2016年中考数学专题复习：三角板、直尺在中考试题中的应用（部分含解析）

1 三角板、直尺在中考试题中的应用 一、三角板与直尺的叠放 例 1 如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上， 1 30， 2 50，则 3的度数为( ) (A)80 (B)50 (C)30 (D)20 答 D 点评 通过把三角板、直尺结合，利用三角板的特殊角、直尺平行的特性，既考查了构建数学模型的能力，又考查了相关数学知识 二、一副三角板的叠放 例 2 将三副三角板如图 6所示叠放在一起，若 14阴影部分的面积是 _ 答： 492 点评 通过两个三角板的组合，融知识应用的综合性、交汇性、灵活性于一体，这类试题的知识源于生活，思维能力高于教材 三、三角板应用于锐角三角函数问题 例 3 腾飞中学在教学楼前新建了一座“腾飞” 雕塑为了测量雕塑的高度，小明在二楼找到一点 C，利用三角 板测得雕塑顶端 0，底部 5，小 华在五楼找到一点 D，利用三角板测得 0 (如图 3) 若已知 0米，请求出雕塑 (结果精确到 参考数据 3 分析 过点 E 由三角板的特殊角可知： D 90 60 30， 90 30 60， 90 由 10，可知 125 在 5 0 52， 2 5 0 52 3； 在 52 3 所以 52( 3 1) ) 点评 本题利用三角板刻画了传统的仰角、俯角的概念立意新颖，锻 炼了学生利用自己手头工具解决实际问题的能力 四、三角板应用于图形的旋转变换 例 4 如图 4，在 4， 把一角板的直角顶点放在点 点 转三角板，三 角板的两直角边与 、 B (1)求证： (2)连结 究：在旋转三角板的过程 中，周长是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请 说明理由 分析 要证 需证明这两条线段所在的三角形全等， 因此，过点 M 作 点 E， 点 F，由 O 90得四边 形 由于 4， 所以，当 x 2，即点 小值为 4 2 2 点评 本题利用三角板的灵活性，为图形的旋转变换、全等变换增添了新鲜血液，使得数学题 3 型更加富有活力，更有利于学生思维的发展 五、三角板应用于反比例函数问题 例 5 在直角三角板中， 2若将此三角板的一条直角边 C与 点 刚好在反比例函数 y 6x(x0)的图象上时，设 1、 图 5(1)、 (2)所示 )过计算比较 分析 如图 5(1)，根据含 30的直角三角形的性质，可知 点评 本题是反比例函数、锐角三角函数的综合题，利用三角板的可移动性，根据反比例函数的性质，结合图形计算了四边形的面积 六、三角板应用于代数几何综合题 例 6 在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板放在第一象限，斜靠在两坐标轴上，且点 A(O， 2)，点 C(1， 0)，如图 6所示，抛物线 y 2经过点 B (1)求点 (2)求抛物线的解析式； (3)在抛物线上是否还存在点 P(点 ，使 存在，求所有点 不存在，请说明理由 4 分析 (1)首先过点 B 作 x 轴，垂足为 D，易证 以 1， 2，从而点 3， 1) (2)利用待定系数法即可求得二次函数的解析式为 y 1212x 2 (3)假设存在点 P，使得 如图 6(1)，若以 直角顶点，则延长 1， 使得 到等腰 经检验 y 1212x 2上 如图 6(2)，若以 过点 使得 到等腰 过点 2N 理可得 2， 1) 经检验 2， 1)也在抛物线 y 1212x 2上 如图 6(3)，若以 过点 A，且使得 到等腰 过点 3H 理可得 ， 3) 经检验 ， 3)不在抛物线 y 1212x 2上 故符合条件的点有两点： 1， 1)， 2， 1) 点评 此题是中考压轴题，考查了全等三角形的判定与性质，待定系数法求二次函数的解析式，等腰直角三角形的性质等知识解题的关键是要注意数形结合思想、方程思 想与分类讨论思想的应用 七、直尺应用于代数几何综合题 例 7 在平面直角坐标系中，抛物线过原点 O，且与 x 轴交于另一点 A，其顶点为 B，孔明同学用一把宽为 3 量得 3 把直尺的左边与抛物线对称轴重合，使得直尺左下端点与抛物线的顶点重合 (如图 7(1)，测得抛物线与直尺右边的交点 请完成下列问题： (1)写出抛物线的对称轴； (2)求抛物线的解析式； (3)将图中的直尺 (足够长 )沿水平方 向向右平移到点 A 的右边 (如图 7(2)，直尺的两边交 x 轴于点 H、 G，交抛物线于点 E、 F求证： 16（ 9） 5 分析 (1)由于 O、 3此可求得抛物线的对称轴为 x32 (2)根据点 O、 将抛物线解析式设为 y ax(x 3)，在 (1)题求得了抛物线的对称轴，即可得到 B、 别代入抛物线的解析式中，表示出 它们的纵坐标，从而 B(32， 94a)、C(92， 274a) 根据 C、 而确定抛物线的解析式为： 21322y x x (3)可设出 m，进而根据直尺的宽度得到 n，根据 (2)题所得抛物线，即可表示出两点 的纵坐标，所以 E（ m， 1