2012年高考一轮复习 基础知识与典型例题 第十章 排列、组合、概率与统计

用心 爱心 专心1 数学基础知识与典型例题 第十章排列 组合 概率与统计 数学基础知识与典型例题 第十章排列 组合 概率与统计 排 列 与 组 合 1 分类计数原理 完成一件事 有n类办法 在第 1 类办法中有种不同的方法 在 1 m 第 2 类办法中有种不同的方法 在第n类办法中有种不同的方法 那么完 2 m n m 成这件事共有N n1 n2 n3 nM种不同的方法 2 分步计数原理 完成一件事 需要分成n个步骤 做第一步有种不同的方法 做第二 1 m 步有种不同的方法 做第n步有种不同的方法 那么完成这件事共有 2 m n m N n1 n2 n3 nM 种不同的方法 注 分类计数原理和分步计数原理是排列组合的基础和核心 既可用来推导排列数 组 合数公式 也可用来直接解题 它们的共同点都是把一个事件分成若干个分事件来进行 计算 只不过利用分类计算原理时 每一种方法都独立完成事件 如需连续若干步才能 完成的则是分步 利用分类计数原理 重在分 类 类与类之间具有独立性和并列性 利用分步计数原理 重在分步 步与步之间具有相依性和连续性 比较复杂的问题 常常 先分类再分步先分类再分步 3 排列的定义 从n个不同的元素中任取m m n 个元素 按照一定顺序排成一列 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列 排列数的定义 从n个不同元素中取出m m n 个元素排成一列 称为从n个不同元 素中取出m个元素的一个排列 从n个不同元素中取出m个元素的一个排列数 用符 号表示 其中n m 并且m n m n AN 排列数公式 1 1 m n n An nnmmn n mN nm 当m n时 排列称为全排列 排列数为 记为n 且规定 n n A 1 2 1nn O 1 注 1 n nnn 1 1 m n m n nAA 4 组合的定义 从n个不同的元素中任取m m n 个元素并成一组 叫做从n个不同 元素中取出m个元素的一个组合 组合数的定义 从n个不同的元素中取出m m n 个元素的所有组合数 叫做从n个 不同元素中取出m个元素的组合数 用符号表示 m n C 组合数公式 1 1 m m n n m m An nnmn C Amm nm 规定 其中m n N m n 0 1 n C 注 排列是 排成一排 组合是 并成一组 前者有序而后者无序 排 列 与 组 合 组合数的两个性质 从n个不同元素中取出m个元素后就剩下n m个元素 因此从n个 mn m nn CC 不同元素中取出 n m个元素的方法是一一对应的 因此是一样多的 根据组合定义与加法原理得 在确定n 1 个不同元素中取m个 1 1 mmm nnn CCC 元素方法时 对于某一元素 只存在取与不取两种可能 如果取这一元素 则需从剩下 的n个元素中再取m 1 个元素 所以有 C 如果不取这一元素 则需从剩余n个元 1 m n 素中取出m个元素 所以共有 C种 依分类原理有 m n m n m n m n CCC 1 1 5 解排列 组合题的基本策略与方法 排列 组合问题几大解题方法 直接法 排除法 捆绑法 在特定要求的条件下 将几个相关元素当作一个元素来考虑 待整体排好之 后再考虑它们 局部 的排列 它主要用于解决 元素相邻问题 插空法 先把一般元素排列好 然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中 此 法主要解决 元素不相邻问题 占位法 从元素的特殊性上讲 对问题中的特殊元素应优先排列 然后再排其他一般 元素 从位置的特殊性上讲 对问题中的特殊位置应优先考虑 然后再排其他剩余位置 即采用 先特殊后一般 的解题原则 调序法 当某些元素次序一定时 可用此法 解题方法是 先将n个元素进行全排列 有种 个元素的全排列有种 由于要求m个元素次序一定 因此只能 n n A m mn m m A 取其中的某一种排法 可以利用除法起到去调序的作用 即若n个元素排成一列 其中 m个元素次序一定 共有种排列方法 m m n n A A 排列组合常见解题策略 特殊元素优先安排策略 合理分类与准确分步策略 