2012高三数学上册 14.3《空间直线和平面的位置关系》教案（2） 沪教版

1 14 314 314 314 3 2 2 2 2 空间直线和平面的位置关系 空间直线和平面的位置关系 空间直线和平面的位置关系 空间直线和平面的位置关系 一 教学内容分析一 教学内容分析 空间的角 是对由点 直线 平面所组成的空间图形中各种元素间的位置关系进行定量 分析的一个重要概念 由它们的定义 可得其取值范围 前面我们已研究了两异面直线所成 的角 本节研究直线与平面所成的角 课本通过一个标枪的实例说明了直线与平面所成的角有它的实际背景 接着借助图 14 22 引出了一系列概念 对于空间角的计算 总是通过一定的手段将其转化为一个平面内的角 并把它置于一个 平面图形 而且是一个三角形的内角来解决 而这种转化就是利用直线与平面的平行与垂直 来实现的 因此求这些角的过程也是直线 平面的平行与垂直的重要应用 通过空间角的计 算和应用进一步培养运算能力 逻辑推理能力及空间想象能力 求直线和平面所成的角的方法是 射影转化法 具体步骤如下 找过斜线上一点与平面垂直的直线 连结垂足和斜足 得 出斜线在平面的射影 确定出所求的角 把该角置于三角形中计算 注 注 斜线和平面所成的角 是它和平面内任何一条直线所成的一切角中的最小角 即 若 为线面角 为斜线与平面内任何一条直线所成的角 则有 二 教学目标设计二 教学目标设计 理解并掌握斜线在平面内的射影 直线和平面所成角的概念 根据概念先找直线射影后 确定线面夹角从而熟练求解直线和平面所成角 培养化归能力 分析能力 观察思考能力和 空间想象能力等 培养立体感 数学美感 提高学生学习数学特别是立体几何的兴趣 三 教学重点及难点三 教学重点及难点 斜线在平面内的射影 直线和平面所成角的概念 求直线与平面 所成角的基本方法 难点是确定直线在平面上的射影 四 教学用具准备四 教学用具准备 投影仪 ppt 演示 五 教学流程设计五 教学流程设计 2 六 教学过程设计六 教学过程设计 一 一 情景引入情景引入 运动员起跑时 腿部与地面给你怎样一种形象 运动员投出的标枪落地以后 标枪一定会垂 直地面吗 大都是怎样的状态 说明说明 运动员投出的标枪落地以后 大多是插在地面上的 它们的状态有时 偏陡 些 有时 偏平 些 如何描述标枪落地时 偏陡 或 偏平 的程度呢 这就涉及到标枪所在 的直线与地面所成角的大小了 这节课我们要研究直线与平面所成的角 二 学习新课二 学习新课 问题问题 1 1 1 前面我们学习了直线与平面垂直 这其实是直线和平面相交的一种特殊情 况 我们对它的研究 是将其转化为考察直线和平面内直线的位置关系来进行的 它体现了 什么数学思想方法 2 类比上述数学思想方法 我们该如何刻画一条直线与一个平面所成的角呢 说明说明 引导学生回顾直线与平面垂直的位置关系研究中体现的 平面化 降维 的数学思想方法 通过对已学知识与思想方法的回忆 寻找新知识的 生长点 同时 渗透类比的数学思想方法 定义 定义 引入探究巩固 应用总结作业 3 1 1 平面的斜线 平面的斜线 当直线当直线与平面与平面相交且不垂直时 叫做直线相交且不垂直时 叫做直线与平面与平面斜交 斜交 叫做平面叫做平面的斜的斜l l l 线线 斜线斜线与平面与平面的交点的交点叫做斜足 斜线上一点与斜足间的线段叫做这个点到平叫做斜足 斜线上一点与斜足间的线段叫做这个点到平l M 面的斜线段 如图面的斜线段 如图 1414 2222 2 2 射影 射影 如图如图 1414 2222 设直线 设直线与平面与平面斜交于点斜交于点 过 过上任意点上任意点 作平面 作平面的垂的垂l MlA 线 垂足为线 垂足为 我们把点 我们把点叫做点叫做点在平面在平面上的射影 直线上的射影 直线叫做直线叫做直线 在平在平OOA OMl 面面上的射影 上的射影 3 3 直线和平面所成角 直线和平面所成角 规定直线规定直线 与其平面与其平面上的射影上的射影所成的锐角叫做直线所成的锐角叫做直线与平面与平面所成的角 所成的角 l OMl 我们规定 当直线我们规定 当直线 与平面与平面垂直时 它们所成的角等于垂直时 它们所成的角等于 l 90 若直线若直线 与平面与平面平行或直线平行或直线 在平面在平面上时 它们所成的角为上时 它们所成的角为 l l 0 说明说明 教师边画出课本图形 14 22 边讲解 点 O 点 A 在平面上的射影 AO 点 A 到平面的垂线段 直线 AM 平面的一条斜线 M 斜足 线段 AM 斜线段 直线 OM 斜线 AM 在平面上的射影 A MO 图 14 22 4 线段 OM 斜线段 AM 在平面上的射影 问题问题 2 2 1 直线 与平面所成的角的大小与点在 上的取法有关吗 l Al 2 直线和平面所成角的范围是多少 3 3 证明 与平面内经过点的直线所成的所有角中 最小 PQ Q 1 PQP 说明说明 直线 与平面所成的角的大小与点在 上的取法无关 直线和平面所成角的范l Al 围是 斜线和平面所成角的范围是 0 2 0 2 2 2 例题分析 例题分析 例例 1 1 已知正方体中的棱长为 1111 ABCDABC D a 1 求直线和平面所成的角 1 AB 