ln 1 lnf xxxxx 1x 0f x 可利用函数的单调性证明 对于有 f x 1 ln 1 1 ln1ln x fxxx x 因 故 即 所以在上是严格递增函数 所以1x 1 1 x x 0fx 1 f x 1 2ln20f xf 故 所以当时 有不等式成立 1 ln 1 ln0 xxxx 1x ln 1 ln1 xx xx 证法二 证法二 当时 原不等式即 不等式左右两端形式一致 故令1x 1 ln 1 lnxxxx 则 所以在时严格单调递增 lnf xxx ln10 1 fxxx lnf xxx 1x 故 即 1 f xf x 1 ln 1 lnxxxx 所以当时 有不等式成立 1x ln 1 ln1 xx xx 五 五 本题满分本题满分 9 9 分分 解析 微分方程对应的齐次方程的特征方程为 cosyyxx 0yy 2 10r 特征根为 故对应齐次通解为 1 2 ri 12 cossinCxCx 方程必有特解为 代入方程可得 yyx 1 Yaxb 1 0ab 方程的右端 为特征根 必有特解cosyyx coscos x exx ii 代入方程可得 2 cossinYx Axx Bx 1 0 2 AB 由叠加原理 原方程必有特解 12 sin 2 x YYYxx 所以原方程的通解为 12 1 cossinsin 2 yCxCxxxx 相关知识点 关于微分方程特解的求法 如果 则二阶常系数非齐次线性微分方程 x m f xP x e 具有形如的特解 其中与同次 yp x yq x yf x kx m yx Qx e m Qx m P x 次 的多项式 而按不是特征方程的根 是特征方程的单根或是特征方程的重根依次mk 取为 或 012 如果 则二阶常系数非齐次线性微分方程 cos sin x ln f xeP xxP xx 的特解可设为 yp x yq x yf x 1 2 cos sin kx mm yx eRxxRxx 其中与是次多项式 而按 或 不是特征 1 m Rx 2 m Rxm max ml n ki i 方程的根 或是特征方程的单根依次取为或 01 六 本题满分本题满分 9 9 分分 解析 利用定积分求旋转体的体积 用微元法 曲线为一抛物线 与轴的交点是x 1 1 x 顶点坐标为 2 2x 31 24 方法一 方法一 考虑对积分 如图中阴影部分绕轴旋转一周 xy 环柱体的体积为 222 2dVxdxyxyx y dxy dx 其中为的高阶无穷小 故可省略 且为负的 2 dx0dx y 故 即 yy 22 1 2 dVxydxx xxdx 把从积分得x12 22 23 11 2 1 2 2 32 Vxx xdxxxx dx 2 342 1 11 22 0 442 xxx 方法二 方法二 考虑对的积分 如图中阴影部分绕轴旋转一周的体积为抛物线两半曲线分别yy 绕轴旋转一周后的体积差 即y 22 21 dVx dyx dy 其中 为与抛物线的交点 且 12 x xYy 21 xx 把代入抛物线方程 解得Yy 1 2 yxx 12 314314 22 yy xx 故旋转体体积为 把的值代入化简 得 0 22 1 21 4 Vxxdy 12 x x 0 3 0 2 1 1 4 4 3232 314 14 43432 Vydyy 七 七 本题满分本题满分 9 9 分分 解析 可以利用函数的极值求解 设 的横坐标分别为 因为 所以 依题设BC 1 x x 1AB 1 0 x 0 x 所以有 两边同时取自然对数 得 2