排列 组合混合问题先选后排的策略 处理排列组合综合性问题一般是先选元素 后 排列 正难则反 等价转化策略 相邻问题插空处理策略 不相邻问题插空处理策略 定序问题除法处理策略 分排问题直排处理的策略 小集团 排列问题中先整体后局部的策略 构造模型的策略 6 二项式定理 对于 这个公nN 00110 nnnrn rrnn nnnn abC a bC abC abC a b 式所表示的定理叫做二项式定理 右边的多项式叫做的展开式 nab 注 展开式具有以下特点 项数 共有项 1 n 系数 依次为组合数 210n n r nnnn CCCCC 且每一项的次数是一样的 即为n次 展开式依a的降幂排列 b 的升幂排列展开 二项展开式的通项 的展开式第 r 1 为 n a b 1 0 rn rr rn TC abrn rZ 二项式系数的性质 用心 爱心 专心2 二项展开式中的叫做二项式系数 0 1 2 r n Crn 在二项展开式中与首未两项 等距离 的两项的二项式系数相等 即 011 nnrn r nnnnnn CCCCCC 排 列 与 组 合 二项展开式的中间项二项式系数最大 且当时 二项系数是逐渐增大 当时 二项式系数是逐渐减小的 1 2 n k 当n是偶数时 中间项是第项 它的二项式系数最大 1 2 n 2 n n C 当n是奇数时 中间项为两项 即第项和第项 它们的二项式系数 1 2 n 1 1 2 n 最大 11 22 nn nn CC 系数和 所有二项式系数的和 奇数项二项式系数的和 偶 01 2 nn nnn CCC 数项而是系数的和 024131 2 n nnnnn CCCCC 1 121 mmmmm mmmm nm n CCCCC 如何来求展开式中含的系数呢 其中且 n abc pqr a b c p q rN 把视为二项式 先找出含有的项pqrn nn abcabc r c 另一方面在中含有的项为 故 rn rr n Cabc n r ab q b qn r qqqpq n rn r CabCa b 在中含的项为 其系数为 n abc pqr a b c rqpqr nn r C Ca b c rqpqr nn rnn pr nnrn C CC CC r nrq nrqr q p 二项式定理的应用 解决有关近似计算 整除问题 运用二项展开式定理并且结合放 缩法证明与指数有关的不等式 排 列 与 组 合 例例 1 3 个班分别从 5 个景点中选择 1 处游览 不同的选法种数是 A 5 B 3 C A D C 353 5 3 5 例例 2 5 本不同的课外读物分给 5 位同学 每人一本 则不同的分配方法有 A 20 种 B 60 种 C 120 种 D 100 种 例例 3 6 个人排成一排 甲 乙 丙必须站在一起的排列种数为 A B C D 6 6 A 3 3 3A 33 33 A A 34 34 A A 例例 4 如果集合A x 21 则组成集合A的元素个数有 C x 7 A 1 个 B 3 个 C 6 个 D 7 个 例例 5 如果的展开式中各项系数之和为 128 则展开式中的系数是 32 1 3 n x x 3 1 x A 7 B C 21 D 7 21 例例 6 设 1 x 1 x 1 x a a x a x ax则a 3410 012 2 10 10 3 A C B C C 2C D C 3 11 4 11 3 10 4 10 例例 7 在的展开式中 的系数是 103 1 1 xx 5 x A 297 B 252 C 297 D 207 例例 8 对于小于 55 的自然数 积 55 n 56 n 68 n 69 n 等于 A A B A C A D A n n 55 69 15 69 n 15 55 n 14 69 n 例例 9 若 1 2x 9 a0 a1x a2x2 a8x8 a9x9 则a1 a2 a8的值为 排 列 与 组 合 例例 10 一个同心圆形花坛 分为两部分 中间小圆部分种植草坪和绿色灌木 周围的 圆环分为n n 3 n N 等份 种植红 黄 蓝三色不同的花 要求相邻两部分种植不 同颜色的花 如图 1 圆环分成的 3 等份为a1 a2 a3 有多少不同的种植方法 如图 2 圆环分 成的 