河南省濮阳市2012-2013学年高二数学下学期期末考试试题 理（含解析）新人教A版

1 河南省濮阳市河南省濮阳市 2012 20132012 2013 年下学期高二期末考试年下学期高二期末考试 数学 理 试题数学 理 试题 考试时间 120 分钟 满分 150 分 第 卷 选择题 共 60 分 一 选择题 本题共一 选择题 本题共 1212 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 6060 分 在每小题给出的四个选项中 只分 在每小题给出的四个选项中 只 有一项正确 有一项正确 1 1 若复数 z 满足 zi 1 i 则 z 等于 A 1 i B 1 i C 1 i D 1 i 2 以下三个命题 a b 是 a2 b2 的充分条件 a b 是 a2 b2 的 必要条件 a b 是 a c b c 的充要条件 其中真命题有 A 0 B 1 C 2 D 3 3 阅读下边的程序框图 运行相应的程序 若输入 x 的值为 4 则输出 y 的值 为 A 0 5 B 1 C 2 D 4 4 若函数 x 2 在 x a 处取最小值 则 a 为 2 1 x xxf A B 1 C 3 D 4 21 3 5 小王通过英语听力测试的概率是 他连续测试 3 次 那么其中恰有 1 次获得通过的概 3 1 率是 B C D 9 4 A 9 2 27 4 27 2 2 6 抛物线 y x2 在 A 1 1 处的切线与 y 轴及该抛物线所围成的图形面积为 A B C 1 D 2 3 1 2 1 7 若 的展开式中第四项为常数项 则 n n x 2 1 x 3 A 4 B 5 C 6 D 7 8 设双曲线 1 a 0 b 0 的虚轴长为 2 焦距为 2 则双曲线的渐近线方 2 2 2 2 b y a x 3 程为 A B y C y D y x2y x2 x 2 2 x 2 1 9 已知 F 是抛物线 y2 x 的焦点 A B 是该抛物线上的两点 AF BF 3 则线段 AB 的 中点到 y 轴的距离为 A B 1 C D 4 3 4 5 4 7 3 10 设是公差不为 0 的等差数列 a 2 a a a 成等比数列 则的前 n 项和 an 1136 an S n A B C D 4 7 4 2 nn 3 5 3 n 2 n 4 3 2 2 nn nn 2 11 下列四个命题中 设回归直线方程为 2 2 5x 当变量 x 增加一个edx x 1 0 e y 单位时 y 大约减少 2 5 个单位 已知服从正态分布 N 0 且 P 2 0 4 2 0 则 P 2 0 1 对于命题 P 0 则p 0 成立 则实数 x 的取值范围为 1 1 2 14 已知实数 x y 满足不等式组 则 z 2x y 的最大值是 1 033 032x y yx y 5 15 计划在 4 个不同的体育馆举办排球 篮球 足球 3 个项目的比赛 每个项目的比赛只 能安排在一个体育馆进行 则在同一个场馆比赛的项目不超过 2 项的安排方案共有 解 每个比赛项目的场馆选择都有 4 种 于是总的方案共有 4 4 4 64 在每一个场馆比 赛的项目超过两项即三项的安排方案有 1 种 共有 4 种 于是在同一个场馆比赛的项目不 超过两项的安排方案共有 64 4 60 故答案为 60 16 观察下列等式 可以推测 n321 3333 三 解答题 本题共三 解答题 本题共 6 6 小题 共小题 共 7070 分 解答题应写出文字说明证明过程或演算步骤 分 解答题应写出文字说明证明过程或演算步骤 17 本题满分 10 分 设 ABC 的内角 A B C 所对的边长分别为 a b c 且 cosB b 2 5 4 当 A 30 时 求 a 的值 当 ABC 的面积为 3 时 求 a c 的值 解 1 因为 cos B 所以 sin B 由正弦定理 可得 4 5 3 5 a sin A b sin B a sin 30 10 3 所以a 4 分 5 3 2 因为 ABC的面积S ac sin B sin B 所以ac 3 ac 10 1 2 3 5 3 10 6 由余弦定理得b2 a2 c2 2accos B 得 4 a2 c2 ac a2 c2 16 即a2 c2 20 8 5 所以 a c 2 2ac 20 a c 2 40 所以a c 2 10 分 10 18 本题满分 12 分 已知等差数列 a 满足 a 0 a a 10 n268 I 求数列 a 的通项公式 n II 求数列 的前 n 项和 1 2 n n a 解 1 设等差数列 an 的公差为d 由已知条件可得Error 解得Error 故数列 an 的通项公式为an 2 n 4 分 2 设数列的前n项和为Sn an 2n 1 an 2n 1 2 n 2n 1 1 2n 2 n 2n 1 Sn 2 1 1 2 1 22 1 2n 2 1 2 2 3 22 n 2n 1 记Tn 1 2 2 3 22 n 2n 1 则Tn 1 2 1 2 2 22 3 23 n 2n 得 Tn 1 8 分 1 2 1 2 1 22 1 2n 1 n 2n Tn 即Tn 4 1 2 1 1 2n 1 1 2 n 2n 1 1 2n n 2n 1 Sn 4 4 4 1 2 1 1 2 n 1 1 2 1 1 2n n 2n 1 1 1 2n 1 1 2n n 2n 1 n 2n 1 2 分 说明 直接利用错位相减求对也可以 