2016年中考数学专题复习：树状图（含解析）

1 例谈画树状图 一、显性放回 例 1 现有形状、大小和颜色完全一样的三张卡片，上面分别标有数字“ 1”、“ 2”、“ 3”第一次从这三张卡片中随机抽取一张，记下数字后放回；第二次再从这三张卡片中随机 抽取一张并记下数字请用画树状图的方法表示出上述试验所有可能的结果，并求第二 次抽取的数字大于第一次抽取的数字的概率 分析 从题中文字“记下数字后放回”知本题属于“显性放回”本题中的事件是摸 两次卡片，看卡片的数字，由此可以确定事件包括两个环节摸第一张卡片，放回去，再摸第二张卡 片，所以树状图应该画两层第一张卡片的数字可能是 1， 2， 3 等 3 个中的一个，所以第一层应画 3 个分叉；再看第二层，由于放回，第二个乒乓球的数字可能是 3 个中的一个，所以第二层应接在第一层的 3个分叉上，每个小分支上，再有 3个分叉画出树状图，这样共得到 39种情况，从中找出第二次抽取的数字大于第一次抽取的数字的情况，再求出概率 解 根据题意画树状图如图 1 所有可能的结果为： (1， 1)， (1， 2)， (1， 3)， (2， 1)， (2， 2)， (2， 3)， (3， 1)， (3， 2)， (3， 3) 有 9种等可能的结果，第二次抽取的数字大于第一次抽取的数字的只有 3种， P(第二次抽取的数字大于第一次抽取的数字 ) 13 二、显性不放回 例 2 一个不透明的布袋里装有 4个大小、质地都相同的乒乓球，球面上分别标有数字 1， 2，3， 4小明先从布袋中随机摸出一个球 (不放回去 )，再从剩下的 3个球中随机摸出第二个乒乓球 (1)共有 _种可能的结果； (2)请用画树状图的方法求两次摸出的乒乓球的数字 之积为偶数的概率 分析 从文字条件“不放回去”知，本题属于“显性不放回”本题中的事件是摸两个乒乓球，看乒乓球的数字，由此可以确定事件包括两个环节，所以树状图应该画两层第一个乒乓球的数字可能是 1， 2， 3， 4等 4个中的一个，所以第一层应画 4个分叉；由于不放回，第二个乒乓球的数字可能是剩下的 3 个中的一个，所以第二层应接在第一层的 4 个分叉上，每个小分支上，再有 3个分叉，画出树状图 解 根据题意画树状图如图 2 (1)由图 2可知，共有 12种可能结果，分别为： (1， 2)， (1， 3) (1， 4)， ( 2， 1)， ( 2， 3)， ( 2 4)， (3， 1)， (3， 2)， (3， 4)，( 4， 1)， ( 4， 2)， ( 4， 3) 故答案为 12 2 (2)在 (1)中的 12种可能结果中，两个数字之积为偶数的只有 10种， P(积为偶数 ) 56 三、隐形放回 例 3 小明骑自行车从家去学校，途经装有红、绿灯的三个路口，假没他在每个路口遇到红灯和绿灯的概率均为 12，则小明经过这三个路口时，恰有一次遇到红 灯的慨率是多少？请用画树状图的方法加以说明 分析 通过反复分析知本题属于“隐形放回”问题，比较容易出错其实问题相当于一个口袋里有红球和绿球各 1 个，放回地随机取三次本题中的事件是小明骑自行车从家去学校，途经装有红、绿灯的三个路口，由此可以确定事件包括三个环节，所以树状图应该画三层由于每一个路口可能是红灯，绿灯等 2个中的一个，所以每一层的分叉的小分支上都有两个小分叉 解 根据题意画树状图如图 3 经过三个路口共有 8种情况，其中恰有一次遇到红灯的有 3种， P(恰有一次遇到红灯 ) 38 四、隐形不放回 1、随机取明确分类 例 4 小明有 3 支水笔，分别为红色、蓝色、黑色；有 2 块橡皮，分别为白色、灰色小明从中任意取出 1 支水笔和 1 块橡皮配套使用，试用树状图或表格列出所有可能的结果，并求取出红色水笔和白色橡皮配套的概率 分析 从文字中稍加分析知，本题属于“隐性不放回”，而且选取时有指明对象，是水笔和橡皮本题中的事件是小明有 3 支水笔为红色、蓝色、黑色；有 2 块橡皮为白色、 灰色，取出 1 支水笔和 1块橡皮配套使用由此可以确定事件包括两个环节，所以树状图应该画两层至于水笔和橡皮哪个先取，可以随便，不影响结果，关键是各层的分叉要画对 解法 根据题意画树状图如图 4 所有可能结果为： (红，白 )， (红，灰 )， (蓝，白 )， (蓝灰 )， (黑，白 )， (黑，灰 ) 3 有 6种等可能的结果，而红色水笔和白色橡皮配套的只有 1种， P(红色水笔和白色橡皮配套 ) 16 2、随机取，不明确分类 例 5 有两个不同 形状的计算器 (分别记为 A， B)和与之匹配的保护盖 (分别记为 a， 6)(如图 5所示 )散乱地放在桌子上，若从计算器和保护盖中随机取两个，用树形图法或列表法，求恰好匹配的概率 分析 从文字中理解本题属于“隐性不放回”，而且随机选取没有指明对象是计算器还是保护盖，比较容易出错，本题中的事件是从计算器和保护盖中随机取两个，看恰好匹配由此可以确定事件包括两个环节，取第一个，不放回去，然后再取第二个，所以树状图应该画两层取第一个可能是A， B， a， 个中的一个，所以第一层应画 4个分叉；再看第二层，由于 不放回，取第二个可能是剩下的 3 个中的一个，所以第二层应接在第一层的 4 个分叉上，每个小分支上，再有 3 个分叉，画出树状图 解 根据题意画树状图如图 5 从计算器和保护盖中随机取两个，共有