4 等份为a1 a2 a3 a4 有多少不同的种植方法 如图 3 圆环分成的n等份为a1 a2 a3 an 有多少不同的种植方法 概 率 1 随机事件及其概率 必然事件 在一定的条件下必然要发生的事件 叫做必然事件 不可能事件 在一定的条件下不可能发生的事件 叫做不可能事件 随机事件 在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件 叫做随机事件 随机事件的概率 一般地 在大量重复进行同一试验时 事件 A 发生的频率总是接近 m n 于某个常数 在它附近摆动 这时就把这个常数叫做事件的概率 记作 A P A 概率从数量上反映了一个事件的可能性的大小 它的取值范围是 必然事件的概 0 1 率是 1 不可能事件的概率是 0 2 等可能事件的概率 基本事件 一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件 等可能事件的概率 如果一次试验由个基本事件组成 而且所有结果出现的可能性都n 相等 那么每一个基本事件的概率都是 如果某个事件包含的结果有个 那么事件 1 n Am 的概率为 A m P A n 3 互斥事件 不可能同时发生的两个事件叫互斥事件 如果事件A B 互斥 那么事件A B 发生 即A B 中有一个发生 的概率 等于事件 A B 分别发生的概率和 即 P A B P A P B 推广 1212 nn P AAAP AP AP A 用心 爱心 专心3 对立事件 两个事件必有一个发生的互斥事件叫对立事件 对立事件的概率和等于 1 1 AP A AP P A 互为对立的两个事件一定互斥 但互斥不一定是对立事件 从集合的角度看 由事件 A 的对立事件所含的结果组成的集合 是全集 I 中由事A 件 A 所含的结果组成的集合的补集 概 率 4 相互独立事件 事件A 或 B 是否发生对事件 B 或A 发生的概率没有影响 这样的两 个事件叫做相互独立事件 注 独立事件是对任意多个事件来讲 而互斥事件是对同一实验来讲的多个事件 且这 多个事件不能同时发生 故这些事件相互之间必然影响 因此互斥事件一定不是独立事 件 两个相互独立事件同时发生的概率 等于每个事件发生的概率的积 即 P A B P A P B 证明 设甲试验共有N1种等可能的不同结果 其中属于A发生的结果有m1种 乙试验 共有N2种等可能的不同结果 其中属于 B 发生的结果有m2种 由于事件A与 B 相互独 立 N1 m1与N2 m2之间是相互没有影响的 那么 甲 乙两试验的结果搭配在一起 总共有N1 N2种不同的搭配 显然这些搭配都是具有等可能性的 另外 考察属于事件 AB 的试验结果 显然 凡属于A的任何一种试验的结果同属于 B 的任何一种乙试验的 结果的搭配 都表示A与 B 同时发生 即属于事件AB 这种结果总共有m1 m2种 因此 得 P AB P AB P A P B 21 21 NN mm 1 1 N m 2 2 N m 注 当两个事件同时发生的概率 P AB 等于这两个事件发生概率之和 这时我们也可 称这两个事件为独立事件 推广 如果事件相互独立 那么 12 n AAA 1212 nn P A AAP AP AP A 独立重复试验 若n次重复试验中 每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的 结果 则称这n次试验是独立的 如果在一次试验中某事件发生的概率为 P 那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次的概率 注 此式为 1 kkn k nn PkC PP 二项式 1 P P n展开式的第 k 1 项 注 一般地 如果事件A与 B 相互独立 那么A 与与 B 与也都相互独立 B AAB 对任何两个事件都有 P ABP AP BP A B 概 例例 11 10 张奖券中只有 3 张有奖 5 个人购买 至少有 1 人中奖的概率是 A B C D 3 10 1 12 1 2 11 12 例例 12 2006 年 6 月 7 日 甲地下雨的概率是 0 15 乙地下雨的概率是 0 12 假定在这天 两地是否下雨相互之间没有影响 