1 2 n n n S 19 本题满分 12 分 如图 四棱锥 P ABCD 中 底面 ABCD 为平行四边形 DAB 60 AB 2AD PD 底面 ABCD 证明 PA BD 若 PD AD 求二面角 A PB C 的余弦值 7 1 证明 因为 DAB 60 AB 2AD 由余弦定理得BD AD 3 从而BD2 AD2 AB2 故BD AD 又PD 底面ABCD 可得BD PD 又AD PD D 所以BD 平面PAD 故PA BD 4 分 2 解 如图 以D为坐标原点 AD的长为单位长 射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D xyz 则 A 1 0 0 B 0 0 C 1 0 P 0 0 1 33 1 0 0 1 1 0 0 6 分 AB 3 PB 3 BC 设平面PAB的法向量为n n x y z 则Error 即Error 因此可取n n 1 8 分 33 设平面PBC的法向量为m m 则Error 可取m m 0 1 10 分 3 则 cos m m n n 故二面角A PB C的余弦值为 4 27 27 7 27 7 12 分 20 本题满分 12 分 某饮料公司招聘了一名员工 现对其进行一项测试 以便确定工资级别 公司准备了 两种不同的饮料共 8 杯 其颜色完全相同 并且其中 4 杯为 A 饮料 另外 4 杯为 B 饮料 公司要求此员工一一品尝后 从 8 杯饮料中选出 4 杯 A 饮料 若 4 杯都选对 则月工资定 位 3500 元 若 4 杯选对 3 杯 则月工资定为 2800 元 否则月工资定为 2100 元 今 X 表示 此人选对 A 饮料的杯数 假设此人对 A 和 B 两种饮料没有鉴别能力 1 求 X 的分布列 2 求此员工月工资的期望 解 1 X的所有可能取值为 0 1 2 3 4 P X i i 0 1 2 3 4 Ci4C4 i4 C4 8 则X的分布列为 6 分 2 令Y表示此员工的月工资 则Y的所有可能取值为 2 100 2 800 3 500 则 P Y 3 500 P X 4 1 70 P Y 2 800 P X 3 8 35 X01234 P 1 70 8 35 18 35 8 35 1 70 8 X Y O D B A P Y 2 100 P X 2 53 70 E Y 3 500 2 800 2 100 2 280 1 70 16 70 53 70 所以此员工月工资的期望为 2 280 元 12 分 21 本题满分 12 分 已知点 A 1 是离心率为的椭圆 C 1 a b 0 上的一点 斜率为2 2 2 2 2 2 2 x a y b 的直线 BD 交椭圆 C 于 B D 两点 且 A B D 三点不重合 2 求椭圆 C 的方程 ABD 的面积是否存在最大值 若存在 求出这个最大值 若不存在 请说明理由 求证 直线 AB AD 的斜率之和为定值 解 1 a c e 2 2 1 21 22 ab 222 cba 2 a2 b2 c 4 分 1 42 22 yx 2 设直线 BD 的方程为mxy 2 42 2 22 yx mxy 04224 22 mmxx 0648 2 m2222 m 2 2 21 mxx 4 4 2 21 m xx 2 2 21 2 8 2 6 4 864 3 4 3 2 1m m xxBD 设为点到直线 BD 的距离 dAmxy 2 3 m d 当且仅当时取等号 2 8 4 2 2 1 22 mmdBDS ABD 2 m 因为 所以当时 的面积最大 2 22 22 2 mABD 最大值为 8 分2 3 设 直线 的斜率分别为 则 11 yxD 22 yxBABAD AB k AD k ABAD kk 1 22 1 22 1 2 1 2 2 2 1 1 2 2 1 1 x mx x mx x y x y 9 1 2 22 2121 21 xxxx xx m 将 中 式代入 式整理得 0 1 2 22 2121 21 xxxx xx m 即0 ABAD kk 12 分 22 本题满分 12 分 已知函数xxaaxxln 2 f 2 1 当 a 1 时 求函数 f x 的单调区间 2 当 a 0 时 若 f x 在区间 1 e 上的最小值为 2 求 a 的取值范围 3 若对于任意 x x x x 且恒成立 求 a 12 0 122211 2 2 fxxfxx 的取值范围 解 1 当时 定义域为1 a ln3 2 xxxxf 0 2 分 x xx x xxf 1121 32 令得 令得 0 xf1 2 1 0 xx或 0 xf1 2 1 x 所以 4 分 1 2 1 1 2 1 0 减区间为和的增区间为xfy 2 函数的定义域是 5 分xxaaxxfln 2 2 0 当时 0 a 0 1 2 21 2 2 2 x x xaax x aaxxf 令 即 0 xf0 1 12 1 2 2 2 x axx x xaax xf 所以或 6 分 2 1 x a x 1 当 即时 在 1 e 上单调递增 所以在 1 e 上的1 1 0 a 1 a xf xf 最小值是 符合题意 2 1 f 当时 即时 在 1 e 上的最小值是 e a 1 11 1 a e xf2 1 1 f a f 不合题意 当时 即时 在 1 e 上单调递减 所以在 1 e e a 1 e a 1 0 xf xf 10 上的最小值是 不合题意 2 1 fef