4正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式

4 4 正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式 一 教学思路 创设情境 揭示课题 我们学习角的概念的推广和弧度制 就是为了学习三角函数 请同学们回忆 1 角的 概念的推广及弧度制 象限角等概念 2 初中所学的正弦函数和余弦函数是如何定义的 并想一想它有哪些性质 学生思考回答以后 教师小结 板书课题 探究新知 1 正弦函数 在初中 我们学习了锐角 的正弦函数值 sin 如图 sinA 由于 斜边 对边 c a a 是直角边 c 是斜边 所 sinA 0 1 由于我们通常都是将角放到平面直角坐标 系中 我们来看看会发生什么 在直角坐标系中 图见课本 设角 0 的终边与半经为 r 的圆交于点 P 2 a b 则角 的正弦值是 sin 根据相似三角形的知识可知 对于确定的角 都不会随圆的半经的改变而 r b r b 改变 为简单起见 令 r 1 即为单位圆 那么 sin b 也就是说 若角 的终边与 单位圆相交于 P 则点 P 的纵坐标 b 就是角 的正弦函数 直角三角形显然不能包含所有的角 那么 我们可以仿照锐角正弦函数的定义 你认 为该如何定义任意角的正弦函数 一般地 在直角坐标系中 如上图 对任意角 它的终边与单位圆交于点 P a b 我们可以唯一确定点 P a b 的纵坐标 b 所以 P 点的纵坐标 b 是角 的函 数 称为正弦函数 记作 y sin R 通常我们用 x y 分别表示自变量与因变量 将正弦函数表示为 y sinx 正弦函数值有时也叫正弦值 请同学们画图 并利用正弦函数的定义比较说明 角与角的终边与单位圆的交 3 3 7 点的纵坐标有什么关系 它们的正弦值有什么关系 角和角呢 角和角呢 3 3 8 3 3 5 角和 角呢 3 2 3 14 BC A a b c 2 余弦函数的定义 在直角坐标系中 设任意角 与单位圆交于点 P a b 那么点 P 的横坐标 a 叫做角 余弦函数 记作 a cos R 通常我们用 x y 分别表示自变量与因变量 将余弦函数表示为 y cosx x R 如图 有向线段 OM 称为角 的余弦线 其实 由相似三角形的知识 我们知道 只要已知角 的终边上任意一点 P 的坐标 a b 求出 OP 记为 r 则 角 的正弦和余弦分别为 sin cos r b r a 在今后的解题中 我们可以直接运用这种方法 简化运算过程 3 正 余弦函数的诱导公式 从右图不难看出 角 和角 2 2 的终边 与单位圆的交点的横坐标是相同的 所以 它们的余弦函数值相等 角 和角 的终边与单位圆的交点的横坐标是相反数 所以 它们的余弦函数值互为相反数 由此归纳出公式 sin 2 sin sin sin sin 2 sin sin sin sin sin cos 2 cos cos cos cos 2 cos cos cos cos cos 请同学们观察右图 角 与角 的正弦 余弦函数值有什么关 2 系 由图可知 Rt OMP Rt OM P 点 P 的横坐标 cos 与点 P 的纵坐标 sin 2 相等 点 P 的纵坐标 sin 与点 P 的横坐标 cos 互为相反数 我们可以得到 2 sin cos cos sin 2 2 问题与思考 验证公式 sin cos cos sin 2 2 以上公式