那么甲 乙都不下雨的概率是 A 0 102 B 0 132 C 0 748 D 0 982 例例 13 从 1 2 9 这九个数中 随机抽取 3 个不同的数 则这 3 个数的和为偶 数的概率是 A B C D 9 5 9 4 21 11 21 10 例例 14 袋中有红球 黄球 白球各 1 个 每次任取一个 有放回地抽取 3 次 则下列 事件中概率是的是 8 9 率 A 颜色全相同 B 颜色不全相同 C 颜色全不同 D 颜色无红色 例例 15 袋中装有白球和黑球各 3 个 从中任取 2 球 在下列事件中 1 恰有 1 个白球 和恰有 2 个白球 2 至少有 1 个白球和全是白球 3 至少有 1 个白球和至少有 1 个黑 球 4 至少有 1 个白球和全是黑球 是对立事件的为 A 1 B 2 C 3 D 4 例例 16 甲 乙两人独立地解同一问题 甲解决这个问题的概率是p1 乙解决这个问题 的概率是p2 那么恰好有 1 人解决这个问题的概率是了 A B C D 21p p 1 1 1221 pppp 21 1pp 1 1 1 21 pp 例例 17 某班有 50 名学生 其中 15 人选修A课程 另外 35 人选修 B 课程 从班级中任 选两名学生 他们是选修不同课程的学生的概率是 结果用分数表示 概 率 例例 18 某商场开展促销抽奖活动 摇出的中奖号码是 8 2 5 3 7 1 参加抽奖的 每位顾客从 0 9 这 10 个号码中任意抽出六个组成一组 若顾客抽出的六个号码中至少 有 5 个与摇出的号码相同 不计顺序 即可得奖 则中奖的概率是 用数字作 答 例例 19 某射手射击 1 次 击中目标的概率是 0 9 他连续射击 4 次 且各次射击是否击 中目标相互之间没有影响 有下列结论 他第 3 次击中目标的概率是 0 9 他恰好 击中目标 3 次的概率是 0 93 0 1 他至少击中目标 1 次的概率是 1 0 14 其中正确 结论的序号是 写出所有正确结论的序号 例例 20 A 有一只放有x个红球 y个白球 z个黄球的箱子 x y z 0 且 B 有一只放有 3 个红球 2 个白球 1 个黄球的箱子 两人各自从自6 zyx 己的箱子中任取一球比颜色 规定同色时为 A 胜 异色时为 B 胜 1 用x y z表示 B 胜的概率 2 当 A 如何调整箱子中球时 才能使自己获胜的概率最大 随 机 变 量 与 统 计 1 随机试验 试验如果满足下述条件 试验可以在相同的情形下重复进行 试验的所有可能结果是明确可知的 并且不止 一个 每次试验总是恰好出现这些结果中的一个 但在一次试验之前却不能肯定这次 试验会出现哪一个结果 它就被称为一个随机试验 用心 爱心 专心4 如果随机试验的结果可以用一个变量来表示 那么这样的变量叫做随机变量 如果随 机变量可以按一定次序一一列出 这样的随机变量叫做离散型随机变量 注 若随机变量可以取某一区间内的一切值 这样的变量叫做连续型随机变量 2 离散型随机变量 设离散型随机变量 可能取的值为 21i xxx 取每一个值的概率 则表称为随机变量 的概率分布 简 2 1 1 ix ii pxP 称 的分布列 1 x 2 x i x P 1 p 2 p i p 有性质 1 0 1 2 pi 12 1 i ppp 3 称为的数学期望或平均数 均值 1122nn Ex px px p 数学期望又简称期望 数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平 注 随机变量的数学期望 ab EE abaEb 随 机 变 量 与 统 计 4 方差 标准差 当已知随机变量的分布列为时 则称 1 2 kk Pxpk 为的方差 222 1122 nn DxEpxEpxEp 显然 故为的根方差或标准差 随机变量的方差与标准差0D D 都反映了随机变量取值的稳定与波动 集中与离散的程度 越小 稳定性越高 D 波动越小 注 随机变量的方差 a b 均为常数 ab 2 DD aba D 期望与方差的转化 22 DEE 5 二项分布 如果在一次试验中某事件发生的概率是 P 那么在n次独立重复试验中 这个事件恰好发生 k 次的概率是 其中 kkn k n PkC p q 0 1 