1111 ABC D 2 求直线和平面所成的角 1 DB 1111 ABC D 3 求直线和平面所成的角 1 AB 11 ABCD 解 1 2 3 0 45 3 3 arcsin 0 30 说明说明 通过本例熟练掌握正方体的棱与面 对角线与面的关系 掌握求平面的斜线与平面 所成角的其本步骤 一找二证三求 三步都必须要清楚地写出来 例例 2 2 如图 BOC 在 内 OA 是 的斜线 AOB AOC 60 OA OB OC a 求 OA 和平面 所成角的大小 O A C B 5 分析 此题关键是确定在内的射影 A 在本例中 可直接作于 进而证明 从而确认AHBC HAH 平面 是在内的射影 HA 也可过作于 进而证明在上 AAH 平面HHBC 可求得 OA 和平面 所成角的大小为 0 45 说明说明 正确确定点在平面上的射影的位置 是求直线与平面所成角的关键 只有确定了 射影的位置 才能将空间问题顺利地转化为平面的问题 确定点在平面上的射影位置有以下几种方法 1 斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上 2 利用已知的垂直关系得出线面垂直 确定射影 例例 3 3 在例 1 的正方体中 若分别是的 1111 ABCDABC D M N 11 AD CD 中点 求和平面所成的角 1 BDDMN 分析 在本例中仍可 一找二证三求 来求和平面所成的角 但是 1 BDDMN 1 BD 正方体的体对角线 而平面是正方体的面对角线所在的面 因此可以通过证明DMN 来说明和平面所成的角为 1 BDDMN 1 BDDMN 0 90 说明说明 直线和平面所成的角 包括直线和平面垂直 直线和平面平行或在平面内 即 角和角情况 所以求直线和平面所成角时 可先看是否是以上两种特例 0 90 0 0 3 3 问题拓展 问题拓展 例例 4 4 如图 已知在平面内 BAC P PABPAC 求证 点在平面上的射影在的平分线上 P BAC 证明 作 垂足分别为 连结PO PEAB PFAC O E F 6 OE OF OA PEAB PFAC PAEPAFRt PAERt PAFAEAF PAPA PO ABPO AB 又 平面 同理 ABPE AB PEOABOE ACOF 在和 Rt AOE Rt AOF AEAF OAOA Rt AOE Rt AOF EAOFAO 即点在平面上的射影在的平分线上 P BAC 说明说明 本题给出了一个很重要的结论 平面的一条斜线 如果和这个平面内斜线为顶点的 角的两边成等角 那么这条斜线在这个平面上的射影是这个角的平分线所在的直线 这个结 论在解答一些问题时常常用到 如前面的例 2 三 巩固练习三 巩固练习 练习 1 如图 已知六边形 ABCDEF 是边长为 a 的正六边形 PA 垂直于六边形 ABCDEF 所在 的平面 M 并且 PA a 求点 P 与正六边形各顶点连线和平面 M 所成的角 A P BE F C O P FE D C B A 7 2 课本页练习 15 P 说明说明 通过练通过练习进一步掌握求直线和平面所成角的基本步骤 掌握直线与平面所成角的 有关概念 四 课堂小结四 课堂小结 求直线与平面所成角解题的一般步骤是 1 找出这个角 2 证明该角符合题意 3 作出这个角所在的三角形 解三角形 求出角 求角度问题不论哪种情况都归结到两条直线所成角的问题 即在线线成角中找到答 案 五 作业布置五 作业布置 1 如图 在正方体ABCD A1B1C1D1中 求A1B和平面A1B1CD所成的角 2 A 是 BCD 所在平面外的点 BAC CAD DAB 60 AB 3 AC AD 2 1 求证 AB CD 2 求 AB 与平面 BCD 所成角的余弦值 说明说明 通过作业进一步掌握求直线和平面所成角的基本步骤 掌握确定点在平面上的射影的 方法 六 教学设计说明六 教学设计说明 直线与平面所成的角 是对由点 直线 平面所组成的空间图形中各种元素间的位置关 系进行定量分析的一个重要概念 8 研究时要分清 斜线 垂线 直线 因此涉及的概念较多 为了便于学生理解记忆 要 注意边讲边画图 并在图上注出有关概念的名称 为了更好的理解直线与平面所成的角的概念 引导学生回顾直线与平面垂直的位置关系 研究中体现的 平面化 降维 的数学思想方法 通过对已学知识与思想方法的回忆 寻找 新知识的 生长点 同时渗透类比的数学思想方法 接着通过例 1 掌握求直线和平面所成的角的常用方法 射影转化法 具体步骤如下 找过斜线上一点与平面垂直的直线 连结垂足和斜足 得 出斜线在平面的射影 确定出所求的角 把该角置于三角形中计算 通过例 2 了解正确确定点在平面上的射影的位置 是求直线与平面所成角的关键 只有确定了射影的位置 才能将空间问题顺利地转化为平面的问题 而确定点在平面上 的射影位置有以下几种方法 1 斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上 2 利用已知的垂直关系得出线面垂直 确定射影 通过例 3 对直线与平面所成的角的范围更准确 全面的理解 通过例 4 了解一个很重要的结论 平面的一条斜线 如果