1kn qp 于是得到随机变量 的概率分布如下 01 k n P n q 111n n C p q kkn k n C p q n p 我们称这样的随机变量服从二项分布 记作 B n p 其中n p 为参数 并记 kkn k n C p qb k n p 注 对二项分布有 B n p 0 n kn k k n Ekp qnp k nk 1 Dnpp 6 几何分布 在独立重复试验中一次随机试验中某事件发生的概率是 该事件第一次发生时所p 做试验的次数是一个取值为正整数的离散型随机变量 表示在第次独立 kk 重复试验时事件第一次发生 于是得到随机变量的概率分布如下 1qp 123 k P pqp 2 q p 1 qp k 则称这样的随机变量服从几何分布 并记 其中 1 gpqp k k1qp 1 2 3 k 注 如果随机变量服从几何分布即 则 Pgp kk 2 1 q ED pp 7 常用的抽样方法有 简单随机抽样 系统抽样 分层抽样三种 类 别共同点不同点联 系适用范围 简单随 机抽样 从总体中逐个抽取 是后两种方法的基 础 总体个数较少 系统 抽样 将总体均分成几部 分 按事先确定的 规则在各部分抽取 在超始部分抽样时 用简单随机抽样 总体个数较多 分层 抽样 抽样过程中 每个个体被 抽取的概率 相等 将总体分成几层 分层进行抽取 各层抽样时采用简 单随机抽样或系统 抽样 总体由差异明 显的几部分组 成 随 机 变 量 与 统 计 8 总体分布的估计 用样本估计总体 是研究统计问题的一个基本思想方法 样本容量越 大 估计越准确 将总体与随机变量沟通后 就可以用概率的知识研究统计问题 当总体中的个体取不同值很少时 其频率分布表由所取的样本的不同值及相应的频 率来表示 其几何表示就是相应的条形图 当总体中的个体取不同值较多时 对其频率分布的研究要用到整理样本数据的知 识 列出分组区间和各区间内取值的频数和频率 其几何表示就是相应的频率分布直方图 累积频率分布是从另一个角度反映了一组数据分布的情况 因此在频率分布表中常 增设一列累积频率 而且常在频率分布直方图下面画出累积频率分布图 频率分布将随着样本容量的增大而更加接近总体分布 当样本容量无限增大且分组 的组距无限缩小时 则频率分布直方图趋近于总体密度曲线时 相应的累积频率分布图也 会趋近于一条光滑曲线 即累积分布曲线 生产过程中的质量控制图 通过生产过程中的质量控制图 了解统计中假设检验的 基本思想 明确正态总体及其概率密度函数的概率 掌握正态曲线的性质及其应用 并了 解 小概率事件 的概念和它在一次试验中不可能发生的思想 9 正态分布 基本不列入基本不列入考试范围 密度曲线与密度函数 对于连续型随 机变量 如图位于x轴上方的曲线叫的 密度曲线 以其作为图像的函数叫做的密度函数 f x 则落在任一区间内的概率等于它与x轴和直线 a b 与直线所围成的曲边梯形的面积 如图阴影部xa xb 分 由于 是必然事件 故密度曲线与x轴所夹部分面积等于 1 用心 爱心 专心5 正态分布与正态曲线 如果随机变量 的概率密度为 为常数 且 2 2 2 1 2 x f xe xR 0 称服从参数为的正态分布 用 表示 2 N 的表达式可简记为 它的密度曲线简称为 f x 2 N 正态曲线 正态分布的期望与方差 若 则的期望与方差分别为 2 N 2 ED 正态曲线的性质 曲线在x轴上方 与x轴不相交 曲线关于直线对称 x 当时曲线处于最高点 当x向左 向右远离时 曲线不断地降低 呈现出 中x 间高 两边低 的钟形曲线 当 时 曲线上升 当 时 曲线下降 并且当曲线向左 向右两边无限延x x 伸时 以x轴为渐近线 向x轴无限的靠近 当一定时 曲线的形状由确定 越大 曲线越 矮胖 表示总体的分布越分 散 越小 曲线越 瘦高 表示总体的分布越集中 标准正态分布 如果随机变量的概率函数为 则称服从标准正态分布 即 有 2 2 1 2 x xex 0 1 N 求出 而 P a b 的计算则是 xPx 1 xx P abba 随 机 变 量 与 统 计 注意 当标准正态分布的的x取 0 时 x 有当的x取大于 0 的数时 0 5x x 有 比如则 0 5x 0 5 0 07930 5 必然小于 0 如图 0 5 正态分布与标准正态分布间的关系 若 则 的分布函数常用表 2 N F x 示 且有 x PxF x 注 一般正态分布 均可化为标准正态总体来进行研究 2 N 0 1 N 若 只需作变换 就可使 有公式 2 N 0 1 N x F x 若 则 2 N P ab ba 3 原则 假设检验是就正态总体而言的 进行假设检验可归结为如下三步 提出统计假设 统 计假设里的变量服从正态分布 确定一次试验中的取值是否落入范围 2 Na 做出判断 如果 接受统计假设 如果 3 3 3 3 a 由于这是小概率事件 就拒绝统计假设 3 3 a 3 原则的应用 若随机变量 服从正态分布则 落在 2 N 内的概率为 99 7 亦即落在之外的概率为 0 3 3 3 3 3 此为小概率事件 如果此事件发生了 就说明此种产品不合格 即不服从正态分布 10 线性回归 基本不列入基本不列入考试范围 回归分析是研究两个或两个以上变量之间相关关系的一种统计方法 严格说来 相关关系分为两种 对两个自变量来说 如果它们都是随机的 称它们 为相关关系 如果其中一个是可以控制的 非随机的 另一个是随机的 称这种关系为 回归关系 由一个非随机的变量来估计或预测另一个随机变量的观测值 所建立的数学模型及 进行的统计分析 称为一元回归分析 如果这个数学模型是线性的则称为一元线性回归 分析 尽管具有相关性的变量间的关系不确定 但可以通过大量试验来找出它们之间的统 计规律性 然后用一个函数关系近似地描述它们 而且这个函数是线性的 则称它为线 性回归函数 实际上在用相关系数判定出变量之间线性相关后 一般能用很多条直线来 近似地表示x与 y 这两个变量间的线性关系 因此存在一条最合适的直线 这条直线 用著名的 最小二乘法 可以求解 课本的阅读材料就是 最小二乘法 的运用 散点图 表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图 随 机 例例 21 对于一组数据 i 1 2 3 n 如果将它们改变为 i x c i 1 2 3 n 其中c 0 则下面结论中正确的是 i x A 平均数与方差均不变 B 平均数变了 而方差保持不变 C 平均数不变 而方差变了 D 平均数与方差均发生了变化 例例 22 已知的分布列为 如表所示 且设 则的期望值是 12 A B C 1 D 3 2 6 1 36 29 例例 23 设随机变量 的概率分布列为 P i 则a的值是 2 1 2 3 3 i ai 17 38 A 27 38 B 17 19 C 27 19 D 例例 24 已知 E 8 D 1 6 则n与p的值分别为 B n p A 10 和 0 8 B 20 和 0 4 C 10 和 0 2 D 100 和 0 8 例例 25 从含有 6 个个体的总体中抽取一个容量为 2 的样本 每次抽取一个个体时任一 用心 爱心 专心6 变 量 与 统 计 个体a被抽到的概率 与 在整个抽样过程中个体a被抽到的概率 为 A 均为 B 均为 C 第一个为 第二个为 D 第一个为 第二个为 3 1 6 1 3 1 6 1 6 1 3 1 例例 26 某高校为了解学生家庭经济收入情况 从来自城镇的 150 名学生和来自农村 的 150 名学生中抽取 100 名学生的样本 某车间主任从 100 件产品中抽取 10 件样本 进行产品质量检验 I 随机抽样法 分层抽样法 上述两问题和两方法配对正确 的是 A 配 I 配 B 配 配 C 配 I 配 I D 配 配 例例 27 某校高中生有 900 人 其中高一年级 300 人 高二年级 200 人 高三年级 400 人 现采取分层抽样法抽取容量为 45 人的样本 那么高一 高二 高三年级抽取的人 数分别为 A 15 5 25 B 15 15 15 C 10 5 30 D 15 10 20 例例 28 一个袋子里装有大小相同的 3 个红球和 2 个黄球 从中同时取出 2 个 则其中 含红球个数的数学期望是 用数字作答 例例 29 右图是一个容量为200 的样本的频率分布直方图 请根据图形中的数据填空 样本数据落在范围的频率为 5 9 样本数据落在范围的频数为 9 13 例例 30 抛掷两个骰子 当至少有一个 2 点或 3